精品解析：广东省肇庆市封开县广信中学2024-2025学年高一下学期第二次教学质量检测数学试题

2024—2025学年第二学期高一年级第二次教学质量检测数学 一、单选题 1. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 2. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92 C. 30，90 D. 30，92 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A B. C. 或 D. 或 5. 将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变､横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. ，则的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题 9. 已知复数满足，，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则下列正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. 是纯虚数 D. 若是关于的实系数方程的一个根，则 10. 在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（ ） A. B. 该100名学生成绩的众数约为75 C. 该100名学生中成绩在人数为48 D. 该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5 11. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 三、填空题 12. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为________. 13. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，则此时方差________． 14. 在四边形中，，，，且，，则实数的值为______，若是线段上的动点，是线段上的动点，且满足，则的最小值为______. 四、解答题 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 16. 某校参加夏令营同学有3名男同学和3名女同学，其所属年级情况如下表： 高一年级 高二年级 高三三年级 男同学 女同学 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母写出这个试验的样本空间； （2）设为事件“选出2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率. 17. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，点在边上，且，求线段的长． 18. 某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 19. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期高一年级第二次教学质量检测数学 一、单选题 1. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. 10 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的计算公式求得复数，然后求得 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 2. 已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ） A. 32，90 B. 32，92 C. 30，90 D. 30，92 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为的平均数是10，方差是10， 所以的平均数是，方差是. 故选：A. 3. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据坐标运算先求，再求，根据投影向量的定义即可求解. 【分析】向量，，故，则，， 在方向上的投影向量为， 故选：A. 4. 中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合大边对大角，小边对小角即可求解. 【详解】由正弦定理可得：，代入得：， 解得，因为，所以， 即， 故选：A. 5. 将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变､横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期变换和平移变换可得答案. 【详解】由题意图象上各点横坐标变为2倍，再向右平移个单位可得到， 横坐标变为2倍可得， 向右平移可得， 故选：. 6. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式. 【详解】由，得 ， 故选：C. 7. ，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用正切公式计算出正切值，再用诱导公式化简，最后齐次化出来计算即可. 【详解】化简得． 解得，， ． 故选：B. 8. 在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解. 【详解】，则，设，则， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得， 所以，所以， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以或（舍去），又，所以， 所以. 故选：C 二、多选题 9. 已知复数满足，，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则下列正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. 是纯虚数 D. 若是关于的实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知，解得，，结合复数的概念、几何意义及运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据题意，，解得，， 所以的虚部为，故A错误； 又，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 又，故C正确； 若是方程的一个根，则方程的另一根为， 根据韦达定理有，， 解得，，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（ ） A. B. 该100名学生成绩的众数约为75 C. 该100名学生中成绩在的人数为48 D. 该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之后为得到方程求出的值，再根据频率分布直方图一一判断即可. 【详解】依题意可得，解得，故A正确； 该100名学生成绩的众数约为，故B正确； 该100名学生中成绩在的人数为人，故C错误； 因，， 所以第85百分位数位于，设其为，则，解得，故D错误. 故选：AB 11. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可； 对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可； 对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. 【详解】因为频率分布直方图在左侧“拖尾”，可知平均数小于中位数，即. 故答案为：. 13. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，则此时方差________． 【答案】##1.6 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可. 【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以.，所以. 当加入新数据4，5，6后，平均数， 方差. 故答案为： 14. 在四边形中，，，，且，，则实数的值为______，若是线段上的动点，是线段上的动点，且满足，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据和向量的数量积定义式计算；建立平面直角坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质即得． 【详解】在四边形中，， ，， ，又，， ， ； 如图以为原点建立平面直角坐标系，设，， 则， 所以， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：；． 【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法 一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积定义求解； 二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积. 四、解答题 15. 已知向量，． （1）若，求的值； （2）若，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算，即可求解； （2）根据向量平行的坐标运算求出，再根据向量夹角的坐标运算可得结果. 【小问1详解】 由，可得，即． 又，，所以，， 所以，解得． 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以，解得，所以. 又， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 16. 某校参加夏令营的同学有3名男同学和3名女同学，其所属年级情况如下表： 高一年级 高二年级 高三三年级 男同学 女同学 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母写出这个试验的样本空间； （2）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，写出事件的样本点，并求事件发生的概率. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；. 【解析】 【分析】（1）根据样本空间的概念写出即可； （2）利用列举法写出样本点，然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得. 【详解】（1）这个试验的样本空间为： . （2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为； ，，，，，共6种， 因此事件发生的概率. 【点睛】本题考查了样本空间的概念，考查了用列举法求古典概型的概率，属于基础题. 17. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，点在边上，且，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，即可求解； （2）根据平面向量的线性运算可得，结合向量数量积的运算律和定义计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， ， 又， 所以， 得，又， 所以，即， 得，又，所以， 故； 【小问2详解】 由，得，即， 所以， 所以，即. 18. 某市政广场有一块矩形绿地，如图，米，米.为了满足通行及市民休闲的需求，同时考虑到广场的整体规划，施工单位决定在的中点G处，分别向边修两条互相垂直的小路，再修建小路，设. （1）试将的周长l表示成关于的函数关系式，并求出定义域； （2）根据预算及其他因素考虑，最终决定修建的三条小路总长需为500米，求此时的值. 【答案】（1），定义域为 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别用表示出,,用勾股定理即可得,从而得到周长表达式，当点F在D处，点E在C处时，可得到的范围，即定义域； （2）令根据总长500米，即可求得值，然后利用平方和为1即可得到答案. 【小问1详解】 在中，，所以， 在中，，所以， 又因为，所为， 所以， 当点F在D处时，最大，此时， 当点E在C处时，最小，此时， 故定义域为. 小问2详解】 由（1）得， 令， 则， 令，可得， 所以， 又因为， 所以或. 19 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 在中由余弦定理 ； 【小问2详解】 中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到，从而结合第2小问中的结论即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$