精品解析：重庆市杨家坪中学2025-2026学年度高二下学期第一次月考数学试题

重庆市杨家坪中学高2027届高二下期第一次月考 数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】 ，即 . 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，令，求得，得到的解析式，进而求得的值. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 所以，可得. 3. 用1，2，2，3，3，3这六个数字可组成（ ）个不同的三位数 A. 19 B. 15 C. 27 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】三个数字全不同：只能选1、2、3各1个，全排列得个； 三个数字全相同：只有3能凑出三个相同，仅333这个； 恰好两个数字相同：相同数字为2：不同数字可选1或3，共2种选择， 选位置放不同数字共种，得个； 相同数字为3：不同数字可选1或2，同理个，共个. 将所有情况相加：，因此可组成19个不同的三位数. 4. 将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可. 【详解】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确. 5. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【详解】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 6. 如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（ ） A. 24 B. 72 C. 20 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】按照的序号分步选择颜色，在4号区域选颜色时根据它与2号区域是否同色分类. 【详解】由题意第一步1号区域有4种方法，第二步2号区域有3种方法，第三步3号区域有2种方法，第四步4号区域有2种方法：与2号相同颜色的一种，则第五步有2种方法，与2号不同颜色的一种，则第五步有1种方法， 所以方法数为. 7. 已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，则 ，由条件可得在上单调递增，进一步可得在上单调递增，将可化为，即，由单调性可得答案. 【详解】设 ，则 当时，有成立， 此时 所以在上单调递增. 又为奇函数，则，则为奇函数， 又 则在上单调递增， 所以在上单调递增. 当，恒有 可化为， 即， 由在上单调递增， 所以， 故不等式的解集为. 8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，设，由确定，对求导判断函数的单调性，作出函数的图象，数形结合即可求得参数的取值范围. 【详解】由可得，即， 设，则，因，代入解得， 则，则， 由得，由，得或， 故函数在上单调递增，在和上单调递减， 且当，当，作出函数的图象. 由图知，，又，且当时，， 由图可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，需使， 即，故实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，多选、错选不得分） 9. 小杨正在安排五一五天假期（5月1日-5月5日）的旅行计划，他决定在这5天里每天去一个不同的景点（其中包含甲、乙、丙三个景点），则下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有48种 B. 若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C. 若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有60种 D. 若5月1日不去甲景点，5月5日不去乙景点，则不同的安排方法共有78种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用捆绑法、插空法分别求解判断AB；利用定序问题列式求解判断C；利用排除法列式求解判断D. 【详解】对于A，将甲、乙捆绑视为一个整体，不同安排方法有种，A正确； 对于B，先安排除甲乙外的其它3个景点的时间，再将甲乙景点插入空隙，不同安排方法有种，B正确； 对于C，先取3天安排甲乙丙3个景点，再排余下2个景点的时间，不同安排方法有种，C错误； 对于D，去5个景点的全排列为，5月1日去甲景点有种，5月5日去乙景点有种， 5月1日去甲景点且5月5日去乙景点有种，不同安排方法有种，D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值为 C. 的图象关于原点对称 D. 有两个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出单调递增区间判断A；求出极小值判断B；利用奇偶函数定义判断C；求出函数的零点判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，由，得或，函数在上单调递增，A正确； 对于B，由，得，函数在上单调递减， 结合选项A得函数在取得极小值，B正确； 对于C，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，C正确； 对于D，由，解得，函数有3个零点，D错误. 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又因为， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 故有唯一零点，故A正确； 对于B：函数的定义域为，又因为， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在取到最大值，且， 又因为当时，，当时，， 所以若方程有两个实数解，则，故B错误； 对于C：若对任意恒成立，分情况讨论： 当时，左边，不等式成立； 当时，，不等式变形为， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，故； 当时，，不等式变形为， 令，求导同， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，最小值为，故， 综上，，故C正确； 对于D：因为， 令，所以在上恒成立，故， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以的最大值在或上取得，因为， 而，故，故D正确. 【点睛】以导数为工具，精准分析和的单调性、极值与最值，是解决本题的关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】55 【解析】 【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得. 【详解】， 因二项式的通项为， 则的展开式中含项的系数为； 对于，只需求其中的展开式含项的系数，即. 故的展开式中，含项的系数为. 故答案为：55. 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集． 【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 故当，时，，当时，. 原不等式等价于或，则或. 所以不等式的解集为. 14. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数判断函数的单调性，求出，.由已知可推得，只需满足，代入即可得出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设在上的最小值为， 在上的最小值为. ，当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，. ， 因为，所以， 当时，，即， 则在上单调递增，则， 当时，令得(或舍去)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 当时，，即， 则在上单调递减，则， 故当时，，得， 当时，，得，舍， 当时，，得，舍， 综上知，实数a的取值范围为： 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为：，单调递减区间为： 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解； （2）求导，求解不等式进行求解． 【小问1详解】 ，得切点为， ，得， 得切线方程为：，即． 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 由，得； 由，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为。 16. 已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数且. （1）求n的值： （2）当时，求展开式中含项的系数； （3）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值及展开式中系数最大的项. 【答案】（1）8 （2）112 （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和公式直接计算得解； （2）由通项公式求出相应项即可得解. （3）确定二项式系数最大的项，结合通项公式求出相应项计算系数，建立关于a的方程即可求解； 【小问1详解】 由题意知，，解得. 【小问2详解】 当时，二项式展开式的通项公式为. ​ 令，解得，则该项系数为： . 【小问3详解】 为偶数，二项式系数最大的项为第项，由题意可得该项的系数为70， 则 ，化简得，结合，得. 此时通项系数. 比较相邻系数比值，​ 当时，，即； 当时，，系数递减，因此最大. 对应系数最大的项为. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 【答案】（1）时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减； （2），的极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，得函数的单调性； （2）由（1）若要有两个极值点，这两个极值点必是，由两个极值点都在区间上得出参数范围，再由单调性求极值. 【小问1详解】 ，由得或， 当时，在，上恒大于0， 在上恒小于0，在，单调递增，在上单调递减； 时，在上恒成立，在上单调递增； 时，在，上大于0恒成立， 在上小于0恒成立，在，上单调递增，在上单调递减； 综上，时，在，上调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知的极值点是，1，因此这两个极值点需在区间内， 则且，解得， 的极大值为，极小值为. 18. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求整数a的最小值． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，根据和两种情况讨论. （2）把不等式分离参量得，求函数的最大值，但是求导后求不出具体的根，所以设隐零点，整体代入求解. 【小问1详解】 的定义域为， （ⅰ）当时，，∴在上单调递增； （ⅱ）当时，令， 令， ∴当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由，可得：， ∵，∴原命题等价于对恒成立． 令，∴， 令，∴，∴在上单调递增． 又， 故存在唯一的，使得． 当时，，∴， ∴在上单调递增， 当时，，∴， ∴在上单调递减． ∴， ∴时，恒成立． ∴，又，∴a的最小整数值为2． 【点睛】求某个函数的单调性时，发现极值点不容易求出，则用隐零点解决. 第一步设出隐零点，然后代入得到等式， 第二步根据设出的隐零点得到函数的单调区间，求出函数的极值 第三步极值分离出代入，化简成新的表达式 第四步求的最值. 19. 定义运算：，已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设，.若，是方程的两个不同实根，求证：. （3）若对任意，都有，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明：由题意得， ， 令，又， 即，所以， 所以，设函数， 则， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 欲证，即证， 不妨设，则，则， 令， 由 ， 所以在上单调递减，， 所以，即 又在上单调递增，所以，即， 故得证. （3）. 【解析】 【分析】（1）分别求解与，结合点斜式求解曲线的切线斜率； （2）令，可得，设，于是可将证明不等式转化为证明，构造函数，求导确定单调性从而证得结论； （3）令，将已知不等式转化为，由函数的单调性可得，讨论，，验证不等式是否恒成立，从而得实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意可知， 当时，， ，所以， 所以在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 恒成立等价于， 令，上述不等式化为 令，则该函数单调递增， 即， 所以， 若，取，显然，与题设矛盾； 若，取，有，也与题设矛盾； 所以，则， 不妨设， 则 当时，， 所以在上单调递增，则，此时满足， 当时，令， 则 ， 由导数的意义可知在的极小的区域内值为负， 则取，有，与题设矛盾； 综上所述： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学高2027届高二下期第一次月考 数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设是可导函数，且，则（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 用1，2，2，3，3，3这六个数字可组成（ ）个不同的三位数 A. 19 B. 15 C. 27 D. 18 4. 将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 6. 如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（ ） A. 24 B. 72 C. 20 D. 48 7. 已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分选对得部分分，多选、错选不得分） 9. 小杨正在安排五一五天假期（5月1日-5月5日）的旅行计划，他决定在这5天里每天去一个不同的景点（其中包含甲、乙、丙三个景点），则下列说法正确的是（ ） A. 若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有48种 B. 若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C. 若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法有60种 D. 若5月1日不去甲景点，5月5日不去乙景点，则不同的安排方法共有78种 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极小值为 C. 的图象关于原点对称 D. 有两个零点 11. 已知函数，则下列选项正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 若方程有两个实数解，则实数的取值范围为 C. 若对任意恒成立，则实数的取值范围为 D. 记，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中，含项的系数为__________. 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 14. 已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是________. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 16. 已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数且. （1）求n的值： （2）当时，求展开式中含项的系数； （3）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值及展开式中系数最大的项. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性 （2）若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 18. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若对恒成立，求整数a的最小值． 19. 定义运算：，已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）设，.若，是方程的两个不同实根，求证：. （3）若对任意，都有，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $