精品解析：湖北省武汉市硚口区2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果二次根式有意义，那么的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数得出，求解即可得解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是0， 故选：D． 2. 在▱ABCD中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 利用平行四边形对角相等、邻角互补，结合已知条件求解． 【详解】∵在平行四边形中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 3. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键． 根据题意，得出，再根据勾股定理，得出，再结合正方形的面积，得出，进而即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得， ， 四边形都是正方形， ，，， 正方形A、B的面积分别为25和9， ，， ， 正方形C的面积为： 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求解. 【详解】A. 不能计算，故错误； B. 不能计算，故错误； C. ，故错误； D. ，正确 故选D. 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则. 5. 在，，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出该三角形中最大的内角的度数即可判断A、B；若三角形的三边长满足较小的两边的长度的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不是直角三角形，符合题意； B、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴可设， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 7. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 8. 如图，在一次综合与实践课上，小勤将两张宽度都为1的长方形纸条重叠在一起，并测得，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图分别过B，D作于点F，于点H，求出可得结论． 【详解】解：如图分别过B，D作于点F，于点H， ， 两纸条等宽， ， ， ， 两纸条都是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积 故选A． 9. 如图，在中，，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），过D作，，垂足分别是E，F，连接则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，过点A作于点H，先求出，再根据三角形的面积公式求出，证明四边形AEDF是矩形得，由此得当AD最小值时，EF的值为最小，根据“垂线段最短”得当时，AD为最小，最小值是线段AH的长，据此即可得出EF的最小值． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图所示： ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形的面积公式得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当最小值时，的值为最小， 点D是边上的动点不与B，C重合 根据“垂线段最短”得：当时，AD为最小， 当点D于点H重合时，为最小，最小值是线段的长， 的最小值是， 的最小值是 故选：B． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质，理解垂线段最短，灵活利用三角形的面积，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 10. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，求得，得到，推出，当时，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形为矩形，判断A选项；当时，由，得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形为矩形；判断B选项；当时，由，得到，求得，得到四边形为矩形；判断C选项；当时，则是等腰直角三角形，得到，但不能证得四边形是平行四边形，当时，四边形不一定为菱形，判断D选项． 【详解】解：如图，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 当时，， ， ， ， 四边形为矩形，故A选项不符合题意； 当时， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形；故B选项不符合题意； 当时， ， ， ， 四边形为矩形；故C选项不符合题意； 当时，则是等腰直角三角形， ， 但不能证得四边形是平行四边形， 当时，四边形不一定为菱形，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共7小题，共26分． 11. 计算的结果是__________． 【答案】0.2 【解析】 【分析】根据当时，求解即可． 【详解】解：， 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查二次根式的性质，熟练掌握当时，，当时，是解题的关键． 12. 在实数范围内分解因式：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，得． 【详解】解：根据平方差公式，得 故答案为：． 【点睛】此题考核知识点：平方差公式，解题的关键在于将式子化为形式． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：正方形边长为，即， ， ， 故答案为：． 14. 在菱形中，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求得的长，在中利用勾股定理求得的长，则即可求得．本题考查了菱形的性质，根据菱形的对角线互相垂直且平分，因而边长、对角线的计算一般转化为直角三角形的边的计算． 【详解】解：设菱形对角线，相交于点，如图， 四边形是菱形， ，， 在中，， . 故答案为：. 15. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由正方形的性质和勾股定理得到，则；再证明为的中位线，得到，接着证明是等腰直角三角形，进而由勾股定理得到得到，则，由勾股定理得，则． 【详解】解：延长到点，使，连接，过点作的垂线，垂足为 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ； ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴在中， ， ∴是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 16. 第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，正确的根据图形关系求得和的值是解题的关键． 根据题意可知，，然后将所求式子展开，将和的值代入计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∵大正方形的面积是， ∴， ∴ ， ∴的值是（负值舍去）， 故答案为：． 17. 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 三、解答题：本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）根据二次根式乘除法混合运算法则按照从左到右的顺序计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 19. 已知． （1）直接写出代数式和的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；4； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可以计算出和的值； （2）将所求式子变形，再将（1）中的结果代入计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：， ； ； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 20. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 【答案】（1）这个梯子的顶端距离地面； （2） 不同意，理由如下： 由题意得，，， 在中，， ， ∴， ∴， 所以梯子的顶端A下滑了，不是． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，， 在中，， ， ∴， 答：这个梯子的顶端距离地面； 【小问2详解】 略 21. （1）如图1，在中，，点D，E，F分别是边的中点，连接，求证：； （2）如图2，在梯形中，，若，求证：． 【答案】 证明：（1）在中，，点D是边的中点， ∴， ，分别是边的中点， 是的中位线， ， ； （2）如图2，过点C作，交于E， ， ∵， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据三角形中位线定理得到，得到； （2）过点C作，交于E，根据平行线的性质得到，再证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，得到，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，先在射线上画点D，使，再在上画点E，使； （2）在图2中，点P在线段上，先画线段的中点O，再将线段沿射线方向平移至，使四边形是菱形； （3）在（2）的基础上，先画，再在上画点Q，使 【答案】（1） 解：如图，点D和点E即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； 由网格线的性质得，即， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2） 解：如图，四边形即为所求， 设交网格线于点O， 由网格线的性质得点是的中点，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点O是的中点； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （3） 解：如图，点G和Q即为所求． 由（2）知点是的中点，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边形，矩形，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）在射线上截取，连接格点交于点E，连接，即为所求； （2）设交网格线于点O，取格点，则K为中点，易证，得到，再根据直角三角形的性质可得，易得，进而推出，即可得到点O是的中点；由勾股定理求出，则作即可； （3）连接并延长交延长线于点G，则四边形是平行四边形，连接交于点H，连接并延长交于点Q，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 问题情境 如图1，在四边形中，，，点M为中点，连接记，探究n的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当，时，直接写出n的值； （2）再将问题一般化，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 问题拓展 如图3，在问题探究（2）的条件下，点P在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值． 【答案】（1）2； （2）证明：延长交延长线于 ∵， ，， 又点M为中点， ， ， ，， ，， ， ∴ ， 因此，即（1）中的结论仍然成立； （3），； 【解析】 【分析】（1）先证四边形是菱形，进而利用所对的直角边是斜边的一半即可得解； （2）延长交延长线于，证，可知，再证，得到； （3）由题易得是等边三角形，所以可以沿外侧构造等边三角形，证明，进而可得，由（）知，进而利用特殊角构造直角三角形求解即可． 【详解】解：（1）， ，， 为中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， ， ，即； （2）略 （3）连接，以为边在左侧作等边三角形，过P作于点E，，交延长线于点G， ，， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， 同理，， 由（）知， ， 在中，， ； ， ， 在中，， 【点睛】本题主要平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、含有的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 阅读与思考：在平面直角坐标系中，已知正方形，点的坐标是． （1）点在边上，连接，作交第一象限的角平分线于点． ①如图1，点在上，若，求证：； ②如图2，过点作于，连接，若四边形为平行四边形，求点的坐标． （2）如图3，点在轴正半轴上运动，作，且，连接． ①求证：； ②直接写出的最小值． 【答案】（1） ①证明：正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， 在和中， ； ② （2） ①证明：， ， ， ， ， ， 如图，设分别与交于， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得到，，推出，由推出，，得到，推出，即可得到结论； ②在上取点，使，连接，，则，得到，求出，得到点的坐标为； （2）①证明，设分别与交于，得到，即可得到结论； ②取的中点，连接，设，求出，得到继而得到，即可得到答案． 【小问1详解】 ①略 ②解：如图，在上取点，使，连接 设，则 由①知， ， 四边形为平行四边形， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，取的中点，连接， 由①知， ， 设， ， 在中，， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果二次根式有意义，那么的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 0 2. 在▱ABCD中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 下列各式计算正确的是 A. B. C. D. 5. 在，，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在一次综合与实践课上，小勤将两张宽度都为1的长方形纸条重叠在一起，并测得，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），过D作，，垂足分别是E，F，连接则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 10. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，且，的平分线和它的邻补角的平分线分别交直线于点F和G，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，则四边形为矩形 B. 当时，则四边形为矩形 C. 当时，则四边形为矩形 D. 当时，则四边形为菱形 二、填空题：本题共7小题，共26分． 11. 计算的结果是__________． 12. 在实数范围内分解因式：＝______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，，则点的坐标是 __． 14. 在菱形中，，，则的长是______． 15. 如图，正方形的边长为，对角线相交于点O，点E在的延长线上，，连接．若点F为的中点，则线段的长为____________________． 16. 第届国际数学家大会在中国北京举行，这次大会的会徽如图所示，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，则的值是______． 17. 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 三、解答题：本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 已知． （1）直接写出代数式和的值； （2）求代数式的值． 20. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 21. （1）如图1，在中，，点D，E，F分别是边的中点，连接，求证：； （2）如图2，在梯形中，，若，求证：． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，先在射线上画点D，使，再在上画点E，使； （2）在图2中，点P在线段上，先画线段的中点O，再将线段沿射线方向平移至，使四边形是菱形； （3）在（2）的基础上，先画，再在上画点Q，使 23. 问题情境 如图1，在四边形中，，，点M为中点，连接记，探究n的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当，时，直接写出n的值； （2）再将问题一般化，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 问题拓展 如图3，在问题探究（2）的条件下，点P在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值． 24. 阅读与思考：在平面直角坐标系中，已知正方形，点的坐标是． （1）点在边上，连接，作交第一象限的角平分线于点． ①如图1，点在上，若，求证：； ②如图2，过点作于，连接，若四边形为平行四边形，求点的坐标． （2）如图3，点在轴正半轴上运动，作，且，连接． ①求证：； ②直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $