精品解析：重庆市重庆西藏中学校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

重庆西藏中学2023-2024学年度下期高二第二次月考 数学试题卷 2024.6 （本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“”为全称命题，该命题的否定为“”. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法先求出集合，然后根据交集和补集的概念即可求解. 【详解】因为集合，集合， 则或，所以， 故选：A. 3. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得两次罚球都命中的概率为，由相互独立事件的概率公式可得关于的方程，即可求得结果. 【详解】某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，设该队员每次罚球的命中率为， 设“在两次罚球中至多命中一次”为事件，则“在两次罚球中命中两次”为事件， ， 解得：， 故选：B. 4. “回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ） A. 900个 B. 891个 C. 810个 D. 648个 【答案】B 【解析】 【分析】先求得所有6位 “回文数”的个数，再求得6位 “回文数”中各位数字全相同的个数，进而得到所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的个数. 【详解】6位 “回文数”中个位与十万位数字相同且不为0， 十位与万位数字相同，百位与千位数字相同， 第一步，确定个位与十万位数字，有9种可能， 第二步，确定十位与万位数字，有10种可能， 第三步，确定百位与千位数字，有10种可能， 则6位 “回文数”共有（个）， 又6位 “回文数”中各位数字全相同的共有9个， 则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（个）. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用赋值法可得出，代值计算即可得解. 【详解】令，则， 所以， . 故选：A. 6. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是成立的充要条件， 故选：C 7. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同的音序种数为（ ） A 72 B. 28 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据角音阶位置分类，然后利用插空法可求出结果. 【详解】若角音阶排在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶的同侧，此时有种； 若角音阶排在正中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的情况； 若角音阶排在第二或第四个位置上，则有种排法. 根据分类加法计数原理可得共有种排法. 故选：D 8. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABC，构造函数，然后利用导数求出其单调区间，再利用其单调性判断即可，对于D，构造函数，同样利用导数求出其单调区间，再利用其单调性判断即可. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当且仅当时取等号， 对于A，当时，，所以A错误， 对于B，当时，，所以B错误， 对于C 当时，，所以C正确， 对于D，令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为，所以，即， 因为，所以，所以D错误， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数单调性的应用，解题的关键是构造函数，利用导数求出其单调区间，从而分析判断，考查计算能力，属于较难题. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项 C. 展开式的常数项为 D. 展开式的有理项共有项 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项展开式各项系数和求出的值，可得出展开式的项数，可判断A选项；利用二项式系数的单调性可判断B选项；令的指数为零，求出参数的值，代入通项可判断C选项；令的指数为整数，求出的可能取值，可判断D选项. 【详解】二项式的展开式中各项系数之和为，解得， 对于A选项，展开式共有项，A错； 对于B选项，二项式系数最大的项是第项，B对； 对于C选项，的展开式通项为， 令，解得，因此，展开式中的常数项为，C对； 对于D选项，当时，， 所以，展开式的有理项共有项，D对. 故选：BCD. 10. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部智能手机，用、、分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示买到的是优质品，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用条件概率公式可判断AB选项；利用表格中的数据可判断C选项；利用全概率公式可判断D选项. 【详解】由表格中的数据可得，，， ，，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 11. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是2 C. 的最小值是3 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，及条件等式，双变量化成单变量可得答案. 【详解】对于A选项: 因为，，且，所以， 即，当且仅当时取得等号，解得，故A正确. 对于B选项: 因为，，且， 所以，即，当且仅当时取得等号，解得，故B正确. 对于C选项: 因为，，且，所以， 所以， . 当且仅当，即时取得等号，等号取不到，故C错误. 对于D选项: 因为，，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时取得等号，故D正确. 故选: ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 则离散型随机变量X的方差__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求期望，再利用方差公式求解方差. 【详解】由分布列可得， 所以. 故答案为：. 13. 设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解出集合，分、两种情况讨论，结合可得出实数的取值集合，进而可得子集个数. 【详解】因为，，，则. 当时，，合乎题意； 当时，，则或，解得或. 综上所述，实数的取值构成的集合为，该集合子集个数为. 故答案为：. 14. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为__________；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】填空(1)：先确定后两队共发2次球就结束比赛，包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率； 填空(2)：先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率. 【详解】后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥． 记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以． 即后两队共发2次球就结束比赛的概率为． 时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利． 记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”， “时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”， 因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以 ， ， ． 所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 故答案为：，. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数表示的曲线过原点，且此曲线在处的切线斜率均为. （1）求a，b，c的值； （2）当时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b，c的方程组，解之即可求得a，b，c的值； （2）利用导数求得在上的单调性，进而求得的最大值和最小值. 【小问1详解】 由，可得， 则，解之得， 【小问2详解】 由（1）得，则， 由，可得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，，， 则的最大值为，最小值为 16. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点.某相关部门为不断净化直播购物环境，保护消费者合法权益，对消费者进行了调查问卷，随机抽取了200人的样本进行分析，得到列联表如下： 参加过直播购物 未参加过直播购物 总计 女性 100 男性 20 总计 已知从这200名消费者中随机抽取1人，这个人参加过直播购物的概率为0.8. （1）完成列联表，并根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为参加直播购物与性别有关？ （2）从上述参加过直播购物的人中，按性别用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其在直播购物中的有关商品质量等问题，用X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.15 010 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，求出参加直播购物的总人数，完成列联表，利用独立性检验的公式，结合其相关知识，可得答案； （2）根据分成抽样的相关知识，求得男神女生的人数，根据超几何分布的计算步骤，可得答案. 【小问1详解】 由题意，参加直播购物的总人数为人，其中有名女生，则有男生名， 则可得下表： 参加过直播购物 未参加过直播购物 总计 女性 100 20 120 男性 60 20 80 总计 160 40 200 由表格可知：， 由，则认为参加直播购物与性别有关的犯错概率超过，故不能. 【小问2详解】 由题意，抽取的人中女生的人数为，男生的人数为， 则随机变量可能的取值有， ，，，. 故随机变量的分布列，如下表： 则其数学期望. 17. 为了提高生产效率，某企业引进一条新生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图. （1）若该产品指标数不在区间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率； （2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算的值，并计算产品指标数小于17.56的概率. 参考数据：，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积和为1，算出的值，进一步就可以计算出所求； （2）利用频率分布直方图中平均数计算公式求出的值，再利用正态分布概率计算公式即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知， 得 又产品指标数不在区间的产品指标数只能再区间， 其频率和为， 所以产品为次等品的概率为 【小问2详解】 由题意，， 所以产品的质量指标数X服从正态分布 则 故产品指标数小于17.56的概率为 18. 教育部决定自年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. （1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程. （2）根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考，已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立，若该考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率分别为、、，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，该考生应报考哪所高校. 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 【答案】（1） （2）建议该考生报考甲大学，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出关于的线性回归方程； （2）设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为、，根据题意求出、的值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 解：由表格中数据可得，， 所以，， ， 所以，，， 因此，关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：设该考生报考甲、乙大学笔试过程中通过科目数分别为、， 由题意可知，随机变量的取值有、、、， 则，， ， ， 所以，， 由题意可知，，则， 所以，，故建议该考生报考甲大学. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果； （2）利用指对同构，化为证明，再构造函数，利用导数可证； （3）转化为在上恒成立，再构造函数设，利用其单调性化为恒成立，再构造函数，利用导数可求出结果. 【小问1详解】 的定义域为， ， 当时，，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，得，由，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 若，，要证，即证 ，只要证， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即， 因为时，，所以. 所以. 【小问3详解】 当时，，即， 即，即恒成立， 设， 因为， 设，， 当时，，当时，， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以，在上为增函数， 所以由，即由可得，即在上恒成立， 设，， 由，得，由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，总有成立，故； （2）若，总有成立，故； （3）若，使得成立，故； （4）若，使得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆西藏中学2023-2024学年度下期高二第二次月考 数学试题卷 2024.6 （本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题：的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为（ ） A. B. C. D. 4. “回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（ ） A. 900个 B. 891个 C. 810个 D. 648个 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同的音序种数为（ ） A. 72 B. 28 C. 24 D. 32 8. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式共有项 B. 二项式系数最大的项是第项 C. 展开式的常数项为 D. 展开式的有理项共有项 10. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部智能手机，用、、分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示买到的是优质品，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是1 B. 的最小值是2 C. 的最小值是3 D. 的最小值是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 则离散型随机变量X的方差__________. 13. 设集合，，若，则实数所有取值组成的集合的子集个数为__________. 14. 排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分队有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束，甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为24：24平，且甲队拥有发球权，则两队共再发2次球就结束比赛的概率为__________；若此时甲、乙两队双方比分为22：22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为__________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数表示的曲线过原点，且此曲线在处的切线斜率均为. （1）求a，b，c的值； （2）当时，求的最大值和最小值. 16. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点.某相关部门为不断净化直播购物环境，保护消费者合法权益，对消费者进行了调查问卷，随机抽取了200人的样本进行分析，得到列联表如下： 参加过直播购物 未参加过直播购物 总计 女性 100 男性 20 总计 已知从这200名消费者中随机抽取1人，这个人参加过直播购物的概率为0.8. （1）完成列联表，并根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为参加直播购物与性别有关？ （2）从上述参加过直播购物的人中，按性别用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中抽取3人调查其在直播购物中的有关商品质量等问题，用X表示这3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 2.072 2.706 3.841 5024 6.635 17. 为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图. （1）若该产品指标数不在区间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率； （2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算的值，并计算产品指标数小于17.56的概率. 参考数据：，，. 18. 教育部决定自年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖学生，强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. （1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据： 若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的线性回归方程. （2）根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，某考生准备从甲、乙两所大学选择一所报考，已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立，若该考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率分别为、、，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率均为.若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，该考生应报考哪所高校. 参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，. 19. 已知函数，. （1）讨论函数单调区间； （2）若，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$