精品解析：安徽省休宁中学2024-2025学年高一下学期期末学业诊断测试数学试题B

2024—2025学年（下）高一年级期末学业诊断测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知平面向量，，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出，再逐一判断. 【详解】因，则， 则，，解得或， 若，则AB错误，D正确；若，则C错误，D正确； 故选：D 3. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知并事件所包含的情况，结合古典概型公式计算得答案； 【详解】由题意得，抛掷结果有6种可能，事件即为向上一面的点数为2或4或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或6， 事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6， 所以． 故选：D. 4. 已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ） A. 平面内有一条直线与平面平行 B. 平面内有两条直线与平面平行 C. 平面内有无数条直线与平面平行 D. 平面内有两条相交直线与平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A：平面内有一条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于B：平面内有两条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于C：平面内有无数条直线与平面平行，可能平行，也可能相交， 对于D：平面内有两条相交直线与平面平行，则，面面平行判定定理， 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦二倍角公式化简可得齐次方程后，弦切互化代入计算即可求解. 【详解】. 故选：D 6. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，求出圆锥的高以及圆锥的体积，通过对求导判断其单调性，可求得体积最大值及此时，即可求出答案. 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的高为， 则圆锥的体积为，记， 则， 由可得，由，可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，即圆锥的体积最大， 此时，母线与底面所成的角即，其余弦值为. 故选：A. 7. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本平均数与方差公式直接计算可得解. 【详解】不妨设记录错误两个数据分别为，， 改正后的数据为，， 由已知可得， 则， 所以改正后的平均数， 又， 则， 所以改正后的方差， 故选：A. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. |z|=1 C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z对应的点位于第一象限 【答案】AD 【解析】 【分析】首先化简复数，再根据复数的定义，性质和几何意义，判断选项. 【详解】， A.复数z的虚部是，故A正确； B.，故B错误； B.复数z的共轭复数是,故C错误； D. 复数z对应的点是，复数z对应的点位于第一象限，故D正确. 故选：AD 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的范围是 D. 的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量运算的坐标表示，列出关系式，根据三角恒等变换中的二倍角公式和两角和的余弦公式对各等式化简，运用三角函数的值域，分别判断各选项正误，结合单位圆的切线情况，判断D的正误. 【详解】已知，，，， 所以，，， ，，，所以A正确. ， 则 ， 由同角三角函数关系和余弦二倍角公式得，仅当时，，即，所以B错误. ， 因为，所以，所以的范围是，所以C正确. 当时，点与点之间没有关联，则两点都在单位圆上运动， 如图所示，当点与点重合时，最小时为0， 当都与单位圆相切时，最大， 此时可知,所以， 同理可得，，此时，所以D正确. 故选：ACD. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量、满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若样本数据线性相关，则用最小二乘法得到的回归直线经过该组数据的中心点 D. 对于随机事件与，，，若，则事件与不相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用方差的性质可判断A选项；利用正态分布的对称性可判断B选项；利用回归直线的基本性质可判断C选项；利用条件概率公式结合独立事件的定义可判断D选项. 【详解】对于A，若，则， 所以若，则，故A正确： 对于B，若随机变量，且，又， 所以，故B正确； 对于C，若样本数据线性相关， 则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点，故C正确： 对于D，因为，若， 则，所以事件与相互独立，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由模长的坐标运算求. 【详解】由题设，则，即， 又，则. 故答案为： 13. 在某海洋军事演习编队中，指挥舰00号与驱逐舰01号、02号的距离一直保持100海里的距离，当驱逐舰01号在指挥舰00号的北偏东15°，02号在00号南偏东45°时，则驱逐舰01号与02号相距为______________海里． 【答案】. 【解析】 【分析】作出示意图，得出、的长度以及的大小，然后利用余弦定理求出的值. 【详解】由题意，示意图如图：已知驱逐舰01号在A处的指挥舰00号的北偏东15°的C处， 02号在00号南偏东45°的B处， 由已知得到∠BAC=120°，AB=AC=100 m， 所以BC2=AC2+AB2−2AC×ABcos120°=30000，所以BC=， 故驱逐舰01号与02号相距海里． 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，解题的关键将实际问题转化为三角形的问题，并根据已知元素类型选择正、余弦定理求解，考查化归与转化思想，属于中等题. 14. 已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币________次. 【答案】7 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式结合对立事件概率公式及指数函数单调性计算求解. 【详解】若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上概率为，要使正面至少出现一次的概率超过0.99， 所以，所以，单调递减，且， 则至少需要抛掷硬币次. 故答案为：7. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 关于x的方程的两根分别为， （1）若，求实数p的值； （2）若，求实数p的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入方程可求得p值； （2）根据方程中进行讨论结合可求得p值． 【小问1详解】 把代入关于x的方程得：， 解得：，的值为 【小问2详解】 关于x的方程的两根分别为、， ，， 当即或时， 由得：，解得：； 当即时，方程解为， 又，，解得： 故p的值为：或 16. 已知向量 且， （1）求与； （2）若 求向量，的夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行和向量垂直的坐标表示即可求出的值，从而得到. （2）首先将向量的坐标表示出来，然后根据向量夹角的余弦公式求出向量的夹角的余弦值，从而求得夹角的大小. 【小问1详解】 因为， 所以，所以.从而. 因为， 所以，所以，从而. 【小问2详解】 因为， 所以， . 所以，. 所以. 所以向量的夹角为. 17. 如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. （1）求； （2）若的内切圆的半径为，求的周长. 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）由利用三角形面积公式求解即可； （2）由三角形内切圆的半径公式及余弦定理建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 设，， 由， 得， 解得， 又，即， 故. 小问2详解】 设的内切圆的半径为， 而，可得， 故， 故由， 解得，故， 所以的周长为15. 18. 已知． （1）化简； （2）若，且，求的值； （3）若，求值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）由（1）可得，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解；（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题意得，． 【小问2详解】 由可知， ， 又∵，∴，则． 【小问3详解】 ∵， ∴． 19. 已知在多面体中，，，. （1）若，，，四点共面，求证：多面体为棱台； （2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】(1)利用面面平行定义可以证明上下底面的两个面平行，接着证明三条侧棱交于一点. (2)求棱台的体积转化为求两个棱锥的体积即可；求二面角的正切值做出二面角的正切值，利用解三角形求解即可. 小问1详解】 因为，平面，平面, 所以平面. 同理可证：平面. 又因为，平面，平面. 所以平面平面，而，故共面. 因为，设. 而，且平面， 所以平面，同理可证平面， 所以面面. 又因平面平面，所以， 则交于同一点，又因为平面平面. 所以多面体为棱台. 【小问2详解】 三棱台中，由(1)知侧棱交于同一个点，连结. 在侧面梯形中，有，. 所以梯形为直角梯形. 又因为，， 所以，所以，故. 又因面面，面面，面. 所以平面，即的长度等于点到平面的距离. 在三棱台中，有，即,所以, 侧面梯形中，，，，. 所以侧面梯形的面积. 又，解得. 故. 所以. 因为. 故. 所以所求棱台的体积为 ②在内，过点作，记垂足为，连接. 由①知平面，又平面，所以，. 又因为，，所以平面. 又因为平面，所以, 又，所以的值等于二面角的值. 在中，，，. 所以. 故. 解得，故由即知. 所以二面角的正切值为. 【点睛】证明棱台，求棱台的体积，借住棱台求解二面角的大小，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年（下）高一年级期末学业诊断测试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知平面向量，，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字的正方体玩具．设事件为“向上一面点数为偶数”，事件为“向上一面点数为6的约数”，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ） A. 平面内有一条直线与平面平行 B. 平面内有两条直线与平面平行 C. 平面内有无数条直线与平面平行 D. 平面内有两条相交直线与平面平行 5 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B |z|=1 C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z对应的点位于第一象限 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的范围是 D. 的范围是 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量、满足，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若样本数据线性相关，则用最小二乘法得到的回归直线经过该组数据的中心点 D. 对于随机事件与，，，若，则事件与不相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与垂直，则_________． 13. 在某海洋军事演习编队中，指挥舰00号与驱逐舰01号、02号的距离一直保持100海里的距离，当驱逐舰01号在指挥舰00号的北偏东15°，02号在00号南偏东45°时，则驱逐舰01号与02号相距为______________海里． 14. 已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币________次. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 关于x的方程的两根分别为， （1）若，求实数p的值； （2）若，求实数p的值． 16. 已知向量 且， （1）求与； （2）若 求向量，的夹角的大小． 17. 如图，的内角的对边分别为为的角平分线，且交于点，且. （1）求； （2）若的内切圆的半径为，求的周长. 18. 已知． （1）化简； （2）若，且，求的值； （3）若，求的值． 19. 已知多面体中，，，. （1）若，，，四点共面，求证：多面体棱台； （2）在（1）的条件下，平面平面，，，，且. ①求多面体的体积； ②求二面角正切值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $