精品解析：天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高三下学期第二次热身练数学试题

2025杨村一中第二次热身练数学学科 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则， 所以， 故选：C 2. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断. 【详解】对于A，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误； 对于B，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误； 对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确. 故选：C. 4. 已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 5. 对于锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的二倍角公式化简已知条件可得，再利用同角三角函数的关系以及角范围，即可求解的值. 【详解】 根据二倍角公式可得：， 化简得. 因为是锐角，所以，则， 等式两边同时除以可得： ①， 又因为②， 联立方程组①②可得：，解得 因为，所以， 则， 故选：B. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B. 若事件M，N相互独立，，，则 C. 某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、独立事件概率的概念逐项判断； 【详解】对于A，数据从小到大排列 的共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确； 若事件M，N相互独立，，，则，B选项错误； 某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布， 已知，则， 若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取份，C选项正确； 随机变量X服从二项分布，若，则，D选项正确； 故选：B. 7. 如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得出，即可求出体积. 【详解】连接，因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径为，体积为. 故选：C 8. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设公差为，由求出，则，由及乘“1”法计算可得. 【详解】正项等差数列中，设公差为， 因为，所以，因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B 9. 双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，运用中点坐标公式表示点，由，以及斜率公式解方程组可得，将点A的坐标代入双曲线的方程，结合的关系，求得，即可得离心率. 【详解】由题意，，设， 则，， 因为原点O在以线段为直径的圆上，可得， 所以，即①， 又直线的斜率，可得②， 联立①②可得，即， 又点在双曲线上，可得， 又，解得，所以. 故选：B. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 若复数z满足，则z的虚部为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以z的虚部为1， 故答案为：1 11. 的展开式中，常数项的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项， 故答案为: . 12. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案（如图一）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图二）.如图三所示的正六角星的中心为，，，是该正六角星的顶点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正六角星的性质，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可. 【详解】延长至正六角星一个顶点，如下图所示： 由题意可知，则， 根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知：， 所以， 则. 故答案为： 13. 在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率______；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可知三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，由二项分布的概率计算公式即可求解①；求出事件A与事件AB包含的样本点个数，根据条件概率计算即可. 【详解】由题意可知，单次摸到不超过3的概率为，超过3的概率为， 记事件A=“三次摸出卡片的数字有两次不超过3” 三次试验中恰好两次成功的概率服从二项分布，故； 事件A的总情况数为 ， 记事件B=“三次中有一次摸出编号为2的卡片”， 则事件AB为：有一次摸出编号为2，另外一次为1或3，第三次超过3， 可由如下步骤实线事件AB， 第一步：从三次摸出卡片中选出一次摸出编号2，共3种情况， 第二步：从剩下的两次摸出卡片中选出一次摸出编号1或3，共种情况， 第三步：从剩下的一次摸出卡片中选出超过3的编号，共2种情况， 由分步乘法计数原理可知，事件AB总情况数为， 所以 故答案为：， 14. 已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，由抛物线的性质，二倍角公式和垂径定理得到，结合即可求解. 【详解】显然直线l的方程斜率不为0，因为焦点， 所以设直线l的方程为，联立得， 故，故， 所以， 显然G为的中点，过G作y轴的垂线，垂足为H，则H是的中点， 设，则， ， ， 而，当且仅当，轴时取等号，则， 所以当时，. 故答案为： 15. 设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】原方程可化为恰有3个不同的实数解， 令，即的图象有3个不同的交点，画出的图象，结合图象可得答案. 【详解】当时，方程为，不成立， 所以恰有3个不同的实数解，； 原方程可化为恰有3个不同的实数解， 令，即的图象有3个不同的交点， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，的图象如下， 由图可知， 当，且与相切时， 由，所以，, 所以（另一解舍去），若要有3个不同的交点，则； ，的图象没有3个不同的交点； 当，且与相切时，由同理可得（另一解舍去）， 当过时，，当，不符合题意； 若要有3个不同的交点，则； 综上所述，或. 故答案为：或. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求C的值； （2）求的值； （3）求值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由正弦定理可得答案； （3）由平方关系求出，再利用两角和的余弦展开式化简可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理， 得， 又因为，所以； 【小问2详解】 因为，由正弦定理，得； 【小问3详解】 因为，所以，所以， 所以, . 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. （1）证明：与平面PAD； （2）求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； （3）若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理求证； （2）以A为坐标原点建系，求出两个平面的法向量，再求其夹角的余弦值即可； （3）利用可求. 【小问1详解】 因，，，则， 又，四点共面，则， 因平面，平面，则平面. 【小问2详解】 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为 则，令，则， 易知为平面PAD的一个法向量， 则， 所以平面PBC与平面PAD夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 因Q为线段PC的中点， 则. 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）方法一：过点作轴垂线，垂足为，设与轴交点为，可得 ，可求得点坐标，从而求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积. 【详解】（1），， 根据离心率，解得或(舍)， 的方程为：，即． （2）［方法一］：通性通法 不妨设,在x轴上方，过点作轴垂线，垂足为，设直线与轴交点为 根据题意画出图形，如图 ，， ， 又， ， ，根据三角形全等条件“”，可得：， ，，， 设点为，可得点纵坐标为，将其代入， 可得：，解得：或，点为或， ①当点为时，故， ，，可得：点为， 画出图象，如图 , ，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为， 根据两点间距离公式可得：，面积为：； ②当点为时，故，，，可得：点为，画出图象，如图 , ，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线距离为， 根据两点间距离公式可得：， 面积为： ，综上所述，面积为：. ［方法二］【最优解】： 由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为E．设，由题知，． 故， ①因为，如图，所以，． ②因为，如图，所以． 综上有 ［方法三］： 由已知可得，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，由对称性可设，联立方程消去y得， 由韦达定理得，所以， 将其代入直线的方程得，所以， 则． 因为，则直线的方程为， 则． 因，所，， 即，故或，即或． 当时，点P，Q的坐标分别为， 直线的方程为，点A到直线的距离为， 故的面积为． 当时，点P，Q的坐标分别为， 直线的方程为，点到直线的距离为， 故的面积为． 综上所述，的面积为． ［方法四］： 由（1）知椭圆的方程为，． 不妨设在x轴上方，如图． 设直线． 因为，所以． 由点P在椭圆上得，所以． 由点P在直线上得，所以．所以，化简得． 所以，即． 所以，点Q到直线的距离． 又． 故．即的面积为． ［方法五］： 由对称性，不妨设P，Q在x轴上方，过P作轴，垂足为C，设， 由题知，所以． （1）． 则． （其中）． （2）． 同理，． （其中） 综上，的面积为． 【整体点评】（2）方法一：根据平面几何知识可求得点的坐标，从而得出点的坐标以及直线的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，是通性通法；方法二：同方法一，最后通过面积分割法求的面积，计算上有简化，是本题的最优解；方法三：通过设直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，再根据题目等量关系求出的值，从而得出点的坐标以及直线的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，思想简单，但运算较繁琐；方法四：与法三相似，设直线的方程，通过平面知识求出点的坐标，表示出点，再根据距离公式即可求出三角形的面积；方法五：同法一，只是在三角形面积公式的选择上，利用三角形面积的正弦形式结合平面向量的数量积算出． 19. 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. （1）求数列的前n项和； （2）将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； （3）设，数列前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）1 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质，等差数列和等比数列的通项公式，以及错位相减法可得结果； （2）利用等差数列和等比数列的前项和公式可得结果； （3）先利用裂项求和法得到，再结合等差中项的性质可得，化简得到，根据的取值范围分析可得结果. 【小问1详解】 由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. 【小问2详解】 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. 【小问3详解】 ∵， ∴， 其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 20. 在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ． （1）若是“超光洁函数”，求的取值范围； （2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程； （3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，） 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：结合定义可得为增函数，根据单调性与导数的关系可得恒成立，化简得，结合二次函数性质可求的范围； 方法二：结合定义可得为增函数，根据单调性与导数的关系可得恒成立，化简得，在上恒成立，结合二次函数性质可求结论； （2）方法一：设直线与曲线相切于点，设直线与曲线相切于点，由条件结合导数的几何意义可得，解方程求可得结论； 方法二：设直线与曲线相切于点，设直线与曲线相切于点，求两曲线的切线方程，对比可得，解方程可得结论； （3）方法一：设，则，令，则，通过证明，，由此可得，结合所给结论证明，由此证明为增函数，结合单调性证明结论， 方法二：证明，，再结合所给关系证明在上单调递增，令，，利用导数证明在上单调递增，由此可得，再证明结论. 【小问1详解】 方法一：设， 则 ， 由题意可知恒成立， 故在上恒成立， 即在上恒成立， 故，解得， 方法二：设， 则， 由题意可知恒成立， 故在上恒成立， 即，在上恒成立， ， 【小问2详解】 方法一：设直线与曲线相切于点，直线的斜率为， 因为，则， 设直线与曲线相切于点， 因为，则， 因此有， 整理得，解得或， 当时，的方程为， 当时，的方程为， 方法二：设直线与曲线相切于点， 则，， 设直线与曲线相切于点， 则，， 所以， 整理得，解得或， 当时，的方程为， 当时，的方程为， 【小问3详解】 方法一：设， 则， 令， 则， 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故，当且仅当时取等号， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 故，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以在上单调递增，又时，， 所以时，，所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，同理，， 累加可得， 即， 方法二：， 令，则 ， 设，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以， 故，当且仅当时取等号， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 故，当且仅当时取等号， 所以，即， 所以在上单调递增， 令，， 则，又单调递增， 所以，则在上单调递增， 又当，， 所以时，，， 所以，即， 所以， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025杨村一中第二次热身练数学学科 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在R上函数，，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 对于锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、20、18的第80百分位数为17 B. 若事件M，N相互独立，，，则 C. 某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 7. 如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（ ） A B. C. D. 8. 正项等差数列中，，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 9. 双曲线的右焦点为，设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10. 若复数z满足，则z的虚部为______. 11. 的展开式中，常数项的值为_____. 12. 正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案（如图一）.正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成（如图二）.如图三所示的正六角星的中心为，，，是该正六角星的顶点，若，则______. 13. 在一个口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的五张卡片，这些卡片除编号不同外其他都相同，从口袋中有放回地摸卡片三次，每次摸一个.则三次摸出卡片的数字有两次不超过3的概率______；在已知三次摸出卡片的数字有两次不超过3的前提下，这三次中有一次摸出编号为2的卡片的概率______. 14. 已知抛物线，直线l过C的焦点F且与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于M，N两点且圆心为G，则的最小值是______. 15. 设，已知方程恰有3个不同的实数解，则实数a的取值范围是______. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. （1）求C的值； （2）求值； （3）求的值. 17 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，. （1）证明：与平面PAD； （2）求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值； （3）若Q为线段PC的中点，求三棱锥的体积. 18. 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 19. 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. （1）求数列的前n项和； （2）将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； （3）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 20. 在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ． （1）若是“超光洁函数”，求的取值范围； （2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程； （3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$