精品解析：河南省郑州市新郑市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学北师大版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 2. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个未知数且未知数最高指数为1次的不等式叫作一元一次不等式，化简后，根据定义判定即可． 本题考查了一元一次不等式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不含有未知数，不符合题意； B．未知数的最高次数是2，不符合题意； C．含有2个未知数，不符合题意； D．是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 3. 如图，在四边形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的全等，四边形的内角和定理解答即可． 本题考查了直角三角形的全等，四边形的内角和定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形的三个角都是60° 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析各选项的原命题及其逆命题，判断逆命题的真假．本题考查了命题的判断，熟练掌握解题要领是解题的关键． 【详解】A. 原命题：“等腰三角形的两个底角相等”． 逆命题：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 根据等腰三角形的判定，逆命题为真． B. 原命题：“内错角相等，两直线平行”． 逆命题：“两直线平行，内错角相等”． 这是平行线的性质，逆命题为真． C. 原命题：“全等三角形的对应角相等”． 逆命题：“对应角相等的三角形全等”． 对应角相等仅能判定相似，不能保证全等，逆命题为假． D. 原命题：“等边三角形的三个角都是60°”． 逆命题：“三个角都是60°的三角形是等边三角形”． 根据等边三角形的判定，逆命题为真． 故选：C． 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质解一元一次不等式的方法是解题的关键． 不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得，平分，根据同角的余角相等，角平分线的性质，由于不是的垂直平分线，不能证明解答即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，故， 故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得， 故， 故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得， 故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明， 故B选项错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，垂线的基本作图，角的平分线的性质定理，余角的性质，熟练掌握性质，正确理解作图是解题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中两点间距离公式计算即可． 本题考查了坐标系中的两点间距离公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点P的坐标为，点Q的坐标为， 横坐标差为，纵坐标差为， 由距离公式得：， 由于横纵坐标差均为定值（与无关）， 故的长度恒为5， 故选：C． 8. 如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 9. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 10. 如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，则________80．（填“”“”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式，根据图示得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：由题可得：， 即， 故答案为：． 12. 用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________ . 【答案】AB=AC 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中， 第一步应是假设AB=AC． 故答案为：AB=AC． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13. 以，为边长的等腰三角形的底边长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：若为腰，此时三角形的三边长分别为，，， ∵，不能构成三角形，舍去； 若为腰，此时三角形的三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，底边长为． 故答案为：4 14. 如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．证明，由全等三角形的性质可推出，证明，由全等三角形的性质可推出．，，则可得出答案． 【详解】解：①∵为角平分线， ∴， ∵于点D，于点E， ∴°， ∵， ∴， ∴． 故①正确； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 故④正确． 故答案为：①②③④． 15. 如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转90°后，点A恰好落在边上的点处，已知，，则______，的长度为______（用含、的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，连接，根据旋转有：，．再证明，则，，进一步证明为等腰直角三角形，然后由勾股定理求解． 【详解】解析：过点作交延长线于点，连接，如图，     由旋转的性质得：，． ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题考查旋转的性质,全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解不等式并把它们的解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【答案】（1）， 解集在数轴上表示如图， ； （2） 解集在数轴上表示如图， ． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确解出不等式的解集是解题的关键． （）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可． （）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 17. 如图，平移，将顶点A平移到点处，点和点对应，点与点对应． （1）请你作出平移后的图形； （2）线段与的关系是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2）平行且相等 【解析】 【分析】本题考查平移作图，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质分别描出点B、C平移后的对应点E、F，再连接、、即可． （2）根据平移的性质：对应线段平行且相等作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平移，将顶点平移到点处，点和点对应，点与点对应． ∴，． 即线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 18. 【新情境】 如图，公园里面有一块三角形土地，其中，，米，米．绿化队计划把这块三角形土地分成形状、大小相同的三小块，分别栽上杜鹃花、玫瑰花、郁金香． （1）请你帮绿化队把这块土地分成形状、大小相同的三份；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，请计算其中一块小三角形土地的周长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）米 【解析】 【分析】本题考查了作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）作线段的垂直平分线分别交、于点、，再连接，则，，得到，由于，，可得，推出，可推出分成的三角小三角形全等，即可求解； （2）根据全等三角形的判定和性质得出，，得到，由垂直平分，得到，可求出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴米， ∴的周长为：米． 19. 如图，中，，，点是边上一点，连接．将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点．若，求证：是的中线． 【答案】 证明：∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的中线． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： 根据旋转的性质得出，根据全等三角形的性质得出，，则可求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，则，根据等角对等边可得出，然后根据三线合一即可得证． 【详解】略 20. 近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花，簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，它挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元． （1）求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ （2）李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？ 【答案】（1）石榴花每朵5元，玫瑰花每朵8元 （2）李阿姨最多能选25朵玫瑰 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，根据16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，再建立方程求解即可； （2）设玫瑰花朵，石榴花朵，根据两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元，再建立不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：石榴花每朵5元，玫瑰花每朵8元； 【小问2详解】 解：设玫瑰花朵，石榴花朵， 根据题意得，解得， ∴最大值为25， 答：李阿姨最多能选25朵玫瑰． 21. 如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的平分线，， ， 又， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，三角形全等的判定方法和性质，以及根据勾股定理求出三角形的边长． （1）根据角平分线的性质可得，进而推出，即可求证； （2）由（1）可知，根据勾股定理得，则，证明，推出，设为，则，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， 又， ． ． 设为，则． 在中，，即， 解得：， ． 22. 【教材变式】 甲、乙两家商店销售同款蛇年吉祥物，为吸引更多顾客购买，甲、乙两店分别推出了自己的优惠方案： 甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个吉祥物标价的八折出售． 乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个吉祥物标价的九五折再优惠10元出售． 若用表示购买吉祥物的数量，表示购买吉祥物的总价，其函数图象如图所示． （1）每个吉祥物的标价是多少元？ （2）当时，在甲商店购买吉祥物应付的总价与数量之间的函数关系式为______； 当时，在乙商店购买吉祥物应付的总价与数量之间的函数关系式为______； （3）选择哪家商店购买吉祥物更合算． 【答案】（1）每个吉祥物的标价是100元 （2）， （3）选择甲商店更合算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、从图象中获得信息是解题的关键． （1）根据图象分别计算两个商店每个吉祥物的标价即可； （2）根据两家商店的优惠方案分别计算即可； （3）根据图象比较与的大小即可． 【小问1详解】 解：甲商店：购买20个吉祥物的总价为2000元， ∴标价为（元/个）； 乙商店：购买15个吉祥物的总价为1500元， ∴标价为（元/个）； ∴两个商店吉祥物的标价是一样的， ∴每个吉祥物的标价是100元； 【小问2详解】 解：当时，与数量之间的函数关系式为， 当时，与数量之间的函数关系式为． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：当，时，得， 解得， 由图象可知，当或时，， 当时，， 当时，， 当或时，在两家购买的实付款一样多，任选一家购买即可；当时，选择乙商店购买更合算；当时，选择甲商店购买更合算． 23. 如图，为等边三角形，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为（）秒． （1）当点在上时，______（用含的代数式表示）； （2）当点在上时，求当为等边三角形时的值； （3）点在上时，若为直角三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质、一元一次方程的解法等知识，解题关键是学会用分类讨论思想思考问题，学会构建方程解决问题． （1）当点在上时，直接列式求解即可； （2）当为等边三角形时，可得，此时，即，再进一步进行求解即可； （3）求解当时，两点相遇，当时，点落在上，此时点也在上．当点是的中点时，如图1，当点是的中点时，如图2，再进一步列方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：当点在上时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，点在上，点在上， 此时可能为等边三角形， 当为等边三角形时， ∵， ∴此时，即， 解得； 【小问3详解】 解：∵，解得：， ∴当时，两点相遇， ∴当时，点落在上，此时点也在上． 当点是的中点时，如图1， ∵是等边三角形， ∴，此时，符合题意． 当点是的中点时，如图2， 则，此时， ，符合题意． 综上所述，当为直角三角形时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学北师大版 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中是一元一次不等式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形的三个角都是60° 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，，则的长度为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 无法确定 8. 如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，则________80．（填“”“”或“=”） 12. 用反证法证明 “在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________ . 13. 以，为边长的等腰三角形的底边长为______． 14. 如图，为的角平分线，点是上的一点，于，于，为上另一点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，正确的是______．（填序号） 15. 如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转90°后，点A恰好落在边上的点处，已知，，则______，的长度为______（用含、的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解不等式并把它们的解集表示在数轴上． （1）； （2）． 17. 如图，平移，将顶点A平移到点处，点和点对应，点与点对应． （1）请你作出平移后的图形； （2）线段与的关系是______． 18. 【新情境】 如图，公园里面有一块三角形土地，其中，，米，米．绿化队计划把这块三角形土地分成形状、大小相同的三小块，分别栽上杜鹃花、玫瑰花、郁金香． （1）请你帮绿化队把这块土地分成形状、大小相同的三份；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，请计算其中一块小三角形土地的周长． 19. 如图，中，，，点是边上一点，连接．将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点．若，求证：是的中线． 20. 近两年，“今生簪花，来世漂亮”一句话可谓火遍全网．簪花其实是中国古代佩戴头饰的一种，也称戴花，簪戴，通常是由筷子状的象牙簪固定在螺旋状的发髻上，再由鲜花或其他材料制成的花朵缠绕起来．簪花文化距今已有两至三千年的历史，是国家非物质文化遗产之一．李阿姨去簪花店去簪花，它挑选了颜色鲜艳的16朵玫瑰花和15朵石榴花，共支付203元，每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格便宜3元． （1）求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ （2）李阿姨发现簪花时如果花朵再多一些，整个头型更好看些，所以计划下次来簪花时，两种花的数量为45朵，且总费用不得高于300元．请你帮李阿姨算一算，最多能选多少朵玫瑰？ 21. 如图，在中，，是的平分线，交于在上，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 【教材变式】 甲、乙两家商店销售同款蛇年吉祥物，为吸引更多顾客购买，甲、乙两店分别推出了自己的优惠方案： 甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个吉祥物标价的八折出售． 乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个吉祥物标价的九五折再优惠10元出售． 若用表示购买吉祥物的数量，表示购买吉祥物的总价，其函数图象如图所示． （1）每个吉祥物的标价是多少元？ （2）当时，在甲商店购买吉祥物应付的总价与数量之间的函数关系式为______； 当时，在乙商店购买吉祥物应付的总价与数量之间的函数关系式为______； （3）选择哪家商店购买吉祥物更合算． 23. 如图，为等边三角形，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为（）秒． （1）当点在上时，______（用含的代数式表示）； （2）当点在上时，求当为等边三角形时的值； （3）点在上时，若为直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $