3.1 方程 课件2024-2025学年 沪科版（2024）七年级 数学上册

一次方程与方程组 3 第 章 3.1 方程 3.1 方程 知识回顾 3.1 方程 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 “雉(鸡)兔同笼”是一个广为流传的中国古算题，十分有趣，你会解吗？ 方程是解决问题的一种重要数学模型应用非常广泛. 新课导入 3.1 方程 3 1.能根据现实情境理解方程的意义，针对具体问题列出方程. 2.理解方程的解的意义. 3.掌握等式的基本性质，能利用等式的基本性质解简单的方程. 学习目标 3.1 方程 问题1 在参加2022年北京冬奥会的中国代表队中，自由式滑雪运动员有21人，比花样滑冰运动员的3倍少3人：参加本届冬奥会的花样滑冰运动员有多少人? 设参加冬奥会的花样滑冰运动员有x人，根据题意，得3x－3=21. 3.1 方程 问题2 王玲今年12岁，她的爸爸36岁. 再过几年，她爸爸年龄是她年龄的2倍？ 你能用算术方法解决这个问题吗? 设再过x年，王玲爸爸的年龄是她年龄的2倍，这时王玲的年龄是(12＋x)岁，她爸爸的年龄是(36＋x)岁. 根据题意，得36＋x=2(12＋x). 3.1 方程 问题3 已知长方形的面积为180m2，其中长比宽多3m，求长方形的宽是多少. 设宽为x m，则长为(x＋3)m. 根据题意，得x(x＋3)=180. 有些问题用算术方法解决并不容易. 我们可以用x，y，z 这样的字母来表示未知数，然后根据问题中的等量关系，写出含有未知数的等式. 像3x－3=21，36＋x=2(12＋x)，x(x+3)=180 这样，含有未知数的等式叫作方程. 3.1 方程 对于方程 3x－3=21， 当x取7时，代入原方程左边，得 3x－3=18 当x取8时，代入原方程左边，得 3x－3=21 当x取9时，代入原方程左边，得 3x－3=24 我们发现，当x取8时，方程的左边等于右边；当x取7或9时，方程的左边不等于右边. 使方程两边相等的未知数的值叫作方程的解. 比如x=8就是方程3x－3=21的解. 求方程的解的过程叫作解方程. 3.1 方程 例1 根据题意，设未知数并列出方程. (1)已知长方形的周长是16cm，长比宽多2cm，则这个长方形的长是多少? (2)把若干本书发给学生. 如果每人发4本，还剩下2本；如果每人发5本，还差5本，共有多少名学生? 解 (1)设这个长方形的长是x cm，则宽是(x－2)cm， 根据题意，得 2[x＋(x－ 2)]=16. (2)设共有y名学生， 根据题意，得 4y＋2=5y－5. 典例精析 3.1 方程 1.根据题意，设未知数并列出方程. (1)小华的年龄是21岁，小华的年龄比小强年龄的2倍小5岁，求小强的年龄； (2)某班50名学生集体看电影，买电影票共花费1350 元. 电影票有单价25 元和单价30元两种. 这两种电影票各买了多少张? 解：设小强的年龄是x岁. 根据题意，得2x－5=21. 解：设单价25元的电影票买了x张，则单价30元的电影票买了(50－x)张. 根据题意，得25x＋30(50－x)=1350. 当堂练习 3.1 方程 (3)足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一支球队打了 14 场比赛，负5场，得19 分，那么这支球队胜了多少场? 2.下列各数中，哪些是方程x(x＋3)=180的解? －15，－12，12，15 解：设这支球队胜了x场，则平了(14－5－x)场. 根据题意，得 3x＋(14－5－x)=19. －15和12是方程x(x＋3)=180的解 当堂练习 3.1 方程 要得到方程的解，我们就要讨论如何解方程. 对于方程x＋2=4，3x=6，你能用所学知识求出它们的解吗？ 方程是等式，解方程的过程实际上就是等式的变形过程. 为了进一步讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质. 3.1 方程 观察 如图3-1，在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a，b的物体，天平平衡，这直观地说明a=b. 这时，如果在两端托盘中同时加上质量为c的物体，天平还保持平衡吗？反映的数量关系是什么呢? 3.1 方程 观察 如图3-2，天平还保持平衡吗？这又反映了怎样的数量关系呢？ 3.1 方程 等式有如下基本性质： 性质1 等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得结果仍是等式，即 如果a=b，那么a＋c=b＋c，a－c=b－c. 性质2 等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式，即 如果a=b，那么ac=bc， = (c≠0). 3.1 方程 性质3(对称性) 如果a=b，那么b=a. 例如，由－4=x，得x=－4. 性质4(传递性) 如果a=b，b=c，那么a=c. 例如，如果y=x，x=3，那么y=3. 根据等式这一性质，将一个量用与它相等的量代替，称为等量代换. 下面，我们利用等式的基本性质解简单的方程. 3.1 方程 例2 解方程：3x－3=21. 解：两边都加上3，得 3x = 21+3，(性质1) 即 3x = 24 两边同除以3，得 x=8 (性质2) 检验：把x=8代入原方程，得 左边 = 3×8－3=21， 右边 = 21， 左边 = 右边. 所以x=8是原方程的解. 典例精析 3.1 方程 指出下列等式变形的依据， (1)如果5x＋3=7，那么5x=4； (2)如果－8x=4，那么x=－； 解：利用等式的基本性质1， 方程两边都减去3， 得5x＋3－3=7－3，即5x=4. 解：利用等式的基本性质2， 方程两边同乘以－， 得－8x×(－) = 4×(－) ， 即x=－. 当堂练习 3.1 方程 (3)如果－5a=－5b，那么a=b； (4)如果3x=2x＋1，那么x=1； (5)如果－0.25 =x，那么x=－0.25； (6)如果x=y，y=z，那么x=z. 解：利用等式的基本性质2， 方程两边同除以－5， 得－5a÷(－5) = －5b÷(－5)， 即a=b. 解：利用等式的基本性质1， 方程两边都减去2x， 得3x－2x = 2x＋1－2x， 即x=1. 利用等式的基本性质3 利用等式的基本性质4 当堂练习 3.1 方程 2.解方程并检验. (1)5x－7=8； (2)27=7+4x (3) = x－. 解：两边都加上7，得5x=15， 两边同除以5. 得x=3. 检验：把x=3代入原方程， 得左边=5×3－7=8，右边=8，左边=右边， 所以x=3是原方程的解. 解：两边都减去7，得20=4x. 两边同除以4. 得x=5. 检验：把x=3代入原方程， 得左边=27，右边=7＋4×5=27， 左边=右边， 所以x=5是原方程的解. 解：两边同乘以6， 得3=2x－1. 两边都加上1，得4=2x. 两边同除以2，得x=2. 检验：把x=2代入原方程，得左边=， 右边= ×2－ = ，左边=右边， 所以x=2是原方程的解. 当堂练习 3.1 方程 课堂小结 3.1 方程 谢谢观看 3.1 方程 $$