1.2.1 有理数的概念 导学案 2025—2026学年人教版七年级数学上册

第一章有理数 1.2.1 有理数的概念导学案 一、知识点自主预习填空 1. 整数包含正整数、____与负整数；分数涵盖正分数和____ 。 1. ____和____共同组成有理数。 1. 有理数从定义角度分类，可分为____和____；按性质分类，则有正有理数、____和负有理数 。 1. 最小的正整数是____，最大的负整数是____，最小的自然数是____ 。 二、知识点详细讲解与要点分析 知识点 1：有理数的相关概念 要点讲解：整数是像 -3， -2， -1，0，1，2，3 等这样的数，其中 1、2、3 等是正整数，0 既不属于正整数也不属于负整数， -1、 -2、 -3 等为负整数。分数是把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，比如 、1.5（可化为 ） 是正分数，、 -0.25（可化为 ） 是负分数。有理数就是整数与分数的统称 。 常考易错点：易混淆小数和分数概念，误以为无限不循环小数也是分数；对 0 的分类理解模糊，忽略 0 是整数且既非正数也非负数。 经典例题 1：判断 -5，0，， -0.7，8， 中，哪些是整数，哪些是分数，哪些是有理数？ 答案：整数： -5，0，8；分数：， -0.7；有理数： -5，0，， -0.7，8。因为 是无限不循环小数，不属于有理数。 解析：依据整数、分数、有理数定义判断，整数包含正整数、0 和负整数；分数可表示为分子除以分母形式；有理数是整数和分数的统称。 变式题 1：在 -3，，0.3，0， -1.2，5 中，整数有____，分数有____，有理数有____ 。 答案：整数： -3，0，5；分数：，0.3， -1.2；有理数： -3，，0.3，0， -1.2，5。 解析：按照定义区分各类数，注意小数都能化为分数形式。 知识点 2：有理数的分类 要点讲解：按定义，有理数分为整数和分数，整数再细分为正整数、0、负整数，分数分为正分数和负分数；按性质，有理数分为正有理数、0、负有理数，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数 。 常考易错点：分类时易出现重复或遗漏，如按定义分类遗漏 0，按性质分类错将 0 归为正有理数或负有理数；对一些数性质判断不准，导致分类错误。 经典例题 2：将 -2，3.14，0，，，5， -0.5 按定义和性质进行分类。 答案：按定义分类，整数： -2，0，5；分数：3.14，，， -0.5 。按性质分类，正有理数：3.14，，5；负有理数： -2，， -0.5；0 既不是正有理数也不是负有理数。 解析：根据有理数分类标准，从定义和性质两个角度分类。 变式题 2：把有理数 0， -3.14，，2.7， -4，0.14 按从小到大的顺序排列，并用 “<” 号连接起来。 答案： 解析：负数比较大小，绝对值大的反而小，先比较负数大小，再结合 0 和正数排序。 三、效果检测（判断题） 1. 有理数仅由正有理数和负有理数构成。（ ） 1. 所有的分数都能化为有限小数。（ ） 1. 0 是最小的整数。（ ） 1. 无限循环小数属于有理数。（ ） 1. 带根号的数都不是有理数。（ ） 四、本节内容整体归纳总结 1. 概念：有理数是整数与分数的统称，整数含正整数、0、负整数，分数含正分数、负分数。 1. 分类：按定义分整数和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。 1. 注意：明确 0 的特殊地位；区分小数与分数，只有有限小数和无限循环小数是有理数；分类要准确，避免重复遗漏。 五、课后作业 1. 下列数中，属于有理数的是（ ） · A. · B. · C. 0 · D. 0.1010010001…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1） 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 整数就是正整数和负整数 · B. 分数包括正分数和负分数 · C. 正有理数和负有理数组成全体有理数 · D. 0 不是有理数 1. 在 -1，， -0.5，0，2 中，非负整数有____ 。 1. 把 -2，0，， -1.5，3 按从大到小的顺序排列为：____ 。 1. 若将有理数按性质分类， -3 属于____有理数。 1. 把 3， -0.2，，0， -2 填入相应集合： · 正整数集合：{ }； · 分数集合：{ }； · 有理数集合：{ }。 · 正整数集合：{ }； · 分数集合：{ }； · 有理数集合：{ }。 · 分数集合：{ }； · 有理数集合：{ }。 · 有理数集合：{ }。 1. 观察数列 ，，，，…，第 7 个数是____ 。 1. 已知 a 是最大的负整数，b 是最小的正整数，c 是最小的自然数，求 a + b + c 的值。 答案与解析 一、知识点自主预习填空答案 1. 0；负分数 1. 整数；分数 1. 整数；分数；0 1. 1； -1；0 三、效果检测答案与解析 1. 答案：× · 解析：有理数包括正有理数、0 和负有理数，该说法遗漏 0，错误。 1. 答案：× · 解析：分数有的可化为有限小数，有的可化为无限循环小数，如 ，该说法错误。 1. 答案：× · 解析：整数包含负整数，没有最小的整数，该说法错误。 1. 答案：√ · 解析：无限循环小数能化为分数形式，属于有理数，该说法正确。 1. 答案：× · 解析：如 是有理数，不是所有带根号的数都不是有理数，该说法错误。 五、课后作业答案与解析 1. 答案：C 1. 答案：B · 解析：整数包括正整数、0 和负整数，A 错误；有理数包括正有理数、0 和负有理数，C 错误；0 是有理数，D 错误；分数包括正分数和负分数，B 正确。 1. 答案：0，2 · 解析：非负整数即正整数和 0，所以是 0，2。 1. 答案： · 解析：正数大于 0 和负数，负数比较绝对值大小，再排序。 1. 答案：负 · 解析：按性质分类， -3 是负整数，属于负有理数。 1. 答案：正整数集合：{3}；分数集合：{-0.2，}；有理数集合：{3， -0.2，，0， -2}。 · 解析：根据各类数定义分类。 1. 答案： · 解析：分子依次是 1，2，3…，分母比分子大 1，且奇数项为正，偶数项为负，第 7 个数是 。 1. 答案：0 · 解析：最大的负整数 a = -1，最小的正整数 b = 1，最小的自然数 c = 0，所以 a + b + c = -1 + 1 + 0 = 0。 学科网（北京）股份有限公司 $$