1.4 二次函数与一元二次方程的联系（作业设计）-2024-2025学年九年级数学下册（湘教版2012）

2025年“湘道杯”大赛 作业设计 湘教版（2013）初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系（1） 参赛人：王瑞君 学校名：道县柑子园镇油湘学校 学科网（北京）股份有限公司 1.4 二次函数与一元二次方程的联系（1） 一、基础巩固 （一）选择题 1、二次函数y = 2x2 - 3x + 1的图像与x轴的交点情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2、若一元二次方程x2 + bx + c = 0有两个相等的实数根，则抛物线y = x2 + bx + c与x轴的交点个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3、抛物线y = -x2 + 2x - 3的图像与x轴的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 （二）填空题 1、二次函数y = x2 - 4x + 4与x轴的交点坐标为________。 2、已知抛物线y = ax2 + bx + c与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根的情况是________。 3、若抛物线y = x2 + mx + n与x轴无交点，则m2 - 4n的取值范围是________。 （三）解答题 1、不画图像，判断二次函数y = -3x2 + 6x - 3的图像与x轴是否有公共点。 2、求抛物线y = 2x2 + 5x - 3与x轴交点的横坐标。 二、能力提升 （一）解答题 1、已知抛物线y = x2 + (k - 2)x + 1与x轴有两个交点，求k的取值范围。 2、 若一元二次方程mx2 - 2x + 1 = 0有两个实数根，求抛物线y = -mx2 + 2x - 1的图像与x轴的交点个数。 （二）应用题 1、某商场销售一种商品，经市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系y = -x2 + 60x - 800。当销售单价为多少时，日销售量为0件？ 三、拓展探究 1、探究二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴的交点个数与a、b、c的关系，举例说明。 2、 已知抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若A、B两点的横坐标分别为-1和3，求抛物线的解析式及点C的坐标。 作业解析 1、 基础巩固 （一）选择题 1、【解析】计算判别式b2 - 4ac = (-3)2 - 4×2×1 = 9 - 8 = 1 > 0，所以抛物线与x轴有两个不相等的交点，对应方程有两个不相等的实数根。 答案：A 2、【解析】方程有两个相等实根时，判别式b2 - 4ac = 0，故抛物线与x轴有一个交点。 答案：B 3、【解析】计算b2 - 4ac = 22 - 4×(-1)×(-3) = 4 - 12 = -8 < 0，抛物线与x轴无交点，即相离。 答案：C （2） 填空题 1、【解析】令y = 0，方程x2 - 4x + 4 = 0，即(x - 2)2 = 0，解得x = 2，交点坐标为(2, 0)。 答案：(2, 0) 2、【解析】抛物线与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根。 答案：有两个不相等的实数根。 3、【解析】无交点时判别式小于 0，即m^2 - 4n < 0。 答案：m2 - 4n < 0 （3） 解答题 1、【解析】 解：对应一元二次方程为-3x2 + 6x - 3 = 0，a = -3，b = 6，c = -3。 b2 - 4ac = 62 - 4×(-3)×(-3) = 36 - 36 = 0。 所以二次函数图像与x轴有一个公共点。 2、【解析】 解：令y = 0，方程2x2 + 5x - 3 = 0， 因式分解得(2x - 1)(x + 3) = 0， 解得x=0.5或-3。 所以交点的横坐标为0.5和-3。 2、 能力提升 （一）解答题 1、【解析】 解：因为抛物线与x轴有两个交点，所以对应方程x2 + (k - 2)x + 1 = 0的判别式b2 - 4ac > 0。 其中a = 1，b = k - 2，c = 1， 则(k - 2)2 - 4×1×1 > 0， 即k2 - 4k + 4 - 4 > 0， k2 - 4k > 0， k(k - 4) > 0， 解得k < 0或k > 4。 所以k的取值范围是k < 0或k > 4。 2、【解析】 解：一元二次方程mx2 - 2x + 1 = 0有两个实数根，所以m ≠ 0且判别式(-2)2 - 4×m×1 ≥ 0， 即4 - 4m ≥ 0，解得m ≤ 1且m ≠ 0。 对于抛物线y = -mx2 + 2x - 1，其对应方程为-mx2 + 2x - 1 = 0，即mx2 - 2x + 1 = 0（与已知方程相同）。 因为已知方程有两个实数根，所以抛物线与x轴的交点个数为2个（当m < 1且m ≠ 0时，两个不相等的交点；当m = 1时，两个相等的交点）。 （二）应用题 1、【解析】 解：日销售量为0件时，即y = 0， 所以方程-x2 + 60x - 800 = 0， 整理得x2 - 60x + 800 = 0， 因式分解得(x - 20)(x - 40) = 0， 解得x1 = 20，x2 = 40。 所以当销售单价为20元或40元时，日销售量为0件。 3、 拓展探究 1、【解析】 解：二次函数图像与x轴的交点个数由判别式b2 - 4ac决定： 1、当b2 - 4ac > 0时，有两个不同交点，如y = x2 - 3x + 2，a = 1，b = -3，c = 2，b2 - 4ac = 9 - 8 = 1 > 0，与x轴交于(1, 0)和(2, 0)。 2、当b2 - 4ac = 0时，有一个交点，如y = x2 - 2x + 1，b2 - 4ac = 4 - 4 = 0，与x轴交于(1, 0)。 3、当b2 - 4ac < 0时，无交点，如y = x2 + x + 1，b2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0，与x轴无交点。 所以，通过判别式可由a、b、c的值判断交点个数。 2、【解析】 解：因为抛物线与x轴交于A(-1, 0)、B(3, 0)， 所以可设抛物线的解析式为y = a(x + 1)(x - 3)， 又因为抛物线二次项系数为1（y = x2 + bx + c），所以a = 1， 则解析式为y = (x + 1)(x - 3) = x2 - 2x - 3， 所以b = -2，c = -3。 当x = 0时，y = 02 - 2×0 - 3 = -3， 所以点C的坐标为(0, -3)。 $$