精品解析：山东省桓台第二中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷

高一下学期6月月考测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 8. 宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知向量，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 11. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. AC⊥B1E B. B1C∥平面A1BD C. 三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D. 异面直线B1C与BD所成的角为45° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 边长为的菱形中，，、分别为、的中点，则________ 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_______． 14. 如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________． 四、解答题：（本大题共5小题，共75分） 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，求边及的面积； （3）在（2）的条件下，求的值. 16. 已知函数． （1）求的值及的对称轴； （2）求在上的值域； （3）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间． 17. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 18. 已知四棱锥中，底面是直角梯形，,，侧面是正三角形且垂直于面，是中点． （1）求证：面； （2）求证：平面； （3）求与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期6月月考测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i是虚数单位，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用除法运算进行化简，然后利用虚部的定义进行求解即可 【详解】因为， 所以的虚部为， 故选：C 2. 如图，在中，，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为即，点为的中点， 所以， 所以. 故选：D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式得，再用二倍角公式即可得. 【详解】因为，所以， 又． 故选：C 4. 已知扇形的半径为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 设扇形圆心角的弧度数为，则根据扇形面积公式，列出方程求解即可. 【详解】设扇形圆心角的弧度数为，则根据扇形面积公式， 代入可得：，解得， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，考查学生的运算，属于基础题. 5. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 6. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点A到平面PBC的距离为，根据等体积法求解即可. 【详解】因为平面ABC， 所以, 因为，， 所以 又，， 所以, 所以, 设点A到平面PBC的距离为， 则, 即, ， 故选：A 7. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出． 【详解】平面向量，满足，且， ，解得. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题. 8. 宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的定义和性质，以及面面平行的性质即可判断. 【详解】对于A，直线m垂直于平面内的一条直线n，则直线m与平面不一定垂直，所以A不是真命题； 对于B，因为，，由直线与平面垂直的定义可知：，所以B是真命题； 对于C，因为，，由直线与平面垂直的性质可知：，所以C是真命题； 对于D，分别在两个平行平面，内的直线m，n平行或异面，所以D不是真命题． 故选： 10. 已知向量，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算求差向量的模；应用两向量垂直等价于数量积为0化简；应用向量平行的条件求解；应用坐标形式求投影向量即可. 【详解】解：因为， 所以，所以，故A正确； 因为，且， 所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C错误； 因为在上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. AC⊥B1E B. B1C∥平面A1BD C. 三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D. 异面直线B1C与BD所成的角为45° 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由已知可得AC⊥平面BB1D1D，从而可得AC⊥B1E；对于B，利用线面平行的判定定理可判断；对于C，由进行求解即可；对于D，由于BD∥B1D1，所以∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，从而可得结果 【详解】解：如图， ∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D， 又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确； ∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确； 三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误； ∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形， ∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误. 故选：AB. 【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 边长为的菱形中，，、分别为、的中点，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得的值. 【详解】设，则为、的中点，且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 所以，，故. 故答案为：. 13. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角A与B的关系，结合诱导公式计算作答. 【详解】在中，因，则，， 所以. 故答案为：1 14. 如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，不妨设，分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出三边边长，结合余弦定理求解即可. 【详解】连接、，不妨设，如下图所示： 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由勾股定理可得，同理可得， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：（本大题共5小题，共75分） 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，，求边及的面积； （3）在（2）的条件下，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得角； （2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可. （3）利用正弦定理求出，再求出，再利用二倍角公式求出，最后再利用两角和与差的正弦公式即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即，即， 又，所以，则，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. 【小问3详解】 由正弦定理得，即，解得， 因为，故角为锐角，故， 所以， ， 所以 . 16. 已知函数． （1）求的值及的对称轴； （2）求在上的值域； （3）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1），对称轴方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，代值计算可得的值，利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称轴方程； （2）当时，求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域； （3）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，结合正弦型函数的单调性可求得函数的增区间. 【小问1详解】 因为 ， 所以， 由可得， 因此函数的对称轴方程为. 【小问2详解】 当时，，则， 因此，在上的值域为. 【小问3详解】 将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则， 由得， 所以，函数的单调递增区间为. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【小问1详解】 设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. 【小问3详解】 因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故 18. 已知四棱锥中，底面是直角梯形，,，侧面是正三角形且垂直于面，是中点． （1）求证：面； （2）求证：平面； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明，面即得证； （2）证明平面，平面即得证； （3）分析可知，直线与平面所成角为，求出、的长，即可求得的正弦值，即为所求. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 是中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 面面，面面，，面， 平面，， 等边三角形，为的中点，， 又，、平面，平面， ，平面. 【小问3详解】 平面，直线与平面所成角为， ，，由勾股定理可得， 平面，平面，， ，，故， 为的中点，，故， ，即与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面. （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知以及勾股定理、面面垂直的性质定理，利用线面垂直的判定定理进行证明. （2）根据已知，证明为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用三角形的性质计算求解. 【小问1详解】 证明：在中， 又侧面底面， 侧面底面平面， 平面，又平面， ，又，平面， 平面. 【小问2详解】 解：取的中点为，连接， ，所以 又侧面底面，侧面底面，面， 平面 又平面，， 过点作，垂足为，连接，又，平面， 平面，又平面，平面， ， 为侧面与底面所成二面角的平面角， 在直角中，， ，， 即侧面与底面所成二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $