精品解析：黑龙江省大庆市大庆实验中学2024-2025学年高一下学期6月阶段考试数学试题

大庆实验中学2024-2025学年度下学期高一年级阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在原图形中，由勾股定理求出，根据斜二测画法得到，，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】根据题意，中，，，， 由勾股定理得， 在直观图中， ，， 故的面积. 故选：B 2. 如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质，结合空间向量线性运算的几何意义、空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C 3. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 4. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面的位置关系，逐项分析判断其正误即可. 【详解】对于A，若，，，则或异面或相交，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，因为，记，，则， 又，则，又，所以，故C正确； 对于D，如图所示，，，，但，故D错误. 故选：C. 6. 如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则当取最大值时，的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理结合基本不等式求出的最小值，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】在中，由，得是锐角，取最大值，当且令当取得最小值， ，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，此时，而， 的面积是 故选：D 8. 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设此内切球的表面积为，该四棱锥外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，过点作出四棱锥的内切球截面大圆，确定内切球半径表达式，再利用等积法求出后得内切球半径，再求出外接球半径后得解. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，， 因是正三角形，则，又是矩形，有， 而平面平面，平面平面， 平面，平面， 因此平面，平面， 又，则平面，平面， 则，，，平面， 则平面，又平面， 所以，而，则，显然， 由球的对称性和正四棱锥的特征知， 平面截四棱锥的内切球得截面大圆， 此圆是的内切圆，切，分别于，，有四边形为正方形， 设，又，， 则球的半径内切球的半径， 又四棱锥的表面积为：， 由得： ， 即， 故即， 解得，故， 此时矩形外接圆的半径为， 故外接球的半径为， 故 故选：A. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. ，，是共面向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用求解；B数量积的坐标运算；C求模公式；D根据求解. 【详解】若，则存在使得，即，无解，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由A可知与可构成一组基底，故若，，是共面向量， 则存在使得， 即，解得，故，，是共面向量，D正确. 故选：BCD 10. 如图，在棱长为1的正方体中，E为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线到平面的距离为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在一点E，使得直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由面面垂直的判定可判断A，由等体积法可判断B，由线面平行可判断C，由线面角的定义可判断D. 【详解】对于A：由正方体易知平面，又在平面内，所以平面平面，正确； 对于B：正方体中，易知，又不在平面内，在平面内， 所以平面，设到平面的距离距离，，， 由等体积可得：，即， 所以，所以直线到平面的距离为，正确； 对于C，，由B知，平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥体积为定值，故正确； 对于D，连接， 由正方体易知直线与平面所成角, 所以，若存在一点，使得直线与平面所成角为， 即需满足，也即， 而在等腰直角三角形中，，的最小值为，由知不能成立， 所以不存在点，使得直线与平面所成角为，D错误； 故选：ABC 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量的线性运算判断A；由数量积的定义判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质判断C；将目标式子转换为三角函数判断 D． 【详解】对于A，，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ，设， 则，当时，取得最大值为5，C错误； 对于D，,， ，则 ， 由，得， 因此当时，取得最大值，D正确. 故选：AD 12. 如图1，在矩形中，，，点E在边上，且．如图2，将沿直线向上折起至位置，连结，使得，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 平面与平面的交线与平面平行 D. 平面内任一直线与平面所成角的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，得到三角形相似，证明⊥，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直，；B选项，在A基础上，得到平面，故面面垂直；C选项，假设平面与平面的交线与平面平行，推出矛盾，C错误；D选项，平面内任一直线与平面所成角的最大值为平面与平面所成的二面角，为平面与平面所成的二面角，得到，故，D正确. 【详解】A选项，因为矩形中，，，， 所以，故， 又，故，故， 又，故， 故，所以⊥， 在Rt中，由勾股定理得， 又，， 故，由勾股定理逆定理得， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，由A知，，又， ，平面，故平面， 又平面，故平面平面，B正确； C选项，假设平面与平面的交线与平面平行， 平面，又平面与平面的交线为，故， 又，故，这是不可能的， 因为与平面相交，平面，故与不可能平行，C错误； D选项，平面内任一直线与平面所成角的最大值为平面与平面所成的二面角， 由A知，，⊥，故为平面与平面所成的二面角， 其中，故，故，D正确 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设i为虚数单位，若复数z满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法、模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故答案为： 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解. 【详解】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 15. 如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据图象可得直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值，设，利用余弦定理求得相关线段的长度再进行计算即可. 【详解】设，取的中点,连接, 由题知平面平面, 平面平面, 又平面, 所以平面， 则直线与平面所成角的余弦值等于的正弦值， 易求得， , 又, 解得， , 则, 所以直线与平面所成角的余弦值等于， 故答案为：. 16. 2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据类比，即可根据圆柱的体积公式即可求解. 【详解】根据类比可知：小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体， 12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体. 剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为32， 所以“小米正方体”的体积为 故答案为：. 四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分．把答案填在答题卡的相应位置． 17. 如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【小问1详解】 设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. 【小问2详解】 连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 18. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，以，为基底表示，结合平面向量基本定理列方程求，，由此可得，再求，，由此可得结论； （2）以，为基底表示，，再根据数量积运算律和数量积的定义求，结合二次函数性质求其最小值. 【小问1详解】 当时，，即为的中点， 因为三点共线， 设，则 ， 因为三点共线， 设，则， 又不共线， 根据平面向量基本定理得解得 所以，又，则 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以 ， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为. 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理、三角形的面积公式可化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由（1）可得出的值，结合正弦定理可求得的知，结合已知条件求出的值，由此可求出的周长. 【小问1详解】 由余弦定理可得，即， 因为，即，所以， 因为，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 由（1）可得，可得， 所以，，则，故， 因为，所以， 故， 因此，的周长为. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，交于点，连接，如图所示. 因为，易得，所以， 又，，所以， 又平面平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面角的定义找出直线与平面所成角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接交于点，连接， 则，且，所以四边形是平行四边形， 为中点，.因为平面， 所以直线是直线在平面内的射影， 所以是直线与平面所成的角， 即为直线与平面所成角的平面角. 如图所示，过点作，垂足为，连接， 因为，所以,易得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以，所以， 在直角中，由平面平面，则，解得， 所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 21. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，． （1）求的取值范围； （2）求和面积之差的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理求得,再利用向量的几何意义可得向量，用正弦定理可得，结合角的范围继而求解； （2）用三角形面积公式结合条件求得,，面积作差转化为函数求最值即可. 【小问1详解】 因为， 可化为， 由余弦定理知，， 又,所以， 由, 因为为锐角外接圆圆心， 所以 由余弦定理得， ， 所以， 由正弦定理得，， 则 ， 由,解得， 所以， 则， 所以. 【小问2详解】 设的外接圆半径为， 则, 且,即, 因为, 所以, , 所以 , 所以当即时， 和面积之差的最大值 22. 已知平面四边形，，，，且，现将沿边折起，使得平面平面，点P为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若M为的中点，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质可证得平面，结合线面垂直的判定和性质可证得，由等腰三角形三线合一可知，进而证得结论； （2）取的中点，过点作，结合线面垂直的性质和二面角平面角的定义可知所求平面角为，在中，根据长度关系可求得结果. 【小问1详解】 ，，为等边三角形， 为的中点，． 取的中点，连接， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． ，，平面，平面， 又平面，， ，，平面，平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 为线段的中点，， 由（1）知：平面，平面， 平面，； 过点作，垂足为，连接， ，平面，平面， 又平面，， 为二面角的平面角， 在中，， 由（1）知：为等边三角形，为线段的中点， ， 由（1）知：平面，平面，， 在中，； 由（1）知：平面，又平面，， 又，，， 在中，， 即，解得：． 平面，平面，． 在中，， ， 二面角的平面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024-2025学年度下学期高一年级阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ） A. B. C. D. 7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则当取最大值时，的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球．在四棱锥中，侧面是边长为1的等边三角形，底面为矩形，且平面平面．若四棱锥存在一个内切球，设此内切球的表面积为，该四棱锥外接球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分． 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. ，，是共面向量 10. 如图，在棱长为1的正方体中，E为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线到平面的距离为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在一点E，使得直线与平面所成角为 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 若，则的最大值为 12. 如图1，在矩形中，，，点E在边上，且．如图2，将沿直线向上折起至位置，连结，使得，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 平面与平面的交线与平面平行 D. 平面内任一直线与平面所成角的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每空5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设i为虚数单位，若复数z满足，则________． 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则________． 15. 如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于______． 16. 2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为________． 四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分．把答案填在答题卡的相应位置． 17. 如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.． （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积． 18. 在平行四边形ABCD中，，，，F是线段AD的中点，，． （1）若，AE与BF交于点N，，求的值； （2）求的最小值． 19. 的内角、、的对边分别为、、，已知，的面积为． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. （1）若，求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 21. 设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，． （1）求的取值范围； （2）求和面积之差的最大值． 22. 已知平面四边形，，，，且，现将沿边折起，使得平面平面，点P为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若M为的中点，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $