精品解析：山东省聊城市临清市实验高级中学2025届高三下学期押题卷二数学试题

高三押题卷二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. 或20 D. 2. 设复数z满足=i，则|z|= A. 1 B. C. D. 2 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内含 D. 内切 7. 已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 1215 C. 2430 D. 81 8. 已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则 A. <，< B. <，> C. >，< D. >，> 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的周期为 B. 此函数图象关于直线对称 C. 此函数在区间上有6个零点 D. 此函数在区间上单调递减 10. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 面积的最大值为12 D. 以线段为直径的圆与圆相切 11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，至少有2个零点 C. 当时，有1个零点 D. 当时，可能有4个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示_________． 13. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 14. 如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 16. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数，直线l是曲线在点处的切线. （1）当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； （2）若存在l经过点，求实数a的取值范围； （3）当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 18. 已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 19. 设，对于数列，，…，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，…，为强数列. （1）判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列； （2）若存在公比为负数的等比数列，，…，，使得它为强数列，求公比q的取值范围； （3）设，，…，为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三押题卷二数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，且，则（ ） A. B. C. 或20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的结果分类讨论集合与元素的关系，由此即可列式求解，但要注意检验，由此即可得解. 【详解】由题意集合，，且， 当时，，此时集合，，且，满足题意； 当时，，此时集合，，且，不满足题意； 综上所述，当且仅当，即集合，，此时有， 对比选项可得只有D选项符合题意. 故选：D. 2. 设复数z满足=i，则|z|= A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，所以，故选A. 考点：复数的运算与复数的模. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 则， 所以. 故选：B 4. 已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最大值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最大值时，说明从第项开始数列的项变为非正数，即，且（若，那么，与是最大值矛盾）. 所以由“”可以推出“”，充分性成立.  若，仅知道第项是非负的，但无法确定就是的最大值. 例如，当公差时，数列是递增数列，那么会随着的增大而增大，此时就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.  因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设，，点F关于l的对称点为，结合题意可得，解出、后代入中化简后结合离心率定义计算即可得解. 【详解】由双曲线对称性，不妨设，， 点F关于l的对称点为，则有， 解得，则有， 整理得， 即， 化简得，故， 则. 故选：B. 6. 已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内含 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 7. 已知的展开式的各项系数和为4096，则展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 1215 C. 2430 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，令，求得，化简得到展开式的通项，进而得到答案. 【详解】因为的展开式的各项系数和为， 令，可得，解得，即二项式为， 可得其通项为， 令，可得，所以展开式中的系数为. 故选：B. 8. 已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，则 A. <，< B. <，> C. >，< D. >，> 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴， ∵，∴，故选A． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A正确． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的周期为 B. 此函数图象关于直线对称 C. 此函数在区间上有6个零点 D. 此函数在区间上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期函数定义、轴对称性质判断AB；求出函数的零点判断C；利用导数确定单调性判断D. 【详解】对于A，，函数周期不为，A错误； 对于B，，图象关于直线对称，B正确； 对于C， ，由，得或，又， 则，函数在区间上有7个零点，C错误； 对于D，，当时，，， ，因此，函数在区间上单调递减，D正确. 故选：BD 10. 设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 离心率 C. 面积的最大值为12 D. 以线段为直径的圆与圆相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得，结合椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为椭圆，则， 由椭圆的定义可知，，故A错误； 由椭圆离心率公式可得，故B正确； 因为设点到轴的距离为，显然， 则面积的最大值为，故C正确； 线段的中点为，则以线段为直径的圆的方程为， 其圆心为，半径， 且圆的圆心为，半径， 则两圆的圆心距为， 即两圆外切，故D正确； 故选：BCD 11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当时，有2个零点 B. 当时，至少有2个零点 C. 当时，有1个零点 D. 当时，可能有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的正负分类讨论，分别作出与的函数图象，一一分析计算即可. 【详解】设，函数的零点即的解， 若时，则时，，所以， 如图所示，显然有两个零点，故A正确，C错误； 若时，或， 当时，即时，只有两个零点， 当时，即时，有三个零点， 当时，即时，有四个零点，故B、D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，由二倍角的余弦函数即可求解. 【详解】 如图等腰三角形中，，过作交于， 所以为角平分线， 所以，即， 由已知可得， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 14. 如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件确定正三角形，利用外接圆公共点确定点Q的位置，再结合外心和外接圆半径等条件，通过余弦定理求出线段BD的长度，最后根据点与圆的位置关系求出BQ的最小值. 【详解】延长，交于点，则由题可知为正三角形，为正三角形， 由题设结论，，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点，故点在的外接圆上， 如上图，又由题可知，即为的外心，且外接圆半径为2，， 在中，由余弦定理，所以的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，又分别为的中点， 则，因为， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，利用三角形中位线的性质及异面直线夹角的概念得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用线面垂直的性质定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是二面角的平面角，所以. 如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以， 设平面的法向量为，则，即，可取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】(1) 先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； (2) （i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，， 所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， 所以，， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 所以，， 所以比赛结束后甲获胜的概率， （ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”， , 所以， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 17. 已知函数，直线l是曲线在点处的切线. （1）当，（为自然对数的底数）时，求l的方程； （2）若存在l经过点，求实数a的取值范围； （3）当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数，求出切点坐标，然后求导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）由函数求出切点坐标，由导数求出切线斜率得到切线方程.带点到直线方程得到方程，设函数，通过导数求得函数的单调区间，然后得到函数的最小值，方程有解即函数由零点，即函数最小值小于等于0，建立不等式后求得实数a的取值范围； （3）代入得到函数解析式，然后求出切点坐标，求导数得到切线斜率，然后得到切线方程，即得点坐标.然后得到三角形面积，由（2）得到函数在时取得最小值，由于最小值大于0，从而知道当时，三角面积最小值，即得到结果. 【小问1详解】 当，（为自然对数的底数）时， ，， ，， 所以直线l的方程为，即. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，所以. 所以直线l的方程为. 因为l经过点，所以，化简得. 设，由题意知，存在，使得. 又因为， 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以在时取得最小值. 因为，所以，解得. 此时. 因为， 所以只需.所以a的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，， ，， 直线l的方程为. 令，得，即， 所以. 由（2）知，当时，在时取得最小值， 因为，所以恒成立， 所以当时，取得最小值. 18. 已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得，即可求解； （2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解； （3）设设抛物线的切线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设的方程为，联立，求出、，进而求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. 【小问2详解】 由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． 【小问3详解】 设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 19. 设，对于数列，，…，，若对任意，与均为非负数或者均为负数，则称数列，，…，为强数列. （1）判断数列，，，，与数列，，，，分别是否为强数列； （2）若存在公比为负数的等比数列，，…，，使得它为强数列，求公比q的取值范围； （3）设，，…，为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 【答案】（1） 数列，，，，不是强数列 数列，，，，是强数列 （2） （3）证明如下： 注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项， （若最小的同时存在正项和负项，取负项）. 如果， ①若，则，，故，与（2）中矛盾； ②若，则，，故，由（2）知矛盾， 于是不为首项，同理不为末项，我们取，，三项. （ⅰ）若，则，，且，，故，，，，构成强数列； （ⅱ）若，则，，且，，故，，，，构成强数列. ∴一定可以从数列，，…，中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列. 【解析】 【分析】（1）先求两个数列中所有三角函数值，然后根据强数列的定义判断即可. （2）思路一：利用等比数列求和公式，借助，分别得出，，从而得出，即，验证后，可得解；思路二：借助局部分析，得出与，从而得出，验证后，可得解； （3）注意到若连续三项构成强数列，则中间项的绝对值最小，取数列中绝对值最小的一项，若，由（2）知矛盾，得出不为首项和末项，再取，，三项,进行与讨论即可得证. 【小问1详解】 数列0，1，0，，0，前两项和为1，后三项和为，不是强数列； 数列1，0，，0，1，满足第一项、前两项、前三项、前四项、后一项、后两项、后三项、后四项的和均非负，是强数列. ∴数列，，，，不是强数列， 数列，，，，是强数列. 【小问2详解】 （方法一：等比数列求和）设首项，公比， 依题意，，即， 故，即，故. 另一方面，，即， 故，即，故. 于是，，又1，，1，…，1，，1满足条件，综上，. （方法二：局部分析）设首项，公比， 依题意，，∴， 即， 又∵，∴ 即， 故，即，故，. 同理，， 故，， 于是，又1，，1，…，1，，1满足条件，综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $