精品解析：四川省成都市树德中学2025届高三高考适应性考试数学试题

树德中学高2022级高考适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意设复数的代数形式，再由条件求得，进而得到其对应点的坐标，从而判断得解. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 则设， 因为，所以， 所以复数在复平面内所对应的点为， 又，所以该点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的运算律首先求得，进而得到结果. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查平面向量模长的求解问题，关键是能够根据数量积的运算律首先求得模长的平方，进而得到结果. 3. 直线与圆相切，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 0或3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由已知得圆的圆心为，半径r=1， ∵直线和圆相切， ∴，解得m=0或3． 故选:． 4. 已知，是第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 5. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令 得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为. 故选：C. 6. 已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线的斜率的范围，可得到的范围，进而可得到椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意得，， 从而椭圆的离心率. 故选：B 7. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算，由众数定义可得B，计算低于60分的人数即可得C，根据百分位数的定义计算即可得D. 【详解】对于A：由频率分布直方图可得，解得，故A正确； 对于B：由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为，故B正确； 对于C：，故成绩低于分的有人，即C正确； 对于D：由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第85百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第85百分位数为 ， 则有，解得， 即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误. 故选：D. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论在 不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为 ． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知集合，，则 B. 已知集合，，则 C. 已知集合，则是的充分不必要条件 D. 已知 ， 为随机事件，，，且 ， 相互独立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由对数函数以及指数函数的单调性，根据集合的交集与补集，可得其正误；对于B，根据长方体与正四棱柱的定义，可得其正误；对于C，由集合包含关系，根据充要条件，利用反例，可得其正误；对于D，由概率的加法与乘法，可得其正误. 【详解】对于A，，，则或，正确； 对于B，正四棱柱底面为正方形的直四棱柱，从而，正确； 对于C，当时，成立，但是的充要条件，错误； 对于D，，正确. 故选：ACD. 10. 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 若，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据图象平移前后的三角函数化简可求得的值；对于选项B，直接根据正切公式化简即可求得；对于选项C，D，根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】对于A：的图象向右平移 得. 又， 且，，A错误. 对于B：由于，，B正确. 对于C：由得， 从而，C正确. 对于D： ，且得， 从而. 则，D正确. 故选：BCD. 11. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当其可被互不重叠的四个形状相同的区域分割，且每个区域各相邻最小正方形有一条边重合，同时恰含有 个 和 个 ．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举出符合条件的“连续完美分割”图，结合“连续完美分割”的定义逐项判断即可. 【详解】ACD可“连续完美分隔”如图： 对于B，对于的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下种情形或其旋转图形， 经验证，符合条件的分割方式不存在． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图像过点，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值． 【详解】由设f（x）＝xa，图象过点（，）， ∴（）a，解得a， ∴log4f（2）＝log4． 故答案为 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值． 13. 已知公差不为0的等差数列的前 项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前 项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 14. 已知 平面 ，，，于 ，于 ， 在上，且满足，则四面体 与的外接球的体积比的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件中的几何关系，以及四面体与外接球的性质，分别求得四面体 与的外接球的半径，再计算比值，即可求解体积比值. 【详解】设，则，，， 因为 平面 ，平面 ，所以 , 且，，平面 ， 所以 平面 ，平面 ，所以 ， 所以四面体 的外接球的直径为，所以半径， 对四面体，， 因为，所以， 则 是四面体的外接球的直径， 所以四面体的外接球半径为， 所以，只求 的范围，设，则，，，则， 令，则，且， 在中，由余弦定理可知， ，则， 所以，则外接球的体积比的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥 的底面是矩形， ，， 是等边三角形，平面平面 ， ， 分别是 ， 的中点， 与 交于点 ． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点 ，求直线 与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为 为正三角形， 是 中点，所以， 又因为平面平面 ，平面平面，平面 ， 所以平面 ，又平面 ，所以， ， ，．又， 在平面内且相交， 故平面 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面 ，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以 为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 分别为 ， 的中点，， 又平面过 且不过，平面， 又平面交平面于，故，进而， 因为 是 中点，所以 是的中点． 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 设直线 与平面所成角为 ， 则， 所以， 故直线 与平面所成角的余弦值为． 16. 已知函数. （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，，求导可得，，再结合切线的几何意义，即可求解． （2）设，则，，，再利用导数研究函数的单调性，分和两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：当 时，函数，定义域为， 又，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 解：若在上恒成立， 即在上恒成立， 可令，， 则，，， 令，可解得， 当时，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，， 又，所以恒成立， 即时，在上恒成立， 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时，，又，，即， 不满足恒成立，故舍去， 综上可知：实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数分类讨论求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想. 17. 在 中，角的对边分别是，且． （1）求角 的大小； （2）如图，若 为锐角三角形，点 为 的垂心，，设， （i），求 的面积； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理及两角和正弦公式，求得，得到，即可求解； （2）①当，得到 等边三角形，进而求得其面积； ②由，求得和，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理，可得， 又因为，可得， 代入上式，可得， 因为，可得，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 ①若，则即是 高线又是角平分线，且， 所以 等边三角形， 如图：延长交 于 . 因为 为 的垂心，所以 也是 的外心和重心. 因为，可得，，所以，所以. 所以 的面积为. ②如图：延长交 于 ，连接并延长交 于 . 因为 为 垂心，所以，. 又因为，所以，. 因为，且，则，， 又因为，， 则， 因为，可得， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以取得最大值. 所以的取值范围为. 18. 已知点在抛物线的准线上． （1）求抛物线的方程； （2）过点 作直线 与抛物线交于 、 两点，过 作斜率为2的直线交抛物线于 ． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线交于另外一点 ，求证：． 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设点，由点在抛物线上， 得直线 的斜率， 则直线 的方程为：，即， 由直线 过点，得，设， 则直线斜率，即，， 于是，即，， 又直线的方程为：，即， 所以直线恒过定点． （ii）证明如下： 由直线 过点，得，则， 而，于是，化简得， 则直线的斜率，所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件求出 即可. （2）（i）设点，由已知可得，，求出直线即可得证；（ii）由（i）及直线 过点 求出的斜率即可. 【小问1详解】 抛物线的准线为，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为 ，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． （1）求 ； （2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分 的分布列和数学期望； （3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 1 2 数学期望为 （3）小勇状态见解析，最大概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据条件概率计算得分 对应概率可得分布列，根据分布列可计算概率； （3）按照比赛时间分类讨论可得达成何种状态时概率最大. 【小问1详解】 小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． 所以，即， 则，所以，或（舍去）．则． 【小问2详解】 定义事件：小勇与小勤比分为，：小勇最终得分为，则的可能取值为：0，1，2， ， ； ； 则小勇的得分 的分布列为： 0 1 2 ． 【小问3详解】 当包括换下时间时，每局比赛花1.5分钟或2分钟结束， 则6分钟内小勇与小勤打了完整两局，小勇与小忠打了完整一局，另一局可能是完整的． ①小勇与小勤打2分钟时， 先赢一球，再主动认鍮，再赢一球的概率最高，为； ②小勇与小勤打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； ③小勇与小忠打2分钟时，赢一球，再主动认输，再赢一球的概率最高，为； ④小勇与小忠打1.5分钟时，连赢两球，其概率为； 小勇与小忠最后一颗球所用时间由前三局决定，前三局有局1.5分钟结束， 则最后一局打分钟，其中． 若小勇与小忠第一局打了1.5分钟，则最后一局多一颗球，多加一场要留在场上的概率， 故认为概率最大时，小勇与小忠第一局打了2分钟，即． 时，则第四局小勇可以连输两球，此时； 时，小勇最后1球可不赢，此时，； 时，； 综上，最大概率为，最佳状态是与小勤打2局：每局均1.5分钟，均获胜， 同时与小忠至少打两局：第一局为2分钟，获胜. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2022级高考适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线与圆相切，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 0或1 D. 0或3 4. 已知，是第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 6. 已知椭圆与双曲线，双曲线渐近线斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（    ） A. 的值为0.005 B. 估计这组数据的众数为75 C. 估计成绩低于60分的有250人 D. 估计这组数据的第85百分位数为85 8. 若函数的值域为，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知集合，，则 B. 已知集合，，则 C. 已知集合，则是的充分不必要条件 D. 已知 ， 为随机事件，，，且 ， 相互独立，则 10. 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 若，且，则 11. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当其可被互不重叠的四个形状相同的区域分割，且每个区域各相邻最小正方形有一条边重合，同时恰含有 个 和 个 ．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图像过点，则的值为________. 13. 已知公差不为0的等差数列的前 项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 14. 已知平面，，，于 ，于 ， 在上，且满足，则四面体与的外接球的体积比的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱锥的底面是矩形， ，， 是等边三角形，平面平面，， 分别是 ，的中点， 与 交于点 ． （1）求证：平面； （2）平面与直线 交于点，求直线 与平面所成角的余弦值． 16. 已知函数. （1）若 ，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，都有，求实数 的取值范围. 17. 在 中，角的对边分别是，且． （1）求角 的大小； （2）如图，若 为锐角三角形，点 为 的垂心，，设， （i），求 的面积； （ii）求的取值范围． 18. 已知点在抛物线的准线上． （1）求抛物线 的方程； （2）过点 作直线 与抛物线交于 、 两点，过 作斜率为2的直线交抛物线于 ． （i）求证：直线过定点； （ii）直线与抛物线 交于另外一点 ，求证：． 19. 小忠、小勇、小勤三人进行乒乓球运动，赢一球得1分，输球不得分．每局先得2分者获胜，此局结束，负者换下．每一颗球，小忠胜小勇的概率为 ，小勇胜小勤的概率为（其中是每局中前一颗球打完时小勇得分减去小勤得分的值，规定：打第一颗球时）．小忠与小勇打一局，小忠得1分而下场的概率为． （1）求； （2）若小勇与小勤打了一局，求小勇的得分 的分布列和数学期望； （3）若小勇和小勤首先上场打球，假设打每颗球和换人的用时均为30秒，小勇可以主动认输，认输也会用时30秒（也算作在场上），认输后在下一颗球中，小勇胜小勤的概率为，其它两人不能主动认输．小勇要在接下来的6分钟时间（含第6分钟）使自己一直在场上的概率最大，他应该努力达成何种状态，说明其状态并求出最大概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $