专题10 等边三角形的判定与性质（3知识点+6大题型+4大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题10 等边三角形的判定与性质 （3知识点+6大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图交于点．求证：是等边三角形 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由．本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ； 又∵， ∴是等边三角形． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，交于点D，交于点E．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】先求出，再根据垂直的定义得出，进而得出， 再根据三角形的内角和得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，关键在于能够熟记等边三角形的判定方法． 3．24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ． （2）证明：， ，且由（1）得， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形． 知识点2：等腰三角形与等边三角形 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，连接，即可证明，根据等腰三角形的性质可证明，再根据三角形外角的性质，可知，即可求出，最后即可证明． 【详解】证明：如图所示，连接． 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上 (3)． 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 知识点3：等边三角形的特殊数据 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是. 【题型1 等边三角形的定义】 1．中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则是等边三角形；正确； ②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；正确； ③顶角为的等腰三角形是等边三角形；正确； ④有两个角都是的三角形，则另一个角也是，故是等边三角形；正确； 故选D． 2．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 【答案】D 【分析】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的三边相等解答．根据等边三角形的性质和判定解答即可． 【详解】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； B、2，3，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； C、2，4，5是不等边三角形，不符合题意； D、4，4，4是等边三角形，符合题意； 故选：D． 3．在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题． 【详解】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是，已知有一个外角是，即是有一个内角是，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形．该结论正确． （2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误． （3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误． （4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题． 4．的三边长为，且满足等式，则的形状是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查完全平方公式，等边三角形的判定，根据完全平方公式变形得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 整理为， ∴， ∴三角形为等边三角形． 故答案为：等边． 5．已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可． 【详解】解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4， ∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4， 它的周长为3×4=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【题型2 等边三角形的判定】 6．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 7．在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等角对等边，等边三角形的判定；三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：①当或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 8．如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 9．如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 【答案】等边，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解答此题的关键．先由得，再根据角平分线的定义得，然后根据平行线的性质得，，进而得，据此可得出结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ，， ， 是等边三角形． 10．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 【题型3 等边三角形的性质】 11．如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先求得，然后证得是等边三角形，然后得到，然后根据三角形外角的性质，即可求解； 【详解】解：∵是含直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外角， ∴； 故选：A； 12．如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】先根据等边三角形性质得，，再根据得，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 13．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是，直线交、于点，若，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是等边三角形是解题的关键． 根据轴对称的性质的得到，，则，由，得到，则是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点关于、的对称点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是， 故选：D ． 14．如图，在等边中，D是上一点，于点E，交的延长线于点F，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识． 作交于点G，可由是等边三角形，推导出是等边三角形，设，则，再证明，则，，所以，，则，由，，得，据此求解得到问题的答案． 【详解】解：作交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 设， ∵交的延长线于点F，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数是解题的关键． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【题型4 等边三角形的实际应用】 16．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，再结合等边三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵衣架杆．， ∴是等边三角形 ∴ 故选：B 17．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，连接，证明是等边三角形，即可求解，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 18．小夏在2024年国庆假期期间去太原市大熊猫繁育研究基地参观．如图，为熊猫基地的围栏，点R处有一只熊猫，小夏想知道他与熊猫的距离，他在P处测得，然后从点P处沿着的方向走了15米到达点Q，测得，则的长为 米． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 证明为等边三角形，则． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：15． 19．如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则两地相距 海里． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，等边三角形的判定和性质，连接，由，海里可得为等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：连接， 由题意可得，，海里， ∴为等边三角形， ∴海里， 故答案为：． 20．（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小．方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点，则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点，点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 【答案】（1）2；（2）4；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，理解并掌握轴对称图形的性质，全等三角形的判定和性质，两点直线线段最短的计算方法是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，轴对称的性质得到的最小值为的值，且，由此即可求解； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接，此时的值最小，，由M，O为的中点，得到，，可证明，得到，由此即可求解； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， 可证，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，是高， ∴作点B关于的对称点，恰好与点C重合，的最小值为的值， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）由题意可知所在直线是的对称轴，连接交于点P，连接， ∴，此时的值最小，， ∵M，O为的中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4； （3）如图所示，以点A为圆心，为半径画弧，以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接交于点，连接并延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置． 【题型5 尺规作等边三角形】 21．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和线段垂直平分线的作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）首先利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等证明，进而可得两个内角的度数为，进而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示：DE即为所求； （2）证明是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 22．如图，在中，点P为边上一点．    (1)尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用利用同位角相等两条直线平行作，则即为所求； （2）利用等边对等角得到，利用平行线得到，再根据三角形的内角和得到，即可得到结论． 【详解】（1）)如图所示:    利用同位角相等两条直线平行作则即为所求. （2） ， ∵ ， ∴， ， 为等边三角形. 【点睛】本题考查平行线的作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 23．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， (1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据作一条线段垂直平分线的方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求： （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图，等边三角形的判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本的判定和性质． 24．如图，，相交于点，． (1)作的角平分线，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，则的形状是______． 【答案】(1)图见详解 (2)等边三角形 【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，然后根据等边三角形的判定方法可判断的形状． 【详解】（1）如图， 即为所作； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和等边三角形的判定． 25．如图，△ABC中，AC＝AB，∠A＝60°，在AC延长线上有一点D． （1）过点D作AB平行线交BC延长线与点E；（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）证明△DEC为等边三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作∠CDE=∠A即可． （2）根据三个角是60°的三角形是等边三角形证明即可． 【详解】解：（1）如图，△CDE即为所求作． （2）∵AC＝AB，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝∠ECD＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠CED＝∠B＝60°，∠CDE＝∠A＝60°， ∴△CDE是等边三角形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【题型6 等边三角形的存在性问题】 26．如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 【答案】(1)12秒 (2)4秒 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，利用方程的思想解决动点问题是本题的关键． （1）设点M，N运动时，M，N两点重合，由点N运动路程=点M运动路程间的路程，列出方程，即可求x的值； （2）设点M，N运动时，可得到等边三角形，由等边三角形的性质可得可列方程，计算求出t的值； 【详解】（1）解：设点M，N运动时，M，N两点重合．则 ， 解得． 即点M，N运动时，M，N两点重合． （2）解：由题可知是等边三角形，由(1)可知当点M在边上，点N在边上，且时， 是等边三角形． 设点M，N运动时，可得到等边三角形，则 ， ． ∵是等边三角形， ∴， 解得， ∴点M，N运动时，可得到等边三角形． 27．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由路程、速度和时间的关系表示的长，由等边三角形的性质及线段的和差关系表示即可得到答案； （2）过点作的平行线交于，证得，得到，进而求得． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 过点作的平行线交于，如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，等边三角形的性质及判定，平行线的判定及性质，全等三角形的判定与性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 28．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． (1)小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ (2)小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ (3)当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明； (2)小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形； (3)小明和小楠运动的时间是秒． 【分析】本题是三角形和几何动点的综合题，考查了行程问题中的相遇问题和追及问题，等边三角形的性质和判定，最基本的数量关系：速度×时间=路程． （1）根据小明的路程=小楠的路程-10列方程可解答； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知当即可符合条件，列方程可解答； （3）证明，则，列方程可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 答：小明和小楠同时运动10秒后，小楠追上小明； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 当时，是等边三角形， ∴， ∴， 答：小明和小楠同时运动秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形； （3）解：如图1，当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，即， 由（1）知：当时，小明和小楠在点C处相遇， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能使得他们到点A的距离相等，此时小明和小楠运动的时间是秒． 29．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，的速度为．当点第一次到达B点时，、同时停止运动． (1)点、运动 秒后，可得到是等边三角形？ (2)点、在边上运动时，当 是以为底边的等腰三角形时，请求出此时、运动的时间； (3)点、运动过程中，当是直角三角形时．请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)2 (2)运动8秒时， 是以为底边的等腰三角形 (3)当或或或9时，为直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． （1）当时是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题； （2）证明得，然后构建方程即可解决问题； （3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形，分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∴， ∴为等边三角形， ∴， 当时，是等边三角形，设运动时间为t秒， 则有：， 解得， 故点M、N运动2秒后，是等边三角形； （2）设x秒时， 是以为底边的等腰三角形（），如图1， ∵， ∴， ∴，     ∵为等边三角形， ∴，     ∴在和中， ∴，     ∴，即， 解得，     故运动8秒时， 是以为底边的等腰三角形； （3）设时间为t，当点N在上运动时（），， 若，如图2， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 若，如图3 则，即， 解得； 当点N在上运动时（），A、M、N不构成三角形； 当点N在上运动时（）， 若N为中点，如图4，由为等边三角形，得，为直角三角形， ∴， 解得：； 若M为中点，如图5，由为等边三角形，得，为直角三角形， ∴， 解得：；     综上所述，当或或或9时，为直角三角形． 30．如图，点O是等边△ABC内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状（按角分类），并说明理由； (3)探究：当α为何值时，． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要利用全等三角形的性质，等边三角形的定义，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定来解答．通过已知条件和图形分析，逐步推导出各个角的度数． （1）通过，得到，再由，证明是等边三角形； （2）由（1）得到是等边三角形，，根据，得到，最后由得到是直角三角形； （3）当时，由，得到α的值． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵， ∴是等边三角形； （2）是直角三角形， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当时， 即，得， 当时，． 【拓展训练一 等边三角形的判定与性质综合】 31．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等边对等角，求出，进而得到的度数，再根据等边对等角进行求解即可； （2）利用证明，即可； （3）根据，得到，推出为等边三角形，进而推出，进而得到即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ， ． 在和中． ， ； （3）．理由如下： 由（2）知， ． ， ． ， ． 为等边三角形， ， ， ， ． 32．如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点D是的中点，求证：； (2)如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）求出，推出，根据等边三角形性质求出，即可得出答案； （2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵D为中点， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过D作，交于F， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即； （3）解：． 证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定与性质． 33．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，； 和是等腰三角形，，，， ∴， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ． 34．如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）①按要求补全图形即可；先证明是等边三角形得到，进而，再根据等角对等边得到，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论； ②如图2，在上截取，连接，证明是等边三角形得到，，则，再证明得到，进而利用可得答案； （2）分当点A在点E右边时和当点A在点E左边时两种情况，利用等边三角形的性质和全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵， ∴． 35．已知：为等边三角形． (1)如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：； (2)如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长； (3)如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)最大时(在上方)，最小时(在下方) 【分析】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题； （1）根据证明即可． （2）如图2中，在上取一点，使得＝，利用全等三角形的性质证明＝即可． （3）如图3中，以为边向外作等边，连接．构造全等三角形，证明＝，求出的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中，是等边三角形， ，， ， ． （2）解：如图2中，在上取一点，使得， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接． ，，， ， ， ， ，， ， ， ． 的最小值为，最大值为． 最大时在上方，最小时在下方． 【拓展训练二 等边三角形的动点问题】 36．已知为等边三角形，其边长为4．点P是边上一动点，连接． (1)如图1，点E在边上，且，连接交于点F． ①求证：； ②填空：______； (2)如图2，将绕点C顺时针旋转至，即，，连接交于点D，试确定与满足的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，连接．在点P运动过程中，当时，则______． 【答案】(1)①详见解析；② (2)4 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）①证明即可；②根据全等三角形的性质及三角形的外角即可求出； （2）在上截取，连接，证明，推出，即可得到结论； （3）延长至M，使，连接．证明，推出是等边三角形，得到，即可求出答案． 【详解】（1）①证明：是等边三角形， ，，         在和中， ，     ；         ②∵， ∴， ∴ 故答案为； （2）如图2，在上截取，连接， 由（1）可知，，， ， ，         ， ， ， ，，         在和中          ， ； （3）如图3，延长至M，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，则， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 由（2）可知，则， 故答案为：． 37．【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）结论成立，证明见解析； （3）20． 【分析】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的盘点过以及性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）证明，可得，，，由此即可求解； （2）证明，可知，，由此即可求证； （3）和都是等边三角形，，再证明为等边三角形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）解：结论成立． 证明如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）解：20．提示： 与（2）同理，可得， ∴，． ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． ∵的周长为60， ∴D． 由（2）可知，． 38．已知线段，点是平面内一动点，连接、，且，过点作，且，连接，，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，过点作，且使，连接，若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)最小值为． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明是等边三角形，则，，由垂直定义得出，又，则，通过等边对等角求出，最后由三角形的外角性质即可求解； （）连接，证明，则，由，所以当三点共线时，有最小值，即最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时， ∴有最小值，即最小值为． 39．如图，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． [问题思考] （1）在图1中，求证：； [问题再探] （2）若，如图2，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出． 【详解】解：（1）证明：，， ，， 又，， ， ， ． ， ∴， ； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ． 40．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线上截取，利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线上截取，用同样的方法证明，再根据，证出为等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴与之间的数量关系是． （3）如图，在射线上截取，连接，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【拓展训练三 等边三角形的模型问题】 41．如图，直线上线段，为线段上一点，和都是等边三角形，连交于，连交于，连．    (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若为直线上一动点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的最小值为6． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； （2）证明，得到，即可得出结论； （3）作点关于直线的对称点，连接，，直线交直线于点，此时，有最小值，最小值为的长，证明点共线，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵、是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形； （3）解：作点关于直线的对称点，连接，，直线交直线于点，    此时，有最小值，最小值为的长， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴点共线， ∴点与点重合， ∴的最小值． 42．如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)，得到，设，则有，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ， 设，则有， ， ，， ， ， ， ， 解得：，即， 故选：A． 43．如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，同理可得出，进而得出，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形，， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ， 同理可得出， ，故正确； 故选：C． 44．如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，则，由此可依据“”判定和全等， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理及，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明和全等得， 再根据得是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 根据得是等边三角形，则，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②∵， ∴， 在中， ， 在中，， 又∵， ∴，，故结论②正确； ③在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ∴，故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 45．如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，．上述结论中正确的有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了轴对称最短问题，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识．①根据等边三角形三线合一可以判断；②由垂直平分，得到，而，得到，得到②中结论；③证明，推出，的大小不会随着点D的移动而变化，故③说法错误；④先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，的周长最小，即最小，而，即最小，当和重合时，取最小值，而此时，据此可判断． 【详解】解：①根据等边三角形三线合一可以得：，故①正确； ②∵垂直平分， ∴， 而， 得到；故②正确； ③∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的大小不会随着点D的移动而变化，③说法错误； ④连接并延长，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，，    ∵， ∴点在射线上移动； ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， 又∵为中点， ∴， ∴， 周长最小，则最小； ∵直线为的垂直平分线， ∴， ， 在中，， 所以当与重合时最小，即为的长， 此时，，故④说法错误； 故正确结论序号为①②． 故答案为：①②． 【拓展训练四 等边三角形的新定义问题】 46．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)18 【分析】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）证明，即可得； （2）延长至点P，使，证明，得到，根据邻补角的定义证明即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，推出，然后得到，即可． 【详解】（1）证明：∵和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点， 和都是等腰三角形， ，，， ， 即 ， ； （2）理由如下：如图2，延长至点P，使， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：连接，如图3所示： ，， ， ∵和互为“兄弟三角形”， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 是公共部分， ． 47．【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材第页的数学活动中有这样一段描述： 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图，四边形中，，．      如图，四边形中，，． 如图、图所示的四边形中，其中是筝形的有________（填序号）． 【性质探究】 （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等；关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形中，，． 求证：________． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：有一条对角线平分一组对角． 结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： 【拓展应用】 （4）如图，在中，，，点分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（）；（）证明见解析；（）筝形的性质为筝形是轴对称图形；筝形的两条对角线互相垂直；垂直平分（答案不唯一）；（）的度数为或． 【分析】（）利用全等三角形的判定方法即可求解； （）连接，证明即可； （）设与交于点，根据筝形的定义即可求解； （）分当，时和当，时两种情况分析即可． 【详解】（）解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， 又，符合“筝形”的定义； 如图， 在和中， ， ∴， ∴， 又，符合“筝形”的定义； 故答案为：； （）证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等； （）解：如图，设与交于点， ∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分， 综上可知：筝形的性质为筝形是轴对称图形；筝形的两条对角线互相垂直；垂直平分（答案不唯一）； （）解：如图，当，时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同上理得：垂直平分， ∴， ∴， ∴； 如图，当，时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，筝形的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 48．我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由． 小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图． 定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成个等腰三角形，把这种分法叫做这个三角形的等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图． (1)如图2，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的4等分线的示意图． (2)请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出一种符合条件的这个正三角形的4等分线图． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质； （1）取三边的中点，，，并连接，即可画出一个这个的等分线的示意图； （2）①如图，取三边的中点，，，得个等边三角形；②作于点，取和的中点，，连接，，得和是等边三角形，和是底角为的等腰三角形；③如图，在上取点，在上取点，使，，再取的中点，连接，，是等边三角形，是等腰三角形，和是等腰三角形． 【详解】（1）如图，取三边的中点，，，并连接，得个等腰三角形； （2）有三种方法： ①如图，取三边的中点，，，得个等边三角形； ②如图，作于点，取和的中点，，连接，，得和是等边三角形，和是底角为的等腰三角形； ③如图，在上取点，在上取点，使，，再取的中点，连接，， 所以是等边三角形，是等腰三角形， 和是等腰三角形． 49．新定义：若一个点四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图，四边形 是“等腰四边形“，BD 为“界线”，若，，则 ． (2)四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，若，，则 ． (3)若在“等腰四边形” 中，，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)45° (2)65°或35°或95° (3)图见解析，90°或135°或45° 【分析】（1）由“等腰四边形”的定义，得，，即可求得，，所以，于是得到问题的答案； （2）由，，且是等腰三角形，得，则，再分三种情况讨论，一是，则，可求得；二是，则，所以，可求得；三是，则，可求得； （3）分三种情况讨论，一是四边形 “等腰四边形”，且，可证明，得，则，，所以；二是四边形“等腰四边形”，且，可证明是等边三角形，则，所以，则，所以；三是四边形 “等腰四边形”，且，设，作于点E，作点C关于直线的对称点F，连接交于点G，连接，可证明是等边三角形，得，则，， ，所以，得． 【详解】（1）如图1，∵四边形是“等腰四边形”，为“界线”， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：45°． （2）∵，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 当时，如图2，则， ∴； 当时，如图3，则， ∴， ∴； 当时，如图4，则， ∴， 综上所述，或或， 故答案为：65°或35°或95°． （3）如图5，四边形 “等腰四边形”，且， ∵，， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图6，四边形 “等腰四边形”，且， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图7，四边形 “等腰四边形”，且，设， 作于点E，作点C关于直线的对称点F，连接交DE于点G，连接， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为90°或135°或45° 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 50．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________≌___________． (2)如图，已知，以为边分别向外作等边和等边并连接，则 ___________°． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解； （3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：等边和等边， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：，理由： ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键 1．如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，作图－复杂作图，解题的关键是掌握等边三角形的判定． 判断出是等边三角形可得结论． 【详解】解：由作图可知， 是等边三角形， 故选：C． 2．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 当是锐角三角形时，然后证明出，得到，证明出是等边三角形，得到，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可，当钝角三角形时，同理求解即可． 【详解】解：如图①：是等腰三角形，，，延长使， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 如图②：是等腰三角形，，，延长使， 同理可得，是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，这个三角形的底角为或． 故选：D． 3．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 4．如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（    ） A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 可证明，得，可判定①；可证明，得可判定②；再由可证明为等边三角形，可判定③；根据现有条件无法证明，可判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴ ∴．故①正确， ∵，三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故③正确． 根据现有条件无法证明，故④错误 ∴正确的有①②③， 故选：C． 5．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（    ）    A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴ 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，      ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 6．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 7．线段，P为中垂线上一点，且，则 度． 【答案】60 【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得，结合已知得到，则是等边三角形，然后可得答案． 【详解】解：如图，P为中垂线上一点，    ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 8．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 9．如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】连接，，，，，利用轴对称的性质可推出是等边三角形，进而得到，当时，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，，，，    ∵点P关于直线，的对称点分别是M，N， ∴AB垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求线段最小值的问题，关键是应用轴对称的性质得出． 10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ． 【答案】20 【分析】此题考查等边三角形，掌握等边三角形的判定和性质是解决本题的关键； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形进行分析解答即可． 【详解】连接， ，， 是等边三角形， ， 故答案为：20． 11．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 12．如图，，点，分别是射线，上的动点，为内一点，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，先根据轴对称的性质可得，，，，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：，，，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴ ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为4， 故答案为：4． 13．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 14．如图，在中，，E是内一点，F是上一点，，平分分别交于点D、H，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理。熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，再证明为等边三角形得到，进而根据三角形的内角和为，结合对顶角相等可得． 【详解】解：∵，平分， ∴， 即， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 15．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键． （1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， 所以； （2）解：因为，， 所以，， 所以是等边三角形． 所以． 16．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）证明为等边三角形，进而推出，即可得证； （2）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知：为等边三角形， ∴， 又， ∴． 17．如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，周角的性质，等边三角形的判定和性质的综合，掌握折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可求解； （2）根据折叠的性质可得，再根据周角的性质即可求解； （3）根据等腰三角形的性质“三线合一”可得，，根据折叠的性质可得是等边三角形，由此可求出，结合点是中点可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：将与分别沿直线、翻折得到与， ∴； （2）解：将与分别沿直线、翻折得到与， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： 将与分别沿直线、翻折得到与， ， ∵，，点是的中点， ∴，， ∴， 是等边三角形， ，， 同理：是等边三角形， ∴， ∴， 当点在的中点， ， ∴， 是等边三角形． 18．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，进而得出，即可得出结论； （2）先证明为等边三角形，进而证明，再由等边三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴为等边三角形． 19．已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值是一个定值， 【分析】（1）根据证根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，过A作于M，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （3）连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 过A作于M， ∴， ∴ ∴的面积； （3）解：的值是一个定值， 连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的面积公式，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 20．在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明； (2)当点C在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①补全图1，先证明是等边三角形，得出，，再利用全等三角形判定推出，即可得出结论；②在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）①解：补全图1如下： ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：若点在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 等边三角形的判定与性质 （3知识点+6大题型+4大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练+4大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图交于点．求证：是等边三角形 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，交于点D，交于点E．求证：是等边三角形．    3．24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 知识点2：等腰三角形与等边三角形 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江衢州·阶段练习）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 知识点3：等边三角形的特殊数据 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是. 【题型1 等边三角形的定义】 1．中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 3．在下列结论中： （1）有一个外角是的等腰三角形是等边三角形 （2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 （3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 （4）三个外角都相等的三角形是等边三角形 其中正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．的三边长为，且满足等式，则的形状是 三角形． 5．已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ． 【题型2 等边三角形的判定】 6．如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 7．在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 8．如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 9．如图，为的角平分线，过点A作交的延长线于点E．若，则是__________三角形，并写出推理过程． 10．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型3 等边三角形的性质】 11．如图，点E是直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 13．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是，直线交、于点，若，且，则的周长是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在等边中，D是上一点，于点E，交的延长线于点F，，，则的长为 ． 15．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【题型4 等边三角形的实际应用】 16．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 17．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 18．小夏在2024年国庆假期期间去太原市大熊猫繁育研究基地参观．如图，为熊猫基地的围栏，点R处有一只熊猫，小夏想知道他与熊猫的距离，他在P处测得，然后从点P处沿着的方向走了15米到达点Q，测得，则的长为 米． 19．如图，一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则两地相距 海里． 20．（1）观察发现 如图1，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使的值最小．方法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P． 如图2，在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在上找一点P，使的值最小． 方法如下：作点B关于的对称点，恰好与点C重合，连接交于一点，则这点就是所求的点P，故的最小值为_____________； （2）实践运用 如图3，在四边形中，点B与点D关于对称，对角线与交于点，点P是对角线上的一个动点，，点M是的中点，求的最小值； （3）拓展延伸 如图4，在四边形的对角线上找一点P，使．（保留作图痕迹，不必写出作法） 【题型5 尺规作等边三角形】 21．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 22．如图，在中，点P为边上一点．    (1)尺规作图：请在上求作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，，，求证：是等边三角形． 23．尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形如图，在中，， (1)请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） (2)连接，求证：是等边三角形． 24．如图，，相交于点，． (1)作的角平分线，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，则的形状是______． 25．如图，△ABC中，AC＝AB，∠A＝60°，在AC延长线上有一点D． （1）过点D作AB平行线交BC延长线与点E；（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）证明△DEC为等边三角形． 【题型6 等边三角形的存在性问题】 26．如图，中，，现有两点M，N分别从点A，B同时出发，按图中箭头指向沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达点B时，M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒时，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒时，可得到等边三角形？ 27．如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点，由点以速度向点运动（与点、不重合），同时，点以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），当点到达点时，，两点都停止运动，设点的运动时间为．过点作于点，连接交于点． (1)________，________．（用含t的式子表示） (2)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 28．如图，小明和小楠两人围绕一个三角形的场地做游戏，开始时小明和小楠分别站在A、B两点，．已知小明的速度是，小楠的速度是，当小楠第一次到达点B时，小明和小楠同时停止运动． (1)小明和小楠同时运动几秒后，小楠追上小明？ (2)小明和小楠同时运动几秒后，恰好使得两人和点A可得到等边三角形？ (3)当小明和小楠在边上运动时（B、C两点除外），能否使得他们到点A的距离相等？如果能，请求出此时小明和小楠运动的时间；如果不能，请说明理由． 29．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，的速度为．当点第一次到达B点时，、同时停止运动． (1)点、运动 秒后，可得到是等边三角形？ (2)点、在边上运动时，当 是以为底边的等腰三角形时，请求出此时、运动的时间； (3)点、运动过程中，当是直角三角形时．请求出此时、运动的时间． 30．如图，点O是等边△ABC内一点，D是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状（按角分类），并说明理由； (3)探究：当α为何值时，． 【拓展训练一 等边三角形的判定与性质综合】 31．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)若，则______． (2)当点D在线段上时，求证：； (3)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由． 32．如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点D是的中点，求证：； (2)如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 33．综合与探究 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示） 34．如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 35．已知：为等边三角形． (1)如图1，点、分别为边、上的点，且．求证：； (2)如图2，点为外一点，、的延长线交于点，连接，已知，且，，求的长； (3)如图3，线段的长为，线段的长为，连接，以为边作等边，连接，直接写出当线段取最大值与最小值时的度数． 【拓展训练二 等边三角形的动点问题】 36．已知为等边三角形，其边长为4．点P是边上一动点，连接． (1)如图1，点E在边上，且，连接交于点F． ①求证：； ②填空：______； (2)如图2，将绕点C顺时针旋转至，即，，连接交于点D，试确定与满足的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，延长至点E，使，连接．在点P运动过程中，当时，则______． 37．【推理】（1）如图1，已知在中，，，直线m经过点A，于点D，于点E，求证：． 【拓展】（2）如图2，将【推理】中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【应用】（3）如图3，D，E是直线m上的两个动点（D，A，E三点互不重合），且和均为等边三角形，连接，，，，若，的周长为60，直接写出的值． 38．已知线段，点是平面内一动点，连接、，且，过点作，且，连接，，交于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，过点作，且使，连接，若，求的最小值． 39．如图，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． [问题思考] （1）在图1中，求证：； [问题再探] （2）若，如图2，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 40．如图，是等边三角形，点、分别是射线、射线上的动点，点从点出发沿射线移动，点从点出发沿移动，点、点同时出发并且运动速度相同．连接、． (1)如图①，当点移动到线段的中点时，求证：． (2)如图②，当点在线段上移动但不是中点时，试探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，当点移动到线段的延长线上，并且时，求度数． 【拓展训练三 等边三角形的模型问题】 41．如图，直线上线段，为线段上一点，和都是等边三角形，连交于，连交于，连．    (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若为直线上一动点，求的最小值． 42．如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 43．如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 44．如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 45．如图，边长为4的等边，F是边的中点，点D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，则以下结论：①；②；③的大小随着点D的移动而变化；④当周长最小时，．上述结论中正确的有 （填序号）． 【拓展训练四 等边三角形的新定义问题】 46．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． (1)如图1，和互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：； (2)如图2，若，，试探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在中，，，D，F分别为边上的点，且和互为“兄弟三角形”，若B，F，E三点在一条直线上，，求的面积． 47．【教材呈现】 在人教版八年级上册数学教材第页的数学活动中有这样一段描述： 如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【概念理解】 （1）如图，四边形中，，．      如图，四边形中，，． 如图、图所示的四边形中，其中是筝形的有________（填序号）． 【性质探究】 （2）由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等；关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整； 已知：如图，在筝形中，，． 求证：________． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． （3）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：有一条对角线平分一组对角． 结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）： 【拓展应用】 （4）如图，在中，，，点分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 48．我们数学八年级上册书本第64页作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画出示意图说明理由． 小明在做此题时发现有多种剪法，图1为其中一种方法示意图． 定义：如果我们用n条线段将一个三角形分成个等腰三角形，把这种分法叫做这个三角形的等分线图．显然，如图1所示的剪法是这个三角形的3等分线图． (1)如图2，为等腰直角三角形，请你画出一个这个的4等分线的示意图． (2)请你探究：如图3，边长为1的正三角形是否具有4等分线图．若无，请说明理由；若有，请画出一种符合条件的这个正三角形的4等分线图． 49．新定义：若一个点四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图，四边形 是“等腰四边形“，BD 为“界线”，若，，则 ． (2)四边形 是“等腰四边形”， 为“界线”，若，，则 ． (3)若在“等腰四边形” 中，，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 50．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________≌___________． (2)如图，已知，以为边分别向外作等边和等边并连接，则 ___________°． (3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 1．如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，已知的大小为，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于（　　） A． B． C．2 D．1 4．如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（    ） A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 5．如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为（    ）    A．7 B．8 C．10 D．12 6．如图，在四边形中，，，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D． 7．线段，P为中垂线上一点，且，则 度． 8．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    9．如图，在锐角中，，，，点P是边上的一动点，点P关于直线，的对称点分别是M，N，连接，则的最小值为 ．    10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，若衣架收拢，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是 ． 11．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上） 12．如图，，点，分别是射线，上的动点，为内一点，且，则的周长的最小值为 ． 13．如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 14．如图，在中，，E是内一点，F是上一点，，平分分别交于点D、H，求的度数． 15．如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 17．如图，等腰中，，，点在线段上运动不与，重合，将与分别沿直线，翻折得到与． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当点是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 18．如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接． (1)若是的中点，求证：； (2)若，求证：为等边三角形． 19．已知：在中，，D为边上一点，过点D作、的垂线，垂足分别为点E，F， (1)当D为边中点时，求证：； (2)当时，求的面积； (3)在（2）的条件下，当点D在线段上运动时，的值是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由． 20．在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明； (2)当点C在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$