精品解析：湖北省孝感市汉川市2025年4月学业水平调研考试九年级数学试题

2025年九年级4月学业水平调研考试 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 下列计算结果为7的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，， 交于点 ， ， ， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 7. 第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上，，将绕点O旋转，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 请写出的一个同类项：_______． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．聪聪购买了“二十四节气”主题邮票，其中“立春”，“雨水”和“惊蛰”各一张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是______． 13. 化简：的结果为________． 14. 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为______． 15. 如图，矩形中，，，，分别是边，的中点，连接，过点作于点，连接并延长交于点．则 （1）______； （2）______． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 18. 某数学兴趣学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 1．在山脚处测出山顶的仰角； 2．沿着山坡前进到达处，于点；于点； 3．在处测出山顶的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，，，，）请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）则坡面的水平距离______，垂直距离______； （2）求山高度的长． 19. 某中学是一所由“棋圣”聂卫平、古力担任教练的“全国围棋特色学校”．为了让更多的学生受益于围棋教育，学校开展了一场有关围棋的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组（组：；组：；组：；组：），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，89，93，96，99，99，99，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：91，92，94，94． 七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 94.5 C 八年级 93 100 根据以上信息，回答下列问题： （1）在上述图表中：______，______；______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握的围棋知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有300人参加了此次围棋知识竞赛活动．请估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数？ 20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 21. 在中，，以为直径作交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为线段的中点，连接，求证：直线与相切． 22. 习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当时，求垂直于墙的一边长； （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 23. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，，． （1）如图1，． ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，延长，交于点，若点是的中点，，请写出与的数量关系，并说明理由． 24. 二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． （1）则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； （2）如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点． ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． （3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级4月学业水平调研考试 数学试卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 下列计算结果为7的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值，熟练掌握相反数与绝对值的意义是解题的关键． 利用相反数的意义和绝对值的意义对每个选项的结论进行判断即可得出结论． 【详解】A、 ，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选B． 考点：简单组合体的三视图． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了幂的运算．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，， 交于点 ， ， ， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据可得，根据平行线的性质可得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可． 【详解】解：，解得： 在2处是实心圆点且折线向左， 故选：A 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6. “经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯”这个事件是随机事件． 故选：B． 7. 第一道鸡兔同笼问题收录于《孙子算经》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？意思是现在笼子里既有鸡又有兔，有35个头，94只脚，设有鸡、兔各为x，y只，那么下列选项中，方程组列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目的等量关系．根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 【详解】解：设有鸡、兔各为x，y只， 根据题意，可列方程组为， 故选：D． 8. 如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 由题意得是等边三角形，则，进而可得． 【详解】解：如图所示，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，在x轴上，，将绕点O旋转，则点B的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质，进行分类讨论，即逆时针和顺时针两个情况，以及作图，再结合点所在的象限，即可作答． 【详解】解：依题意，当将绕点O逆时针旋转，得，如图： ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 当将绕点O顺时针旋转，得，如图： ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 综上：点B的对应点的坐标为或， 故选：D． 10. 如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线．则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数和x轴的交点问题．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象开口向上，可知， 与轴的交点在轴的上方，可知， 又对称轴方程为直线， 所以， 所以， ，选项错误，不符合题意； B、二次函数的图象与轴交于，两点， ， ，选项错误，不符合题意； C、， ， 当时，， ， ，选项错误，不符合题意； D、对称轴为直线，当时， ∴当时， ∴时，，选项正确，符合题意． 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 请写出的一个同类项：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．聪聪购买了“二十四节气”主题邮票，其中“立春”，“雨水”和“惊蛰”各一张，每张邮票形状、大小都相同．将它们背面朝上放置，从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是概率公式，掌握概率的计算公式是解题的关键，直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：“立春”，“雨水”和“惊蛰”各一张，其中恰好抽到“立春”结果有1种， 从中随机抽取一张，恰好抽到“立春”的概率是． 故答案为：． 13. 化简：的结果为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 14. 如图是小明和小颖玩跷跷板时的示意图，点是跷跷板的中点，支柱与地面垂直，且的长度为，若小明到水平线的距离为时小颖到地面的距离为______． 【答案】##90厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质证明． 【详解】解：∵在和中， ∴， ∴， ∵为水平线， ∴， ∵，， ∴， ∴为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，，分别是边，的中点，连接，过点作于点，连接并延长交于点．则 （1）______； （2）______． 【答案】 ①. ##度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加恰当辅助线； （1）由可证，可得，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由平行线的性质可证，由直角三角形的性质可得结论； （2）通过证明，可得，再由锐角三角函数知识求解． 【详解】解：（1）如图，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作于，于， ，，，分别是边，的中点， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂公式，平方根，有理数的乘方，绝对值的化简，解答即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了零指数幂公式，平方根，有理数的乘方，绝对值的化简，熟练掌握公式是解题的关键． 17. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE． 求证：BE=DF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴AF-OA＝CE-OC， 即OF＝OE， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可； 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 某数学兴趣学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，大山高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 1．在山脚处测出山顶的仰角； 2．沿着山坡前进到达处，于点；于点； 3．在处测出山顶的仰角，山坡的坡角．（图中所有点均在同一平面内） （参考数据：，，，，，）请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）则坡面的水平距离______，垂直距离______； （2）求山高度的长． 【答案】（1）94，34 （2）山的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分式方程的应用． （1）利用三角函数解即可； （2）先证，设山的高度为，则，解分式方程即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， 故答案为：94，34； 【小问2详解】 解：，， 是等腰直角三角形， ． 设山的高度为， ∵， ∴， ，， ， 即， ， 解得， 检验：经检验知是原方程的解， 所以山的高度约为． 19. 某中学是一所由“棋圣”聂卫平、古力担任教练的“全国围棋特色学校”．为了让更多的学生受益于围棋教育，学校开展了一场有关围棋的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理，描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组（组：；组：；组：；组：），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，89，93，96，99，99，99，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：91，92，94，94． 七、八年级抽取学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 94.5 C 八年级 93 100 根据以上信息，回答下列问题： （1）在上述图表中：______，______；______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生掌握的围棋知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有300人参加了此次围棋知识竞赛活动．请估计这两个年级学生参加围棋知识竞赛成绩被评为优秀的总人数？ 【答案】（1）30，93，99 （2）八年级的学生掌握的围棋知识较好．理由见解析 （3）估计成绩被评为优秀的总人数为195人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是正确解答的关键． （1）根据众数、中位数及百分比之和为1求解即可； （2）根据众数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：八年级学生成绩在组的人数所占百分比为， 所以，即， 八年级学生成绩在、组的人数为（人）， 所以八年级学生成绩从小到大排列中第5、6个数据分别为92、94， 所以其中位数， 七年级学生成绩中99分出现次数最多， 所以其众数， 故答案为：30、93、99； 【小问2详解】 解：八年级的学生掌握的围棋知识较好．理由如下： ∵七、八年级的平均数均都是93，且八年级的众数100大于七年级的众数99， ∴八年级的学生掌握的围棋知识较好； 【小问3详解】 解：根据题意，得七年级10名学生的竞赛成绩大于90分的人数为：6人， 八年级10名学生的竞赛成绩大于90分的人数为：（人）， ∴七、八年级抽取的20人中，优秀的人数占比为：， ∴该校七、八年级共有300人参加，估计成绩被评为优秀的总人数为：（人）， 答：估计成绩被评为优秀的总人数为195人． 20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1），点坐标为（1，4））；（2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把代入到解析式，即可求得m的值； （2）根据函数的对称性求得A的坐标，再根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC求得即可． 【详解】解：（1）把点代入，得 ∴反比例函数的表达式为 ∵把代入得： ∴点坐标为（1，4）． （2）∵点与点关于原点对称，点 ∴点 设与轴交于点，直线的函数关系式为， 把点、分别代入得：，解得 ∴直线的函数关系式为 ∴点的坐标（0，3） ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 21. 在中，，以为直径作交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为线段的中点，连接，求证：直线与相切． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据为的直径，得出，根据余角的性质得出； （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵在中，为线段的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵点在上， ∴直线与相切． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 22. 习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． （1）请直接写出与，与的函数关系式； （2）当时，求垂直于墙的一边长； （3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）； （2）垂直于墙的一边长为； （3）当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； 【小问3详解】 解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 23. 如图，在正方形中，，分别是边，上的点，连接，，． （1）如图1，． ①求证：； ②若，，求的长． （2）如图2，延长，交于点，若点是的中点，，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵四边形是正方形，且， ∴， ∴，， ∴， ∴． ② （2） ．理由如下： 在中，∵， ∴设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由正方形得到，然后得到，即可证明出； ②由正方形得到，，求出，．设，则．然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）由设，则，，表示出，然后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②∵四边形是正方形，， ∴，． ∵，， ∴，． 设，则． 由①可知，，， ∴， ∴，即， 解得，即； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，直线经过，两点． （1）则点的坐标是______，点的坐标是______，直线的解析式为______； （2）如图1，已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点． ①当点在第四象限，且时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． （3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有4个公共点时，求的取值范围． 【答案】（1），，直线的解析式为 （2）①点的横坐标为或；②或 （3）当时，直线与这个新图象有4个公共点 【解析】 【分析】（1）先令，求出坐标，再令，求出，再有待定系数法求解直线的解析式； （）①由题意得，，即得，根据对称轴为直线，可得，即得，解方程即可求解；②由，设，其开口向上，对称轴为，当时，，解得，，画出其函数图象，当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，然后观察图象可以得出答案； （）根据折叠可得翻折上来的部分抛物线解析式为，再分别求出直线与新图象恰好有个公共点时的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，， 解得：或， ∴， 当时，， ∴点， 设直线， 代入点， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：①如图， ∵点为直线上的一点，其横坐标为，点在二次函数图象上，且轴， ∴，， ∴， ∵抛物线 ∴该抛物线的对称轴为直线， 又∵轴，且点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 解得（舍）或或或（舍）， ∴点横坐标为或； ②由①知，， 设，其开口向上，对称轴为， 当时，，解得，， 画出其函数图象，如图所示： 如图可知，当或时，；当时，； 当时，需将在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，如图所示： 观察图象可知，当或时，的长度随的增大而增大； 【小问3详解】 解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图： ①当直线经过点时， 把代入得，， 解得； ②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解， 即方程的判别式， ∴， 解得； 综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数几何应用，折叠的性质，一次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $