精品解析：湖北省孝感市孝昌县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度下学期初中期中质量监测八年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的定义进行筛选即可． 【详解】选项A中，是2的算术平方根，，所以是二次根式，选项A正确； 选项B中，，，无意义，故不是二次根式，选项B错误； 选项C中，是3的立方根，不是二次根式，；选项C错误； 选项D中，，没有明确的范围，存在的情况，不能保证有意义，故不是二次根式，选项D错误； 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的定义，当时，为二次根式，且，正确的理解二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列二次根式中最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简二次根式的定义进行筛选即可． 【详解】选项A中包含可开方因数4，可化简为，故选项A错误； 选项B中，为小数，可化简为，故选项B错误； 选项C中，15不含可开方因数，且为整数，是最简二次根式，故选项C正确； 选项D中包含可开方因数4可化简为2，故选项D错误． 故选C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，不包含可开方因式及因数且不包含分数（小数）的二次根式是最简二次根式，正确判断得最简二次根式是解题得关键． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理和勾股数的定义对各项进行检验即可． 【详解】解：A.∵，∴不是勾股数； B.∵，但不是正整数，∴不是勾股数； C.∵，∴不是勾股数； D.∵，∴是勾股数， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，推导出平行四边形相邻两个内角互补是解题的关键．由平行四边形的两组对角分别相等，可以确定度数比为的两个内角是该平行四边形相邻的两个内角，设这两个内角中较小的角的度数是x，则较大的角为，由平行四边形相邻的两个内角互补得，求得，于是得到问题的答案 ． 【详解】解∶平行四边形的两组对角分别相等，且两个内角的度数比为， 这两个内角是相邻的两个内角． 平行四边形的两组对边分别平行， 平行四边形相邻两个内角互补． 设这两个内角中较小的角的度数是x，则较大的角为，．则 ． 解得． 故选∶ A． 5. 如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不对 【答案】A 【解析】 【分析】分别表示出三个三角形的面积，再根据平行四边形的性质得出答案． 【详解】解：设和之间的距离是h，根据题意，得，，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 可知． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，理解各三角形面积之间的关系是解题的关键． 6. 下列命题：①对角线相等的菱形是正方形；②四个内角都相等的四边形是矩形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：对角线相等的菱形是正方形，①是真命题； 四个内角都相等的四边形是矩形，②是真命题； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，③是真命题； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，④是假命题， 综上，真命题有①②③共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关特殊四边形的判定条件． 7. 如图，菱形的两条对角线交于点O，于点E，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求出菱形的边长，再由菱形的面积公式可求解． 【详解】∵菱形，， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键． 8. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 9. 如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）． A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理进行解答，先求出梯子未下滑时顶端距地面的距离，根据顶端下滑4米，再求出下滑后梯足距离墙角的距离，便可计算梯足滑动的距离． 【详解】解：梯子未下滑时顶端距地面的距离：，下滑4m后，梯子顶端距地面24-4=20m，此时梯足距离墙角的距离：， ∴15-7=8m， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 10. 圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ） A. 20 B. 10 C. 14 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将圆柱体展开，如图，则即为所求， 由题意，得：， ∴， ∴要爬行的最短路程为10； 故选B． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 若，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得，则根据绝对值的意义得到x-3≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴x-3≥0， 即x≥3． 故答案为：x≥3． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简：解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 12. 如图，中，，， 分别是的中位线和中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：是的中线， ， 即：， 是的中位线， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13. 如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴； 故答案为：2． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 15. AD是△ABC的高，AB=4,AC=5,BC=6，则BD=_______. 【答案】 【解析】 【分析】运用两个直角三角形根据勾股定理表示出BD求解即可． 【详解】解：如图 ∵在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，AD⊥BC， ∴在Rt△ABD中：AD2=AB2-BD2，在Rt△ACD中：AD2=AC2-CD2， ∴AB2-BD2=AC2-CD2， ∴42-BD2=52-（6-BD）2， 解得：BD=. 故答案为 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 16. 如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是_______． 【答案】14 【解析】 【分析】由矩形的性质可得垂直平分，推出，将的周长转化为，根据勾股定理求得，进一步求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 垂直平分， ， ，， ， 的周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（共8题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）先根据完全平方公式及平方差公式展开，再合并即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式； ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【点睛】本题考查化简二次根式及实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握， ． 18. 如图，E点是边上的中点，连结并延长交的延长线于点F.求证：. 【答案】 证明：在中， ∴. ∵E点是边上的中点， ∴. 在和中，， ∴， ∴ 【解析】 【分析】在中，，则，由点E是上的中点，则，即可证明，即可得到结论. 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键. 19. 已知，，求代数式的值． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分母有理化，二次根式混合运算法则． 根据分母有理化首先求出，，从而得出、，然后根据完全平方公式把原式变形，再代入即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 20. 如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处 （1）求CE的长； （2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）先判断出AF=AD=8，进而利用勾股定理求出BF=6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论； （2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10， ∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10， 由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝＝6， ∴CF＝BC﹣BF＝4， 设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x， 在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2， ∴16+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴CE＝3； （2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P， 此时，PA+PE最小，最小值为AE'， ∵CD＝8， ∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11， 在Rt△ADE'中，根据勾股定理得， AE'＝＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是求出CE． 21. 如图，，是的中线，，与交于点，且点恰好是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：是的中线， 点是的中点， 又点是的中点， 即， ， 四边形是平行四边形， 是的中线，， ， 四边形是菱形； （2）32． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识， （1）先证四边形是平行四边形，由是的中线，得出，进而即可得证； （2）在菱形中，，可证出是等边三角形，进而即可得出菱形的周长； 熟练掌握其性质的综合应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在菱形中，， ， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长为：． 22. （1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形； （2）如图2，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接，，． ①判断四边形的形状，并证明； ②已知，求的长． 【答案】 （1）证明：∵平分，，， ∴，，， ∵， ∴四边形是正方形． （2）①四边形为菱形． 证明：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵点H是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形 ② 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，根据正方形的判定进行判定即可； （2）①根据直角三角形的性质得出，根据斜边的中线等于斜边的一半得出，，证明，得出结论即可； ②根据四边形为菱形，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②设与的交点为O． ∵，点H是的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响，如图，有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． （1）求度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ （3）若拖拉机的行驶速度为每分钟米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】（1） （2） 学校会受噪声影响． 理由：如图，过点作于， 由等面积法可得：， ， ， 拖拉机周围以内为受噪声影响区域， 学校会受噪声影响． （3）拖拉机噪声影响该学校持续的时间有分钟 【解析】 【分析】（1）先证明，可得； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【小问1详解】 解：，，， ， 是直角三角形， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当，时，正好影响学校， ， ， 拖拉机的行驶速度为每分钟米， 分钟， 即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有分钟． 【点睛】本题考查的是勾股定理及逆定理在实际生活中的运用，等腰三角形的性质，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 24. 如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）求的长； （3）如图，动点，分别从，两点同时出发，沿和各边匀速运动一周后停止，即点沿运动，点沿运动，在运动过程中，已知点的速度为，点的速度为，运动时间为，当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合矩形性质及垂直平分线定义证明后，根据全等三角形性质即可证明四边形为菱形； （2）根据矩形性质、菱形性质推得、，设，利用勾股定理即可求得； （3）根据平行四边形性质得到，再根据勾股定理得到，用分别表示和，列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，，， ，， 四边形是菱形， ， 设， 则， 中，， ， 解得：， 即． 【小问3详解】 解：显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或者在，在时不构成平行四边形， 只有当点在上，点在上时，以、、、四点为顶点的四边形才是平行四边形，此时， ，即， 由（2）得， ，， ， 解得：， 故当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，． 【点睛】本题考查的知识点是矩形性质、垂直平分线定义、全等三角形的判定与性质、菱形的判定及性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程，解题关键是熟练掌握菱形的判定、勾股定理的应用及分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期初中期中质量监测八年级数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 5，12，13 4. 若平行四边形中两个内角的度数比为，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点E在平行四边形的边上，的面积记为，的面积记为，的面积记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 以上结论都不对 6. 下列命题：①对角线相等的菱形是正方形；②四个内角都相等的四边形是矩形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，菱形的两条对角线交于点O，于点E，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 8. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（ ）． A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 10. 圆柱高8，底面半径2，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ） A. 20 B. 10 C. 14 D. 无法确定 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 若，则的取值范围是_____________． 12. 如图，中，，， 分别是的中位线和中线，，则______． 13. 如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则_______． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 15. AD是△ABC的高，AB=4,AC=5,BC=6，则BD=_______. 16. 如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是_______． 三、解答题（共8题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，E点是边上的中点，连结并延长交的延长线于点F.求证：. 19. 已知，，求代数式的值． 20. 如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处 （1）求CE的长； （2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 21. 如图，，是的中线，，与交于点，且点恰好是的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 22. （1）如图1，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，求证：四边形是正方形； （2）如图2，在中，，平分，过点D作于点E，于点F，点H是的中点，连接，，． ①判断四边形的形状，并证明； ②已知，求的长． 23. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响，如图，有一台拖拉机沿公路由点向点行驶，已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． （1）求度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ （3）若拖拉机的行驶速度为每分钟米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 24. 如图，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点，，垂足为，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）求的长； （3）如图，动点，分别从，两点同时出发，沿和各边匀速运动一周后停止，即点沿运动，点沿运动，在运动过程中，已知点的速度为，点的速度为，运动时间为，当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $