精品解析：内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

前旗二中高一年级组数学学科月考试题 一、单选题 1. 若复数，则复数的共轭复数（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义即可求解. 【详解】由， 所以， 故选：A. 2. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直得到，即可表示出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以，即， 所以，又，所以. 故选：B 3. 棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正方体的体对角线即为外接球的直径，即可得解. 【详解】棱长为的正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为, 则，即， 所以外接球的表面积. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解. 【详解】由已知使用诱导公式化简得：， 将代入即. 故选：A. 6. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图分析，则，，设，找到异面直线与所成的角，由余弦定理求解即可. 【详解】由题意，可作图， 则，，设， 在中，易知， 在中，，，， 在长方体中，易知， 则为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，则，同理可得， 由余弦定理，得． 故选：B 7. 已知的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期得出，再利用特殊点计算，从而得出的解析式，再计算即可. 【详解】由图象可得，解得：.所以， 所以， 由图象可知，函数的图象过点， 所以，即， 又因为点在函数的递减区间， 所以，解得：， 因为，所以. 所以， 所以， 故选：B. 8. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，由线面平行的性质定理可得，再借助比例式可得答案. 【详解】如下图，四棱锥中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN， 因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是BD中点， 而点Q是AD中点，于是得点N是重心，从而得， 因平面，平面，平面平面， 因此得，于是得，所以. 故选：C. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，再由余弦函数相关性质检验各项即可求解. 【详解】, ∴，故A正确； 最小正周期，故B正确； 时，， ∵在单调递减， ∴在上单调递减，故C错； ，不是函数的对称轴，故D错； 故选：AB. 10. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（ ） A. AG⊥平面EFH B. AH⊥平面EFH C. HF⊥平面AEH D. HG⊥平面AEF 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，AH⊥HE，AH⊥HF，HF⊥HE，从而利用线面垂直的判定定理可得AH⊥平面EFH，HF⊥平面AHE，进而可得答案 【详解】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥HF. ∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确. 又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确. HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确. 故选：BC. 【点睛】此题考查线面垂直的判定，考查折叠问题，属于基础题 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D. 【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则， 又由正弦定理可得，故A说法正确； 选项B，若，则由正弦定理边化角可得， 即，所以或，整理得或， 所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为，所以由正弦定理可得， 所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确； 选项D，若，则由正弦定理角化边可得， 所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误； 故选：BD 三、填空题 12. 已知复数为纯虚数， 则________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值. 【详解】因为， 又复数为纯虚数，所以，解得. 故答案为： 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14. 平面平面，点，点，直线AB，CD相交于点P，已知，，，则___________． 【答案】34或2. 【解析】 【分析】根据点的位置分类讨论，利用平面几何知识即可求出． 【详解】因为直线AB，CD相交于点P，所以共面． 根据面面平行的性质定理可知，． ①若点在平面的外部，则，即，解得； ②若点在平面之间，则，即，解得， ∴． 故答案为：34或2． 【点睛】本题主要考查面面平行的性质定理，以及平面几何知识的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用和数学运算能力，属于基础题． 四、解答题 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）判断的形状； （2）若，且的面积为，求角． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意结合正弦定理边角互化可得答案； （2）设c，b为x，由图及勾股定理可得x，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理， ， 因，则，，则为等腰三角形； 【小问2详解】 由（1）设等腰三角形两腰，即c，a为x， 则由图结合勾股定理可得，边b对应的高为， 则，即为等边三角形，则角为. 16. 如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面； （2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面． 【详解】证明：（1）设与的交点为，连结， ∵四边形为平行四边形，∴为中点， 又是的中点，∴是三角形的中位线，则， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵为线段的中点，点是的中点， ∴且，则四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． 又平面，，且平面，平面， ∴平面平面． 【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值，并求此时的值． 【答案】（1） （2）时，函数最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数，由此得到的值，即可求出函数的最小正周期； （2）由的范围即可求出的取值范围，从而得到函数的最大值，并求出对应的的值. 【小问1详解】 ， ， ， ∴，∴最小正周期. 【小问2详解】 当时，， ∴当时，即时，函数最大，最大值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行. （2）利用体积法求点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦. 【小问1详解】 如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以是直角三角形， 又为中点，且，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为, 所以. 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，平面，， 所以平面. 又平面，所以.所以为直角三角形. 中，，，. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以.即点到平面的距离为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为：. 19. 如图，在四棱锥中，，侧面平面． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3）2. 【解析】 【分析】（1）取的中点M，连接，由得到，再根据侧面平面得到平面，得到 ；进而结合条件即可证得平面. （2）由（1）易得，由可得，从而，进而证得平面. （3）由（1）易得为直线与平面所成的角, ,易得，根据棱锥的体积公式即可求得解. 【小问1详解】 证明：在△中，取的中点M，连接， 因为，所以， 因为侧面平面，且侧面平面，平面 所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，所以， 在△中，因为，所以， 所以， 在同一平面中，因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问3详解】 由（1）知平面，连接，则为直线与平面所成的角. 在Rt△中，，所以, 在Rt△中，，所以，解得. 故三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前旗二中高一年级组数学学科月考试题 一、单选题 1. 若复数，则复数的共轭复数（ ）． A. B. C. D. 2. 已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（ ）． A. B. C. D. 3. 棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，点在棱上，且满足平面，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 10. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（ ） A. AG⊥平面EFH B. AH⊥平面EFH C. HF⊥平面AEH D. HG⊥平面AEF 11. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 三、填空题 12. 已知复数为纯虚数， 则________________； 13. 若，则________. 14. 平面平面，点，点，直线AB，CD相交于点P，已知，，，则___________． 四、解答题 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）判断的形状； （2）若，且的面积为，求角． 16. 如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值，并求此时的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）已知： ①求直线与平面所成角的正弦值； ②求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，，侧面平面． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $