22.2 二次函数与一元二次方程 课件+教案2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 【学习目标】 1.了解二次函数与一元二次方程的联系. 2.会用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac判断二次函数y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数. 【学习重点】二次函数与一元二次方程的联系． 【复习引入】 说出一次函数y=kx+b与一元一次方程ax+c=0的关系 【教学内容】 问题 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成300 角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t-5t2 考虑以下问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间？ (2)小球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间? (3)小球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间? (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ 从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y=x2+x-2； (2)y=x2-6x+9； (3)y=x2-x+1. 观察图象,完成下表 二次函数与一元二次方程的关系 由前面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的． 例 利用函数图象求方程 x 2-2x -2=0 的实数根(结果保留小数点后一位). 1.抛物线与坐标轴的交点坐标 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. (2)求函数图象与x轴的交点:令 =0; 求函数图象与y轴的交点:令 =0. (3)与y轴的交点: 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴有且只有 个交点 . 练1.(1)直线y=2x-6与x轴的交点A的坐标为 , 与y轴的交点B的坐标为 . (2)抛物线y=x2-5x+6与x轴的交点坐标为 . 练2.(1)方程x2-2x-3=0有 实数根,抛物线y=x2-2x-3与x轴有 个交点,分别是 和 . (2)方程x2-4x+4=0有 实数根,抛物线y=x2-4x+4与x轴有 个交点,与y轴的交点坐标是 . (3)方程x2-2x+4=0 实数根,抛物线y=x2-2x+4与x轴有 个交点,与轴的交点坐标是 . 2.抛物线的对称性 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标(x1,0), ( x2, 0), 则其对称轴为直线x=(x1+x2)/2. 练3.如图,抛物线的对称轴是直线x=3,与轴交于AB两点,若B点的坐标是(5,0),则A点的坐标是 . 3.数形结合解决有关二次函数取值的问题 (1)对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0); y>0, 是指函数图象在x轴的 部分. y=0, 是指函数图象在x轴的 部分. y<0, 是指函数图象在x轴的 部分. (2)对于两个函数y1, y2 . y1>y2, 是指y1比y2图象的 部分; y1=y2, 是指y1比y2图象的 部分; y1<y2, 是指y1比y2图象的 部分; 练4.抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C, (1)当x= 时, y=0 ; (2)当 时, y>0 ; (3)当 时, y<0 ; (4)设抛物线为y1,过点A,C的一次函数为y2,当y2>y1时,x的取值范围是 . 【课堂小结】 1.本节课学了哪些主要内容？ 2.二次函数与一元二次方程有什么区别与联系？ 学科网（北京）股份有限公司 $$一、复习引入 广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕 1.说出一次函数y=kx+b与一元一次方程ax+c=0的关系 y x o y=kx+b y x o y=ax2+bx+c 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 认真阅读课本第43页-46页的内容,二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方程的联系,一方面可以深化对一元二次方程的认识,另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有 关问题． 二、教学目标 y x o y=ax2+bx+c 学习目标: 1.了解二次函数与一元二次方程的联系. 2.会用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac判断二次函数y=ax2+bx+c与x轴的公共点的个数. 学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系． 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 问题 如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成300 角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=20t-5t2 考虑以下问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能,需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 当球飞行1s或3s时,它的高度为15m. 解:依题意得:15=20t-5t2, 解得: t1=1, t2=3. h=20t-5t2 你能结合形图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗? 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 (2)小球的飞行高度能否达到20m?如果能,需要多少飞行时间? O h t 20 4 解:依题意得:20=20t-5t2, 解得:t1=t2=2. 当球飞行2s时,它的飞行高度为20m. h=20t-5t2 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为20m？ 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 (3)小球的飞行高度能否达到20.5m?如果能,需要多少飞行时间? O h t 20.5 解:依题意得:20.5=20t-5t2, 整理得: t2-4t+4.1=0. 因为(-4)2-4 ×4.1<0,所以方程无实数根.这就是说,小球的飞行高度达不到20.5m. h=20t-5t2 你能结合上图指出为什么小球不能达到20.5m的高度? 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 8 (4)小球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 解:依题意得: 0=20t-5t2, 解得: t1=0,t2=4. 当小球飞行0s和4s时,它的高度为0m. 即0s时小球从地面飞出,4s时球落回地面. h=20t-5t2 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 从上面发现,二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程? 一般地,当y取定值且a≠0时,二次函数为一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方程联系密切, 例如,已知二次函数y=-x2+4x的函数值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 . 反之,解方程-x2+4x+3=0又可以看作已知二次函数y= 的函数值为0时,求自变量x的值. －x2＋4x=3(即x2－4x+3=0) x2－4x+3 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 10 思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数值是多少?由此,你能得出相应的一元二次方程的根吗? (1)y=x2+x-2； (2)y=x2-6x+9； (3)y=x2-x+1. 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 11 观察图象,完成下表 二次函数 抛物线与x轴公共点个数 公共点的横坐标 相应的函数值 相应的一元二次方程 △=b2-4ac 根的情况 y = x2＋x－2 y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 2个 1个 0个 无解 3 x1=x2=3 -2, 1 x1=-2,x2=1 没有 △>0 △=0 △<0 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 0 0 0 三、研学教材 12 二次函数y=ax2+bx+c 与 一元二次方程ax2+bx+c=0 图象 与x轴交点 △=b2-4ac 根的情况 方程有 的实数根 方程有 的实数根 方程 实数根 2 两个不等 1 两个相等 0 没有 △>0 △=0 △<0 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 由前面的结论,我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差,由图象求得的根,一般是近似的． x y O 　－2 2 2 4 6 4 －4 8 －2 －4 y = x2－2x－2 解：画出函数y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 　　例 利用函数图象求方程 x 2-2x -2=0 的实数根(结果保留小数点后一位). 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 14 1.抛物线与坐标轴的交点坐标 (1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. (2)求函数图象与x轴的交点:令 =0; 求函数图象与y轴的交点:令 =0. (3)与y轴的交点: 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴有且 只有 个交点 . y x o y=ax2+bx+c 1 (0, c) 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 y x 1.(1)直线y=2x-6与x轴的交点A的坐标为 ,与y轴的交点B的坐标为 . (2)抛物线y=x2-5x+6与x轴的交点坐标为 . 2.(1)方程x2-2x-3=0有 实数根,抛物线y=x2-2x-3与x轴有 个交点,分别是 和 . (2)方程x2-4x+4=0有 实数根,抛物线y=x2-4x+4与x轴有 个交点,与y轴的交点坐标是 . (3)方程x2-2x+4=0 实数根,抛物线y=x2-2x+4与x轴有 个交点,与轴的交点坐标是 . 三、研学教材 练一练 (3,0) (0,-6) (2,0)和(3,0) 两个不相等 (-1,0) (3,0) 两 两个相等 一 (0,4) 没有 0 (0,4) 2.抛物线的对称性 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标(x1,0), ( x2, 0), 则其对称轴为直线x=(x1+x2)/2. y x o y=ax2+bx+c 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 3.如图,抛物线的对称轴是直线x=3,与轴交于AB两点,若B点的坐标是(5,0),则A点的坐标是 . O x B A 3 三、研学教材 练一练 (1,0) 3.数形结合解决有关二次函数取值的问题 (1)对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0); y>0, 是指函数图象在x轴的 部分. y=0, 是指函数图象在x轴的 部分. y<0, 是指函数图象在x轴的 部分. (2)对于两个函数y1, y2 . y1>y2, 是指y1比y2图象的 部分; y1=y2, 是指y1比y2图象的 部分; y1<y2, 是指y1比y2图象的 部分; y x o y=ax2+bx+c 上方 下方 交点 高 相交 低 三、研学教材 二次函数与一元二次方程的关系 4.抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C, (1)当x= 时, y=0 ; (2)当 时, y>0 ; (3)当 时, y<0 ; (4)设抛物线为y1,过点A,C的一次函数为y2,当y2>y1时,x的取值范围是 . 三、研学教材 练一练 -1或3 -1<x<3 x<-1<或x>3 -1<x<0 1.本节课学了哪些主要内容？ 2.二次函数与一元二次方程有什么区别与联系？ 四、课堂小结 $$