2024--2025学年苏科版数学八年级下册期末押题试卷

八年级数学期末模拟卷（一） 一．选择题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 3．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0 4．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为，下列各数中最接近于的是（　　） A． B． C． D． 5．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 6．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H得到的平行四边形EFGH与原四边形关系密切，因此平行四边形EFGH也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形EFGH周长的是（　　） A．AD和BC B．AB和CD C．AC和BD D．AC和AD 7．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，F、G分别是BE、CE的中点．若▱ABCD的面积为16，则△EFG的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，四边形纸片ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．过点A作AE⊥BC，垂足为点E．若AE＝6cm，则该纸片的面积为（　　） A．12 cm2 B．cm2 C．18 cm2 D．cm2 二、填空题 9．当x＝2时，分式无意义，则a＝　　 ． 10．若关于x的分式方程有增根，则a＝　 　 ． 11．如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数（k＞0）的图象上，且边BC经过原点O．若平行四边形ABCD的面积为24，则k＝　 　 ． 12．某市为了解970万市民的出行情况，科学规划轨道交通，400名调查者走入1万户家庭发放了调查问卷，并对收回的3万份问卷进行了调查登记．该调查中的样本容量是 　 　 ． 13．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是　　 ． 14．小明想测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝3米，DB＝6米，CD＝1.8米，则电线杆AB长＝　 　 米． 15．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕着AC边中点O旋转得到△DEF，EF、ED分别交AB于点M、N，若AB∥DF，则MN＝ 　 ． 16．如图，正方形地砖由中心1个小正方形和四周4个全等的等腰梯形组成，已知小正方形的面积和梯形的面积相等，若小正方形顶点和大正方形顶点连线a＝2，则这块正方形地砖的周长为 　 ． 三、解答题 17．解方程： （1）x2﹣4＝0； （2）x2﹣2x＝3． 18．解方程：1． 19．先化简，再求值：，其中． 20．为了解某校落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，有关部门从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 平均每周劳动时间频数统计表 时间t（h） 频数（人） 频率 1≤t＜2 10 2≤t＜3 0.2 3≤t＜4 35 4≤t＜5 a 5≤t＜6 0.05 合计 b 1 平均每周劳动时间频数分布直方图 （每组数据含最小值，不含最大值） 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若该校有1600名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数． 21．从2名男生和2名女生中，随机抽取2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛志愿者． （1）抽取1名，恰好是女生的概率是 　　 ； （2）抽取2名，求恰好是1名男生和1名女生的概率． 22．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF． （1）证明：四边形ABCD是平行四边形； （2）连接BD交AC于O，若∠AOD＝2∠ABO，则四边形ABCD为 　 　 形． 23．为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ 24．如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数的图象相交于点A（3，10），与y轴相交于点B． （1）求k、b的值； （2）点C是x轴上一点，若△ABC的面积为24，求点C的坐标． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，动点P在射线AB上，将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ． （1）△PCQ面积的最小值为 　 　 ． （2）当点P在AB的延长线上时，在图②中画出相应的图形，并证明S△APQPA2； （3）当△APQ为等腰三角形时，求PA的长． 26．如图，已知菱形ABCD中，∠C＝60°，，点E为CD的中点，连接BE，点P为线段BE上的动点，连接PD、PA． （1）PD+PA的最小值为 　 　 ； （2）在点P的运动过程中，∠APD能否为直角？若可以，求出PE的长度，若不可以，请说明理由； （3）∠APD能否为60°，若可以，求出PE的长度？若不可以，请说明理由． 27．已知在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P在边AD上，连接PC．将该纸片沿PC折叠，使点B落在点E的位置，设CE与直线AD的交点为Q． （1）如图①，当点P与点A重合时，连接DE． ①求AQ的长； ②求DE的长． （2）如图②，当点P与点A不重合时，连接PE．若△PCE为等腰三角形，求AP的长． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、，是最简二次根式； B、2，被开方数中不含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、，被开方数不含分母，不是最简二次根式； D、，分母中含有根式，不是最简二次根式； 故选：A． 2．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【解答】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意； B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意； D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 3．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0 【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2判断出A（x1，y1），B（x2，y2）所在的象限即可得到答案． 【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，而x1＜0＜x2， ∴点A（x1，y1）在第三象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第一象限反比例函数的图象上， ∴y2＞0＞y1， ∴y1﹣y2＜0， 故选：C． 4．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为，下列各数中最接近于的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把每一个选项化成小数，逐一判断即可解答． 【解答】解：0.618， A、0.4，故A不符合题意； B、0.5，故B不符合题意 C、0.6，故C符合题意； D、0.75，故D不符合题意； 故选：C． 5．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长1241cm，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的矩形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【分析】根据装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【解答】解：由题意，得：， 故选：D． 6．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H得到的平行四边形EFGH与原四边形关系密切，因此平行四边形EFGH也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知下列线段的长度，能得到瓦里尼翁平行四边形EFGH周长的是（　　） A．AD和BC B．AB和CD C．AC和BD D．AC和AD 【分析】根据三角形中位线定理得到EFBD，FGAC，GHBD，EHAC，再根据四边形的周长公式判断即可． 【解答】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF、FG、GH、EH分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中点， ∴EFBD，FGAC，GHBD，EHAC， ∵四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH（AC+BD）， ∴已知线段AC和BD的长度，能得到四边形EFGH的周长， 故选：C． 7．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，F、G分别是BE、CE的中点．若▱ABCD的面积为16，则△EFG的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】先由点E是▱ABCD的边AD上的一点，▱ABCD的面积为16，求得S△EBCS▱ABCD＝8，由三角形的中位线定理得FG∥BC，EF＝BFEB，则△EFG∽△EBC，所以，则S△EFGS△EBC＝2，于是得到问题的答案． 【解答】解：设点E到BC的距离为h， ∵点E是▱ABCD的边AD上的一点，▱ABCD的面积为16， ∴S△EBCBC•hS▱ABCD16＝8， ∵F、G分别是BE、CE的中点， ∴FG∥BC，EF＝BFEB， ∴△EFG∽△EBC，， ∴， ∴S△EFGS△EBC8＝2， 故选：A． 8．如图，四边形纸片ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．过点A作AE⊥BC，垂足为点E．若AE＝6cm，则该纸片的面积为（　　） A．12 cm2 B．cm2 C．18 cm2 D．cm2 【分析】由“AAS”可证△ABE≌△ADH，可得AE＝AH，S△ABE＝S△ADH，由“HL”可证Rt△AEC≌Rt△AHC，可得∠ACE＝∠ACD＝60°，S△AEC＝S△AHC，可求EC的长，由面积关系可求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于H，连接AC， ∵∠BAD＝60°，∠BCD＝120°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠ADH+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADH， 在△ABE和△ADH中， ， ∴△ABE≌△ADH（AAS）， ∴AE＝AH，S△ABE＝S△ADH， 又∵AC＝AC， ∴Rt△AEC≌Rt△AHC（HL）， ∴∠ACE＝∠ACD＝60°，S△AEC＝S△AHC， ∴AEEC， ∵AE＝6cm， ∴EC＝2cm， ∴该纸片的面积＝2S△AEC＝26×212（cm2）， 故选：B． 二、填空题 9．当x＝2时，分式无意义，则a＝　﹣2　 ． 【分析】分式无意义时，分母等于零． 【解答】解：依题意得：a+2＝0， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．若关于x的分式方程有增根，则a＝　 　 ． 【分析】方程两边同时乘（x﹣2），把分式方程转化为整式方程，解出这个方程的解，根据分式方程有增根，所以﹣a﹣1＝2，从而求出a的值． 【解答】解：方程两边同时乘（x﹣2）得：x+1＝﹣a， 解得：x＝﹣a﹣1， ∵方程有增根， ∴x﹣2＝0， ∴x＝2， ∴﹣a﹣1＝2， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 11．如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B、C、D都在反比例函数（k＞0）的图象上，且边BC经过原点O．若平行四边形ABCD的面积为24，则k＝　8　 ． 【分析】依据题意，设A（a，0），C（b，），可得B（﹣b，），连接OD，又平行四边形的面积为24， 从而S△AOD24＝12，结合S△AODAO•yD，进而可得D（，），最后由平行四边形的对角线AC与BD互相平分，可得a+b＝﹣b①，且0②，从而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设A（a，0），C（b，）， ∴B（﹣b，）． 连接OD， 又平行四边形的面积为24， ∴S△AOD24＝12． 又S△AODAO•yD， ∴﹣a•yD＝24． ∴•yD． ∴D（，）． 又平行四边形的对角线AC与BD互相平分， ∴a+b＝﹣b①，且0②． 由②得，ak＝﹣12b③． 将③代入①得，ab④． 把④代入③得， ∴b•k＝﹣12b． ∴k＝8． 故答案为：8． 12．某市为了解970万市民的出行情况，科学规划轨道交通，400名调查者走入1万户家庭发放了调查问卷，并对收回的3万份问卷进行了调查登记．该调查中的样本容量是 　3万　 ． 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的意义，即可解答． 【解答】某市为了解970万市民的出行情况，科学规划轨道交通，400名调查者走入1万户家庭发放了调查问卷，并对收回的3万份问卷进行了调查登记．该调查中的样本容量是3万， 故答案为：3万． 13．如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，△ABC的面积是，则△A′B′C′的面积是　6　 ． 【分析】根据△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△A′B′C′的面积是6． 【解答】解：∵点A（1，0）与点A′（﹣2，0）是对应点，原点O是位似中心 ∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2 ∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4 又∵△ABC的面积是， ∴△A′B′C′的面积是6． 14．小明想测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝3米，DB＝6米，CD＝1.8米，则电线杆AB长＝　5.4　 米． 【分析】根据题意求出△ECD∽△EBA，利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【解答】解：∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴ED：EB＝CD：AB， ∴3：9＝1.8：AB， ∴AB＝5.4米． 故答案为：5.4． 15．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕着AC边中点O旋转得到△DEF，EF、ED分别交AB于点M、N，若AB∥DF，则MN＝　 ． 【分析】设EF交AC于P点，如图，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得到EF＝AB＝5，DF＝AC＝4，∠A＝∠F，接着证明∠A＝∠PMA，∠F＝∠POF得到PA＝PM，PO＝PF，则OA＝MF＝2，所以EM＝3，然后利用平行线分线段成比例定理可求出MN的长． 【解答】解：设EF交AC于P点，如图， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵O点为AC的中点， ∴OA＝2， ∵△ABC绕着AC边中点O旋转得到△DEF， ∴EF＝AB＝5，DF＝AC＝4，∠A＝∠F， ∵AB∥DF， ∴∠A＝∠POF，∠F＝∠PMA， ∴∠A＝∠PMA，∠F＝∠POF， ∴PA＝PM，PO＝PF， ∴PA+PO＝PM+PF， 即OA＝MF＝2， ∴EM＝EF﹣MF＝5﹣2＝3， ∵MN∥DF， ∴，即， 解得MN． 16．如图，正方形地砖由中心1个小正方形和四周4个全等的等腰梯形组成，已知小正方形的面积和梯形的面积相等，若小正方形顶点和大正方形顶点连线a＝2，则这块正方形地砖的周长为 　102　 ． 【分析】过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到EF＝CD，根据等腰直角三角形的性质得到AE＝DE＝BF＝DFAD，设CD＝EF＝x，根据题意列方程得到AB，于是得到结论． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F， 则四边形CDFE是矩形， ∴EF＝CD， 由题意得，△ADE和△BCF是等腰直角三角形， ∴AE＝DE＝BF＝DFAD， 设CD＝EF＝x， ∴x2（x+2x）， 解得x（负值舍去）， ∴AB， ∴这块正方形地砖的周长为102， 故答案为：102． 三、解答题 17．解方程： （1）x2﹣4＝0； （2）x2﹣2x＝3． 【分析】（1）先移项，再根据直接开平方法解出方程； （2）先移项，再把方程左边的二次三项式因式分解，进而解出方程． 【解答】解：（1）x2﹣4＝0， 则x2＝4， ∴x1＝2，x2＝﹣2； （2）x2﹣2x＝3， 则x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3． 18．解方程：1． 【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可． 【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1）， 解这个方程得：x＝﹣3， 检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0， x＝﹣3是原方程的解； ∴原方程的解是：x＝﹣3． 19．先化简，再求值：，其中． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a+b代入进行计算即可． 【解答】解： • ， ∵， ∴原式． 20．为了解某校落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，有关部门从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 平均每周劳动时间频数统计表 时间t（h） 频数（人） 频率 1≤t＜2 10 2≤t＜3 0.2 3≤t＜4 35 4≤t＜5 a 5≤t＜6 0.05 合计 b 1 平均每周劳动时间频数分布直方图 （每组数据含最小值，不含最大值） 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　30　 ，b＝　100　 ； （2）若该校有1600名学生，请估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数． 【分析】（1）由图表得：时间在2≤t＜3的范围内的频率是0.2，频数为20人，据此根据“频数÷频率＝总人数”可求出参加本次调查的学生人数，进而可求出a的值和b的值； （2）先求出时间在3≤t＜5的范围内的频数为65人，再求出时间在3≤t＜5的范围内的频率，最后根据“总人数×频率＝频数”可得出答案． 【解答】解：（1）由频数统计表中可知：时间在2≤t＜3的范围内的频率是0.2， 由频数分布直方图中可知：时间在2≤t＜3的范围内的频数为20人， ∴参加本次调查的学生人数为：20÷0.2＝100（人）， ∴a＝100﹣（10+20+35+5）＝30，b＝100， 故答案为：30；100． （2）∵由频数分布直方图中可知：时间在3≤t＜5的范围内的频数为：30+35＝65（人）， ∴时间在3≤t＜5的范围内的频率为：65÷100＝0.65， ∴1600×0.65＝1040， ∴若该校有1600名学生，估计平均每周劳动时间在3≤t＜5范围内的学生人数为1040人． 21．从2名男生和2名女生中，随机抽取2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛志愿者． （1）抽取1名，恰好是女生的概率是 　　 ； （2）抽取2名，求恰好是1名男生和1名女生的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）抽取1名，恰好是女生的概率是， 故答案为：； （2）设2名男生分别记为A，B，2名女生分别记为C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的结果有AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种， 所以恰好是1名男生和1名女生的概率为． 22．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF．连接BE，DF，若BE＝DF． （1）证明：四边形ABCD是平行四边形； （2）连接BD交AC于O，若∠AOD＝2∠ABO，则四边形ABCD为 　矩　 形． 【分析】（1）证△ABE≌△CDF（SSS），得∠BAE＝∠DCF，再证AB∥CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证∠ABO＝∠BAO，得OA＝OB，再证AC＝BD，然后由矩形的判定即可得出结论． 【解答】（1）证明：在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）， ∴∠BAE＝∠DCF， ∴AB∥CD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵∠AOD＝∠ABO+∠BAO，∠AOD＝2∠ABO， ∴∠ABO＝∠BAO， ∴OA＝OB， 由（1）得：四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OA，BD＝2OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：矩． 23．为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？ 【分析】设药店第一批防护口罩购进了x只，则第二批防护口罩购进了3x只，利用单价＝总价÷数量，结合第二批防护口罩的单价比第一批贵2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设药店第一批防护口罩购进了x只，则第二批防护口罩购进了3x只， 依题意得：2， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意． 答：药店第一批防护口罩购进了200只． 24．如图，一次函数y＝2x+b与反比例函数的图象相交于点A（3，10），与y轴相交于点B． （1）求k、b的值； （2）点C是x轴上一点，若△ABC的面积为24，求点C的坐标． 【分析】（1）分别将点A（3，10）代入和y＝2x+b之中可求得k和b的值； （2）先求出点B（0，4），y＝2x+4与x轴的交点E（﹣2，0），设点C（t，0），过点A作AD⊥x轴，然后分两种情况讨论如下： ①当点C在x轴的正半轴上时，则OC＝t，CE＝t+2，然后根据S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC＝24列出关于t的方程，解方程求出t即可； ②当点C在x轴的负半轴上时，则OC＝﹣t，CE＝OC﹣OD＝﹣t﹣2，然后根据S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC＝24列出关于t的方程，解方程求出t即可． 【解答】解：（1）将点A（3，10）代入，得：k＝30， 将点A（3，10）代入y＝2x+b，得：10＝2×3+b，解得：b＝4． （2）对于y＝2x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣2， ∴点B的坐标为（0，4），y＝2x+4与x轴的交点E的坐标为（﹣2，0）， 过点A作AD⊥x轴， ∵点A（3，10），点B（0，4），E（﹣2，0） ∴AD＝10，OD＝3，OB＝4，OE＝2， ∵点C是x轴上的一点，设点C的坐标为（t，0）． 分两种情况讨论如下： ①当点C在x轴的正半轴上时， 则OC＝t，CE＝t+2， ∵S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC＝24， ∴， 即：， 解得：t＝6， ∴点C的坐标为（6，0）； ②当点C在x轴的负半轴上时， 则OC＝﹣t，CE＝OC﹣OE＝﹣t﹣2， ∵S△ABC＝S△AEC﹣S△BEC＝24， 即：， ∴， 解得：t＝﹣10， ∴点C的坐标为（﹣10，0）． 综上所述：点C的坐标为（6，0）或（﹣10，0）． 25．如图，将两块完全相同的含有30°角的直角三角尺ABC、DEF在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接AF、CD． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）已知BC＝6，若四边形ACDF是菱形，求AD的长． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AC＝DF，∠CAB＝∠FDE，根据平行线的判定定理得到AC∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形AFDC是平行四边形； （2）连接CF交AD于O，根据直角三角形的性质得到ACBC＝6，根据菱形的性质得到CF⊥AD，AD＝2AO，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ACB≌△DFE， ∴AC＝DF，∠CAB＝∠FDE， ∴AC∥DF， ∴四边形AFDC是平行四边形； （2）解：连接CF交AD于O， ∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6， ∴ACBC＝6， ∵四边形AFDC是菱形， ∴CF⊥AD，AD＝2AO， ∴∠AOC＝90°， ∴AOAC9， ∴AD＝2AO＝18． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，动点P在射线AB上，将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CQ，连接PQ． （1）△PCQ面积的最小值为 　1　 ． （2）当点P在AB的延长线上时，在图②中画出相应的图形，并证明S△APQPA2； （3）当△APQ为等腰三角形时，求PA的长． 【分析】（1）根据将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CQ，可得∠PCQ＝90°，CP＝CQ，知S△PCQCP•CQCP2，故当CP最小时，S△PCQ最小，此时CP⊥AB，即可得到答案； （2）点P在AB的延长线上时，根据题意画出图形，连接BQ，证明△BCQ≌△ACP（SAS），可得∠CBQ＝∠CAP，AP＝BQ，即可得∠CBQ＝45°，∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ＝90°，故S△APQAP•BQAP2； （3）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，连接BQ，设AP＝m，则A（0，0），P（m，0），由△BCQ≌△ACP（SAS），∠ABQ＝90°，知Q（4，m），有AP2＝m2，PQ2＝（m﹣4）2+m2，AQ2＝16+m2，分三种情况：①若AP＝PQ，则m2＝（m﹣4）2+m2，②若AP＝AQ，则m2＝16+m2，③若PQ＝AQ，则（m﹣4）2+m2＝16+m2，分别解方程即可． 【解答】解：（1）如图： ∵将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CQ， ∴∠PCQ＝90°，CP＝CQ， ∴S△PCQCP•CQCP2， ∴当CP最小时，S△PCQ最小，此时CP⊥AB， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4， ∴CPAB＝2， ∴S△PCQCP222＝2， 故答案为：2； （2）点P在AB的延长线上时，画出图形如下： 连接BQ， ∵将线段CP绕点C逆时针旋转90°得到线段CQ， ∴∠PCQ＝90°，CQ＝CP， ∴∠PCQ＝∠ACB＝90°， ∴∠PCQ+∠BCP＝∠ACB+∠BCP，即∠BCQ＝∠ACP， ∵BC＝AC， ∴△BCQ≌△ACP（SAS）， ∴∠CBQ＝∠CAP，AP＝BQ， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∴∠CBQ＝45°， ∴∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ＝90°， ∴S△APQAP•BQAP2； （3）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，连接BQ，如图： 设AP＝m，则A（0，0），P（m，0）， 由（2）知△BCQ≌△ACP（SAS），∠ABQ＝90°， ∵AB＝4， ∴Q（4，m）， ∴AP2＝m2，PQ2＝（m﹣4）2+m2，AQ2＝16+m2， ①若AP＝PQ，则m2＝（m﹣4）2+m2， 解得m＝4， ∴AP＝4； ②若AP＝AQ，则m2＝16+m2， 方程无解，这种情况不存在； ③若PQ＝AQ，则（m﹣4）2+m2＝16+m2， 解得m＝0（此时P，A重合，舍去）或m＝8； ∴AP＝8； 综合所述，PA的长是4或8． 26．如图，已知菱形ABCD中，∠C＝60°，，点E为CD的中点，连接BE，点P为线段BE上的动点，连接PD、PA． （1）PD+PA的最小值为 　12　 ； （2）在点P的运动过程中，∠APD能否为直角？若可以，求出PE的长度，若不可以，请说明理由； （3）∠APD能否为60°，若可以，求出PE的长度？若不可以，请说明理由． 【分析】（1）连接AC，BD，交于点F，交BE于点P，连接PD，根据等腰三角形三线合一性可得BE是CD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PD＝PC，然后再根据两点之间线段最短可求出PD+PA的最小值； （2）连接AC，BD相交于点O，在BE上任意取一点P，连接DP，AP，连接PO并延长到点F，根据菱形对角线互相垂直平分得∠AOD＝90°，然后根据三角形外角大于任意一个与它不相邻的内角证明即可； （3）根据菱形的对角线段，各边相等得到∠A＝∠C＝60°，从而得出∠ABD＝60°，再根据三角形的三线合一性求出DE，用勾股定理求出PE即可． 【解答】解：（1）如图所示：连接AC，BD，交于点F，交BE于点P，连接PD，当点运动到点P处时，PD+PA的值最小， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BCF，AC⊥BD，AC＝2CF， ∴∠BEC＝90°， ∴， ∴， ∴AC＝12， ∵E为CD中点， ∴BE⊥CD， ∴PC＝PD， ∵AC＝PA+PC， ∴PD+PA＝AC， 根据两点之间线段最短， ∴PD+PA的最小值就是线段AC的长，是12， 故答案为：12． （2）不能为直角，理由如下： 如图所示：连接AC，BD相交于点O，在BE上任意取一点P，连接DP，AP，连接PO并延长到点F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOF+∠DOF＝90°， ∵∠DOF＞∠DPF，∠AOF＞∠APF， ∴∠DOF+∠AOF＞∠DPF+∠APF，即∠AOD＞∠APD， ∴无论P在BE的任何地方，∠APD＜90°， ∴点P运动过程中，∠APD不能成直角； （3）∠APD能为60°，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C＝60°，AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形 ∴AD，∠APD＝60°， ∵E为CD中点， ∴BE⊥CD，DE， ∴∠BEC＝90°， ∴， ∴当P点与点B重合时，∠APD＝60°，PE＝6， 如图所示：连接BD，过点A作AH⊥BD，交BE于点P，连接DP∏∯，过点D作DF⊥AB， ∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°， ∴∠A＝∠C＝60°，AD＝AB， ∴△ABD是等边三角形， ∵AH⊥BD， ∴∠DAH＝∠BAH＝∠PBH＝30°，∠AHB＝∠BHP＝90°， ∴BH， 设PH＝x，则BP＝2x， 在Rt△BPH中， ∵PB2﹣PH2＝BH2， ∴， 4x2﹣x2＝12， 3x2＝12， x2＝4， x＝2或﹣2（舍去）， ∴BP＝4， ∵E为CD中点， ∴BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴DE， ∴， ∴PE＝BE﹣BP＝6﹣4＝2， ∴PE的值为6或2． 27．已知在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P在边AD上，连接PC．将该纸片沿PC折叠，使点B落在点E的位置，设CE与直线AD的交点为Q． （1）如图①，当点P与点A重合时，连接DE． ①求AQ的长； ②求DE的长． （2）如图②，当点P与点A不重合时，连接PE．若△PCE为等腰三角形，求AP的长． 【分析】（1）①当点P与点A重合时根据轴对称的性质得到∠ACB＝∠ACE，根据AD∥BC推出∠ACB＝∠DAC，得到∠DAC＝∠ACE后推出CQ＝AQ，在Rt△CDQ中用勾股定理列出方程即可求出AQ的长； ②过点E作EF⊥AQ于F，在Rt△AEQ中，根据等面积法求出EF的长，在Rt△AEF中，根据勾股定理求出AF后易求DF，在Rt△DEF中，根据勾股定理即可求出DE； （3）分三种情况讨论：Ⅰ：当CP＝CE时；Ⅱ：当PE＝CE时；Ⅲ：当PE＝PC时，根据勾股定理分别求出AP的长即可解决问题． 【解答】解：（1）①当点P与点A重合时， 由折叠可知：∠ACB＝∠ACE， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠ACE， ∴CQ＝AQ， 设AQ＝a，则CQ＝a，DQ＝8﹣a， 在Rt△CDQ中，由勾股定理得：CD2+DQ2＝CQ2， 即42+（8﹣a）2＝a2， 解得：a＝5， ∴AQ的长为5； ②如图①，过点E作EF⊥AQ于F， 在Rt△AEQ中，AE＝AB＝4， 由（1）知AQ＝QC＝5， 又AD＝CE＝BC＝8， ∴EQ＝QD＝3，AQ＝5， EF， 在Rt△AEF中，AF， ∴DF＝AD﹣AF＝8， 在Rt△DEF中，DE； （3）分三种情况讨论： Ⅰ：如图②Ⅰ，当CP＝CE时， ∵CE＝CB＝8， ∴CP＝CE＝8， 过点P作PG⊥BC于G， ∴∠PGB＝∠B＝∠A＝90°， ∴四边形ABGP是矩形， ∴AP＝BG，PG＝AB＝4， 在Rt△PCG中，由勾股定理可得：CG， ∴AP＝BG＝8； Ⅱ：如图②Ⅱ，当PE＝CE时， 在Rt△PEF中，EF＝AB＝4，PE＝CE＝8， ∴PF， ∴AP＝PF， Ⅲ：如图②Ⅲ，当PE＝PC时，CD＝DE＝AB， 又∵EF＝AB＝CD， ∴FP＝DP＝AP， ∴AP＝DPAD＝4； 综上所述，当△PCE为等腰三角形时，AP的长为8或或4． 学科网（北京）股份有限公司 $$