18.2.1矩形同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

18.2.1矩形 第1课时矩形的性质 自主预习 1.有一个角是直角的平行四边形叫做 ，也就是长方形.已知平行四边形ABCD，请你添一个条件 ，使四边形ABCD为矩形. 2.矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 ；矩形是 图形，它有 条对称轴.矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=5,BC=12,则△ABO的周长为 . 3.直角三角形斜边上的 等于斜边的 .如图18-2--1--1-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB 的中点,则CD= . 基础优练 知识点1 矩形的定义及性质 1.如图18-2-1--1-2,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是【点拨1】 ( ) C. AD=BC D. AB∥CD 2.如图18--2--1--1-3,证明矩形的对角线相等,已知:四边形 ABCD是矩形.求证,AC=DB.以下是排乱的证明过程:①∴AB=CD,∠ABC=∠DCB;②∵BC=CB;③∵四边形 ABCD 是矩形;④∴AC=DB;⑤∴△ABC≌△DCB.证明步骤的正确顺序是【点拨2】 ( ) A.③①②⑤④ B.②①③⑤④ C.②⑤①③④ D.③⑤②①④ 3.如图18-2-1-1-4,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,对角线AC,BD相交于点O,则△AOB的周长是 .【点拨3】 知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4.如图18--2--1--1--5,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB 边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=【点拨4】 ( ) A.2 B.3 C.4 D.2 5.已知直角三角形斜边上的中线长是4 cm，则它的两条直角边中点的连线长为 cm. 名师点拨 点拨1矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.两者缺一不可. 点拨2 矩形的性质： ①矩形具有平行四边形的所有性质. ②矩形的四个角都是直角. ③ 矩形 的 对 角 线相等. 注意：①“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证明两条线段互相垂直或角相等.“矩形的对角线相等”这一性质可用来证明线段相等；②矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形. 点拨3 凡是关于矩形的计算，一定要充分运用矩形的四个角都是直角以及对角线相等的性质，并利用直角三角形和等腰三角形的知识求解. 点拨4 直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形的这一性质与直角三角形两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质.这一性质常常用来证明线段的倍分关系. 点拨5当矩形的对角线夹角为60°或 120°时,图形中含有等边三角形和一个角是 30°的直角三角形，从而可以利用等边三角形和含 30°角的直角三角形的性质来解决问题. 整合集训 6.如图18-2-1-1-6,矩形 ABCD的对角线 AC=8cm,∠AOD=120°,则 AB的长为【点拨5】( ) A. 2cm B.4 cm C. cm D.2 cm 7.如图18-2-1-1-7,在矩形ABCD中,O为AC的中点,EF过O点且 EF⊥AC分别交 DC 于F,交AB于E,点G是AE 的中点且∠AOG=30°,则下列结论正确的有 ( ) (1)DC=3OG;(2)OG= BC;(3)△OGE;是等边三角形； ABCD· A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8如图18-2-1-1-8,点 P是矩形ABCD的对角线 AC上一点,过点 P 作 EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD.若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为 ( ) A.10 B.12 C.16 D.18 9.如图18-2-1-1-9,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(5,0),(0,4),点P 是线段 BC 上的动点，当△PBA 是等腰三角形时，则P点的坐标是 . 10.已知矩形ABCD,E为CD的中点,F为AB上一点,连接EF,DF,若AB=4,BC=2,EF= 则 DF的长为 . 11.如图18-2-1-1-10,点 E,F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF=BE.求证:AF=CE. 核心素养题——逻辑推理 12.已知矩形OABC中,AB=8,BC=4,以点O为原点，OA与OC 所在的直线为y 轴和x轴建立直角坐标系，点B在第一象限. (1)根据题意，画出图形，并写出点A和点C的坐标； (2)若P 点从C 点出发，以2个单位长度/秒的速度沿 CO方向移动(不超过点 O)，点Q 从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿OA方向移动(不超过点 A)，设P，Q两点同时出发，在它们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化?若不变，求其值；若变化，求变化范围. 第2课时矩形的判定 学科网（北京）股份有限公司 自主预习 1.对角线相等的平行四边形是 .已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使□ABCD成为一个矩形，你添加的条件是： . 2.有三个角是直角的四边形是 .如图18-2--1--2--1，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 .(只填写拼图板的代码) 基础优练 知识点 矩形的判定 1.已知▱ABCD中,对角线AC,BD交于O点,如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是【点拨1】 ( ) A. AB=BC B. AB=AC C. OA=OB D. AC⊥BD 2.对于四边形ABCD,给出下列4组条件:①∠A=∠B=∠C=∠D;②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C=90°,其中能得到“四边形 ABCD 是矩形”的条件有【点拨2】 ( ) A.1组 B.2 组 C.3组 D.4组 3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是【点拨3】 ( ) A.测量对角线，看是否互相平分 B.测量两组对边，看是否分别相等 C.测量对角线，看是否相等 D.测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等 4.小华从商店购买了一块玻璃的示意图如图18--2--1-2--2所示，小华想检验这块玻璃的形状是否为矩形，设计如下几个方案：①检验AB与CD 是否相等,AD与BC 是否相等.②检验∠A,∠B 是否为直角,AD与BC 是否相等. ③检验∠A,∠B是否为直角,AC与BD 是否相等. ④检验∠A,∠C是否为直角，AD与BC 是否相等.则可以检测出这块玻璃的形状是否为矩形的方案有 .【点拨4】 5.已知M是矩形ABCD中AD的中点,P为BC上一点,PE⊥MC于点 E,PF⊥MB于点 F,则当AB 和BC 满足条件 时,四边形 PEMF 为矩形. 名师点拨 点拨1 判定一个四边形是矩形，必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形.也就是说，两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形. 点拨2用定义判定一个四边形是矩形必须具备两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形.也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形. 点拨3 矩形的判定 (1)方法一(定义法)：有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)方法二：对角线相等的平行四边形是矩形. (3)方法三：有三个角是直角的四边形是矩形. 点拨4 判定一个四边形是矩形要分两种情况：一是在平行四边形的基础上进行判定，只要证出有一个角是直角或证出对角线相等即可；二是在四边形的基础上进行判定，可以直接证出三个角是直角或证出四边形是平行四边形，再进一步证明有一个角是直角或对角线相等.所以在判定一个四边形是矩形时，首先要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上判定，然后再根据已知条件选用合理的方法. 学科网（北京）股份有限公司 整合集训 年 6.如图18--2--1-2-3,□ABCD的对角线AC,BD交于点O，顺次连接□ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件:①AC⊥BD;②C△ABO =C△CBO;③∠DAO=∠CBO;④∠DAO=∠BAO,可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图18--2--1--2--4,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到点E,使 DE=AD,连接 EB,EC,DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是 ( ) A. AB=BE B. BE⊥DC C.∠ADB=90° D. CE⊥DE 8.如图18---2---1---2---5,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 是斜边AB 上任意一点,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别是点 E,F,点 Q 是EF 的 中 点,则线 段 DQ 长 的 最 小 值 等于 . 9.如图18--2---1--2--6,四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形 ABCD 是矩形. 10.已知:如图18--2--1--2-7,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:四边形 AECF 是矩形. 核心素养题——直观想象 11.如图18--2--1--2--8,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿着BC 方向平移得到△DEF,其中点 E 在边 BC 上,DE 与AC 相交于点O. (1)求证:△OEC为等腰三角形; (2)连接AE,DC,AD,当点 E 在什么位置时,四边形AECD 为矩形，并说明理由. 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形 第1课时矩形的性质 自主预习 1.矩形∠A=90' 2.直角 相等 轴对称 2 18 3.中线 一半 3 基础优练 1. A 2. A 3.8 4. C 5.4 整合集训 6. B 7. C 8. C 9.(1.4) 10. 或 11.证明:∵四边形ABCD是矩形。 ∴∠D=∠B=90°. AD=BC. 在△ADF 和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE(SAS).∴AF=CE. 12.解:(1)如答图18-2-1-1-1所示. ∵四边形OABC 是矩形,且OC'. OA 分别在x 轴和y轴上， ∴OA=14°,AB=(X. 又∵AB=8. BC=4. ∴点A 的坐标为(0.4).点C的坐标为(8.0). (2)四边形OPBQ的面积不发生变化.理由如下： 设点 P. Q同时运动的时间为t 秒，则 PC的距离为2t. OQ的距离为1. ∵AO=AQ-()Q.∴AQ=4-1. ×8×(4-1)=32-41-16÷41=16. 第2课时矩形的判定 自主预习 1.矩形 AC-BD(答案不唯一) 2.矩形 ①②③④ 基础优练 1. C 2. B 3. D 4.②③① 5. BC=2^B 整合集训 6.( ° 7. B 8.2.1 9.证明:∵四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC. ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∴AC=2AO. BD=201). ∵OA-OD,∴AC=BD. ∴四边形ABCD 是矩形. 10.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形. ∴∠B=∠D. AB=CD,AD∥BC. ∵AE:BC,CF⊥AD. ∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°. 在△ABE和△CDF中 ∴△ABE≌△CDF(AAS). (2)∵AD∥BC.∴∠EAF-∠AEB-90°. ∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°. ∴四边形AECF是矩形. 11.(1)证明:∵AB=AC∴∴∠B=∠ACB. ∵△ABC平移得到△DEF.∴∠B=∠DEC. ∴∠ACB=∠DEC.∴OE=(X∴ 即△OEC为等腰三角形. (2)解:如答图18-2-1-2-1.当E为BC的中点时,四边形AECD是矩形. 理由是:∵AB=AC,E为BC的中点。 ∴AE BC. BE=EC. ∵△ABC平移得到△DEF. ∴BE∥AD,BE=AD. ∴AD∥EC. AD=EC. ∴四边形AECD是平行四边形. ∵AE⊥BC. ∴四边形AECD 是矩形. $$