专题21.3 一元二次方程的解法-配方法（1个知识点+9个题型+15个巩固题）-2025-2026学年九年级上册数学精准提分系列人教版

专题21.3 一元二次方程的解法“配方法” 【人教版】 题型一：根据配方法进行变形 2 题型二：利用配方法求参数的值 5 题型三：配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 8 题型四：配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 13 题型五：配方法与不等式综合 18 题型六：选填中的最值问题 21 题型七：配方法应用之新定义问题 26 题型八：几何中配方法的应用 30 题型九：配方法综合应用之最值和比较大小问题 38 知识点一 ：“配方法”解一元二次方程 一元二次方程的配方法是一种通过将方程转化为完全平方形式来求解的方法。 解题步骤： 1.将方程变形为标准形式（其中a≠0，a、b、c为常数） 去括号：如果一元二次方程中有括号，首先去括号。 移项：将所有项移到等号同一侧，确保方程右侧为0。 合并同类项：将方程中同类项相加或相减，变成标准形式。 2.配方法解方程。 原方程变形：化为标准形式。 常数项移动：将常数项移到方程的右边。 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数。 加上一次项系数一半的平方：方程两边同时加上一次项系数的一半的平方 配方：将方程左边配成一个完全平方 利用直接开平方解一元二次方程。 题型一：根据配方法进行变形 例1（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，先把移项，得，配成完全平方公式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 【变式训练1-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）用配方法解一元二次方程，配方的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握配方法． 结合完全平方公式进行配方即可得解． 【详解】解：根据完全平方公式可得， 即． 故选：． 【变式训练1-3】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案． 【详解】解： 把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是． 故选：C． 【变式训练1-4】（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，依据题意，利用配方法把原式化为的形式即可判断得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 【变式训练1-5】（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握解答的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤解答，即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， 故选：A． 【变式训练1-6】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程；方程左右两边同时除以变形后，将常数项移动方程右边，方程左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项． 【详解】解：， 二次项化为得：， 配方得：，即． 故选：D 题型二：利用配方法求参数的值 例2（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 先将原方程配方得到，即可得出p、q的值，进而可得答案. 【详解】解：方程即为， 所以， 即， ∴， ∴； 故选：A. 【变式训练2-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 【变式训练2-2】（24-25九年级下·山东泰安·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，变形后即可求出m、n的值． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 所以，， 故选：A． 【变式训练2-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式将方程配方成，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练2-4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程化为的形式，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了配方法，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方确定m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：40． 【变式训练2-5】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，进而可得答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三：配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 例3（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可； （2）移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可． （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用配方法求解即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，； （3） 或 解得，； （4） 解得，． 【变式训练3-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程． (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将原方程转化为，然后用配方法求解； （2）将原方程转化为，然后用因式分解法求解； 解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：，； （2）， ∴，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 【变式训练3-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，．(2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：开平方，得， ∴，． （2）解：配方，得， 即， 开平方，得， ∴，． 【变式训练3-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，(2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由配方法即可求解； （2）先移项，再根据因式分解法求解． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解 ， 或 解得：，． 【变式训练3-4】（24-25九年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 【变式训练3-5】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选取合适的解法是解题的关键； （1）用开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：开平方得：， 解得：． （2）解：移项得：， 配方得：， 即， 解得：． 题型四：配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 例4（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）选择适当的方法解方程 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 解得：． 【变式训练4-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ∴． 【变式训练4-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解关于x的方程 ． 【答案】 【分析】该题考查了解一元二次方程，变形后根据配方法求解即可． 【详解】解：， 变形为：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练4-3】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程可变为， 则或， 解得，； （2）解：方程整理得， 配方得，，即， 开方得，， ∴，． 【变式训练4-4】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）配方法解方程即可； （4）先展开，变成一般式，因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴； ∴； （2） ， ∴； （3） ， ∴； （4） ， ∴． 【变式训练4-5】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 配方得，即， 开方得， 解得． 题型五：配方法与不等式综合 例5（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练5-1】（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，配方法的应用，先由条件可得，，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； ∴， 故选：A 【变式训练5-2】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质及配方法的应用，解决本题的关键是熟练掌握不等式的性质及配方法的应用，由可得，可得可得出， 即对所有成立．将代入得：可得， 再判断即可． 【详解】解：由可得， ， ， ， 即对所有成立． 将代入得： ， ， ， 即对所有成立． 故选：． 【变式训练5-3】（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 【变式训练5-4】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-5】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由得，将其代入后，将不等式整理并配方得，根据非负数的性质可得，，进而可得，再将m、n、p的值代入即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得：， 整理后配方可得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 题型六：选填中的最值问题 例6（23-24九年级上·四川南充·开学考试）当 时，代数式的值最小． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键. 对代数式进行配方，利用平方的非负性解答. 【详解】解： ∵ ∴ ∴当时，原式有最小值 即当时，代数式取得最小值. 故答案为： 【变式训练6-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 【变式训练6-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4． 【详解】解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号）， 则， 当时，代数式有最小值等于4， 故答案为：4． 【变式训练6-3】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答． 【详解】 = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 【变式训练6-4】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查配方法的应用，把代入代数式，利用配方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 【变式训练6-5】（2024九年级上·全国·专题练习）当实数 时，多项式有最 （大或小）值为 ． 【答案】 小 0 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】解：， ∴当实数时，多项式有最小值，最小值为0， 故答案为：，小，0． 【变式训练6-6】（2024九年级上·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ； 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，先根据题意得到，再利用配方法得到，当时，根据，推出，则，当时，根据，推出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：4． 题型七：配方法应用之新定义问题 例7（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 根据，得出与40的大小关系，从而确定m，n的值即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴； ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练7-1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式训练7-2】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，实数的运算，实数大小比较，分两种情况：当时，即时；当时，即时；然后根据定义的新运算列出方程，解方程即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，即时， ， ， 整理得：， ， 或， ，舍去； 当时，即时， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 或， ，舍去，； 综上所述：或， 故答案为：或． 【变式训练7-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 【变式训练7-4】（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查新定义运算和解一元二次方程，根据新定义运算法则得到一元二次方程，求解后再对方程的解进行判断即可 【详解】解：若，则 所以，，得： ， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴，即，的值为：， 故答案为： 题型八：几何中配方法的应用 例8（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，，是等边三角形，且点在射线上，点在射线上，点是的中点，连接，则长度的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】先以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系，得出，再求出点，运用两点的坐标且结合勾股定理表示长度，即，即可作答． 【详解】解：以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴和轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ∵四边形是矩形，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， 设 ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， 则长度的最小值为， 故选：A． 【变式训练8-1】（2024·江苏宿迁·三模）在△ABC中，，P是△ABC所在平面内一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中的最小值，勾股定理、配方法的应用等知识，过作于D，过作于，延长交于，延长交于，设，得出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于D，过作于，延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形是矩形， 设， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，时，的值最小，最小值为． 【变式训练8-2】（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，△ABC中，，，点为△ABC内一点，，若，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 【变式训练8-3】（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，在△ABC中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ， 的最小值为12， 的最小值为． 故答案为：． 【变式训练8-4】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）据欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是线段的长．当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把，代入原方程，然后解方程即可得到答案． 【详解】解：把，代入中得：， 解得或， ∵该方程的一个正根是线段的长， ∴， 故答案为：． 【变式训练8-5】（2023·江苏无锡·一模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 【答案】/ 【分析】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，不等式的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点，可证得，得出，，同理：，，得出，再证得四边形是矩形，得出，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，作于点， 则， 由旋转得：，，， ，， ，， ，， 正方形的边长为2，点是边上的动点， 设，则， ，， 在和中， ， ， ，， 同理：，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 即， ， 线段的取值范围为． 故答案为：． 题型九：配方法综合应用之最值和比较大小问题 例9（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 【变式训练9-1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，一元一次不等式的应用． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用作差法和配方法得，即可得出结论； （3）①根据题意可得，，进而得，再根据墙长24米，得，解不等式即可得自变量的取值范围； ②设鸡场的面积为平方米，则，再利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值1； （2），理由如下： ∵， ∴， ∴； （3）①根据题意可得，， ∴， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为； ②设鸡场的面积为平方米，则 ， ∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 【变式训练9-2】（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)(2)6(3) 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）根据题意可知， （2）令，，则由，即可得出答案． （3）设，根据题意可得出，即可得出当且仅当，即时，，四边形面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为： （2）解：令，，则由， 得 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6， 故答案为：6； （3）解：设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形的面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【变式训练9-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解一元二次方程： （1）利用配方法把原多项式变形为，根据得到当，即时，多项式有最小值，据此可根据题意求出答案； （2）利用配方法把原多项式变形为，进而得到当，即时，多项式有最小值，最小值为，则，解方程求出a、c，进而解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当，即时，多项式有最小值， ∴多项式关于对称， 故答案为：； （2）解： ， 同理可得当，即时，多项式有最小值，最小值为， ∵关于的多项式关于对称，且最小值为3， ∴， ∴， ∴方程即为方程， ∴， 解得． 【变式训练9-4】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 【变式训练9-5】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)代数式的最小值为 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）配方得出，结合题意得出，求解即可； （3）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，为， ∵代数式的最小值为2， ∴， 解得：； （3）解：，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∴． 【变式训练9-6】（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可解答； （3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：，则多项式关于对称． 故答案为：3． （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∵关于的多项式，关于对称， ∴， ∴． （3）解： ∴关于对称． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，勾股定理，配方法，算术平方根，熟练掌握配方法是解题的关键．由点到原点的距离为：，结合逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可． 【详解】解：∵P点坐标为， ∴点到原点的距离为：， ∵， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用配方法解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 代入到方程，得， 整理得：， ， ， ， ， 解得：，， 关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022． 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关键．分和两种情况，分别计算即可． 【详解】解：当，即时， ， 解得， 当，即时， ， 解得， 综上，的值为或， 故选：A． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法．把常数项移到方程的右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边变成完全平方式即可． 【详解】解： ∴， 则， ∴ 故选：D 5．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确； 由等式的性质可得， 所以， ∴，故小红出错． 故选C． 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握解一元二次方程． 依据题意，由海伦-秦九韶公式转化得到关于b的一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， 即 即 把，，代入得： 整理得， 即 且 即， 故选：A 7．（24-25九年级上·广西贵港·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，求代数式的值，先将化成，得出、的值，再代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知是完全平方式，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，即， ，则，即，解得， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了代数式的知识，根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， ， ， ∴， 当时，原式取最小值为10， 故答案为：10． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 11．（2025·河北邯郸·一模）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“我若输入，输出的多项式指定比1大”，你同意淇淇的说法吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)同意淇淇的说法，见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序． （1）把代入题目所给运算式进行计算即可； （2）根据题目所给运算式，得出代数式，然后利用配方法将其变形从而分析其最值，即可解答． 【详解】（1）解：将代入可得：， ∴输出的多项式为：． （2）解：同意淇淇的说法，理由如下： 当输入为时多项式为． ． 输出的多项式指定比1大． 12．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 【答案】；；； ；（1）；；（2） ；；（3）此方程无实数根 【分析】利用配方法得，然后分三种情况讨论：（1）当时，（2）当时，（3）当时，分别求解即可． 本题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的过程，并进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ，； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为：，； （3）当时，此方程无实数根． 故答案为：；；； ；（1）；；（2） ；． 13．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 【答案】(1)(2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 14．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【答案】(1) (2)4 (3)等腰三角形的底边长为1 【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可． （2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可． （3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长． 【详解】（1）解： ． （2）解： 的最小值是4． （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当三边为2，2，1时，能构成三角形， ∴底边长为1； ②当三边为2，1，1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1． 15．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式的最小值时，（______）______，因此当______时，的最小值是______． (2)请比较多项式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值． 【答案】(1)4，14，4，14； (2)，理由见解析； (3)时，有最大值 【分析】本题考查了完全平方式，配方法，作差法比较整式的大小，平方的非负性，整式的加减，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用配方法可得，，时，的最小值为14； （2）利用“作差法”，可得，再利用平方的非负性，可得，从而比较出大小； （3）先表示出和，然后表示出，利用表示出面积，然后利用配方法，求得最大值． 【详解】（1）解：4，14，4，14，理由如下： ，， 时，的最小值为14； （2）解：，理由如下： ，， ， ， （3）解：点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动，时间为， ，， 在中，，，， ， ， ，， 时，有最大值， 的最大值为． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 一元二次方程的解法“配方法” 【人教版】 题型一：根据配方法进行变形 2 题型二：利用配方法求参数的值 5 题型三：配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 8 题型四：配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 13 题型五：配方法与不等式综合 18 题型六：选填中的最值问题 21 题型七：配方法应用之新定义问题 26 题型八：几何中配方法的应用 30 题型九：配方法综合应用之最值和比较大小问题 38 知识点一 ：“配方法”解一元二次方程 一元二次方程的配方法是一种通过将方程转化为完全平方形式来求解的方法。 解题步骤： 1.将方程变形为标准形式（其中a≠0，a、b、c为常数） 去括号：如果一元二次方程中有括号，首先去括号。 移项：将所有项移到等号同一侧，确保方程右侧为0。 合并同类项：将方程中同类项相加或相减，变成标准形式。 2.配方法解方程。 原方程变形：化为标准形式。 常数项移动：将常数项移到方程的右边。 二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数。 加上一次项系数一半的平方：方程两边同时加上一次项系数的一半的平方 配方：将方程左边配成一个完全平方 利用直接开平方解一元二次方程。 题型一：根据配方法进行变形 例1（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）用配方法解一元二次方程，配方的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）把方程左边配成一个完全平方式后，得到的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式训练1-4】（2025·河南平顶山·模拟预测）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-6】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）把方程配方，化为的形式应为（   ） A． B． C． D． 题型二：利用配方法求参数的值 例2（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【变式训练2-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-2】（24-25九年级下·山东泰安·期中）把方程配方成的形式，则m、n的值分别为（   ） A．、2050 B．5、2050 C．5、 D．、2025 【变式训练2-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 【变式训练2-4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程化为的形式，则 ． 【变式训练2-5】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程时，若将方程化为的形式，则 ． 题型三：配方法解一元二次方程（二次项系数为1） 例3（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练3-1】（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程． (1)； (2)； 【变式训练3-2】（24-25八年级下·江苏盐城·期中）解方程： (1) (2) 【变式训练3-3】（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练3-4】（24-25九年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练3-5】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 题型四：配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 例4（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）选择适当的方法解方程 (1) (2) 【变式训练4-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）解下列方程： (1) (2)． 【变式训练4-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）解关于x的方程 ． 【变式训练4-3】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）解方程： (1) (2) 【变式训练4-4】（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练4-5】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 题型五：配方法与不等式综合 例5（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（2025·山东聊城·二模）已知实数a，b，c满足，，下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练5-2】（2025·安徽池州·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2025八年级下·全国·专题练习）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【变式训练5-5】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，则的值为 ． 题型六：选填中的最值问题 例6（23-24九年级上·四川南充·开学考试）当 时，代数式的值最小． 【变式训练6-1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【变式训练6-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【变式训练6-3】（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）代数式的最小值是 ． 【变式训练6-4】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【变式训练6-5】（2024九年级上·全国·专题练习）当实数 时，多项式有最 （大或小）值为 ． 【变式训练6-6】（2024九年级上·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ； 题型七：配方法应用之新定义问题 例7（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）对于有理数a，b，定义的含义为：当时，；当时，．若，则的值等于 ． 【变式训练7-1】（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【变式训练7-2】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是 ． 【变式训练7-3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式训练7-4】（2024·江苏苏州·一模）我们规定：若，则．例如，则．已知，若，且，则的值为 ． 题型八：几何中配方法的应用 例8（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，，是等边三角形，且点在射线上，点在射线上，点是的中点，连接，则长度的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练8-2】（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，△ABC中，，，点为△ABC内一点，，若，则长度的最小值为 ． 【变式训练8-3】（23-24九年级上·广东东莞·期中）如图，在△ABC中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是 ． 【变式训练8-4】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）据欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是线段的长．当，时，的长为 ． 【变式训练8-5】（2023·江苏无锡·一模）如图，正方形的边长为2，点是边上的动点，连接、，将绕点顺时针旋转得到，将绕点逆时针旋转得到，连接，则线段的取值范围为   ． 题型九：配方法综合应用之最值和比较大小问题 例9（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【变式训练9-1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【类比应用】 （2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【变式训练9-2】（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当，时，由，得当且仅当时，取到等号．已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下列问题： (1)______（用“”“”“”填空） (2)当，式子的最小值为______． (3)如图，四边形的对角线、相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【变式训练9-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）小慧在学习配方法的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式，由于，所以当时，多项式有最小值；多项式，由于，所以当时，多项式有最大值．于是小慧给出一个定义：关于x的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于对称，例如关于对称．请结合小慧的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于_______对称； (2)关于x的多项式关于对称，且最小值为3，求方程的解． 【变式训练9-4】（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【变式训练9-5】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； (3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【变式训练9-6】（24-25八年级上·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 3．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定表示a，b中较小的数，如：，若，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．3或 4．（2024九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 6．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，且，则b值为（    ） A． B． C． D．10 7．（24-25九年级上·广西贵港·阶段练习）把一元二次方程化成的形式，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知是完全平方式，则常数的值是 ． 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)． 11．（2025·河北邯郸·一模）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对，白板屏幕上就会出现． (1)嘉嘉在电脑屏幕上输入，求输出的多项式； (2)淇淇说“我若输入，输出的多项式指定比1大”，你同意淇淇的说法吗？请通过计算说明理由． 12．（24-25九年级上·广西河池·期中）用配方法完成下列推理过程． 解： ； ；   ； （1）当时，此方程有两个不相等的实数根分别为： ； ； （2）当时，此方程有两个相等的实数根分别为： ； ； （3）当时，请写出此方程根的情况． 13．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为； (2)求代数式的最大或最小值． 14．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 15．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式的最小值时，（______）______，因此当______时，的最小值是______． (2)请比较多项式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值． 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$