精品解析：四川省荣县中学校2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

荣县中学高2026届高二下学期第三学月考试 数学试题 出题：胡智容 审题：张和彬 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关数据的特征可知，决定系数能够刻画其经验回归方程的拟合效果. 【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量； 变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强； 用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好. 故选：C 2. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列片段和的性质有是等差数列，结合已知即可求. 【详解】由等差数列片段和的性质有是等差数列， 所以，可得. 故选：C 3. 已知二项式，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法可得特定项的系数及项的系数之和. 【详解】, 令，则， 即， 又， 所以， 故选：D. 4. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 【答案】C 【解析】 【分析】先由得或，由题意符合题意，再结合组合数的计算可得. 【详解】因为，所以或，解得或， 因为，所以，可得， 所以. 故选：C 5. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案. 【详解】因为随机变量X分布规律为（）， 所以，解得， 所以. 故选：A. 6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑以及不相邻问题插空法，即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 7. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧单调性并确定其值域下界，即可得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即在上恒成立， 令且，则，即在上单调递增， 所以，故. 故选：C 8. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D． 【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确； 对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误； 对于C，由正态分布的对称性得，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合对立事件的概率及概率的基本性质逐项分析判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 11. 设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据的解集确定即可判断A；求出极小值，然后解，结合图象即可判断B；计算即可判断C；当时，，根据单调性即可判断D. 【详解】对于A，由，解得或， 所以，故A正确； 对于B，由A选项知，，则， 当时，；当或时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 又，令，解得或3，函数在区间上存在最小值， 由图可知，的取值范围为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，由B选项知在上单调递增，当时，，，故D错误．    故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 13. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到基本事件的总数为种，再分若丙去学校和丙不去学校，得到不同的安排方法的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，6名教师选出3人分别到三所学校参加公益演讲活动， 共有种不同的安排方法， 因为甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校， 可分为两种情况讨论： 第一种情况：若丙去学校，则有中安排方法； 第二种情况：若丙不去学校，则学校有种选法，学校有种选法， 学校有种选法，有种不同的安排方法， 综上可得，共有种不同的安排方法， 由古典概型的概率计算，可得概率为. 故答案为：. 14. 已知函数的最小值为0，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用同构变形并构造函数，借助函数的单调性转化成求函数的最小值. 【详解】依题意，对于恒成立，且能取得等号， 即对于恒成立，且能取得等号， 函数在上单调递增，不等式为， 则，即，因此在上恒成立，且能取得等号， 设，于是是函数在上的最小值， 求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增，且， 所以 故答案为： 【点睛】关键点点睛：同构变形不等式，利用函数单调性转化成求函数的最小值是关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），客户人数为55; （2）有把握. 【解析】 【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出经验回归方程，再预测结果. （2）根据给定的数据求出的观测值，再与临界值比对即可. 【小问1详解】 由表中的数据知，，， ， ，，， 不满意人数y与月份x之间的经验回归方程为， 当x＝8时，， 所以预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为55. 【小问2详解】 零假设：服务满意度与性别无关， 由表中的数据得， 所以有99%的把握认为满意度与性别有关. 16. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. （1）求的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量得到方程组，计算出首项和公差，从而得到，，求出两个通项公式； （2），利用错位相减法求和，得到答案. 【小问1详解】 由题意知， 解得或， 当时，，，故，； 当时，，，故， ， 所以或； 【小问2详解】 因为，所以. 因为， 所以， 两式相减得 ， 故. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，由几何性质得四边形为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理证得结论； （2）取中点，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解平面与平面的法向量，由向量夹角余弦公式从而得锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，， 为的中点，，， 又∵，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 取中点，连接， 由，点为中点，可得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为直线与平面所成的角为 ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为. （1）求抛物线的方程； （2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值. 【答案】（1） （2）有，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线准线与椭圆相交一个交点为，将该点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设在抛物线上，可知到轴距离为，可知，利用两点间的距离公式结合勾股定理可求得的值； （3）分析可知，过点且相互垂直，且与抛物线都有交点的两条直线的斜率都存在且不为零，设这两条直线的方程分别为、，其中，设直线交抛物线于点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式可求得，进而可得出，再利用四边形的面积公式结合基本不等式可求得四边形面积的最小值. 【小问1详解】 解：由已知，抛物线的准线与椭圆相交线段的一个端点坐标是， 把代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 解：假设在抛物线上运动时弦的长为定值，理由如下： 设在抛物线上，可知到轴距离为， 根据圆的弦长公式可知：， 由已知，， 所以， 则在抛物线上运动时弦的长的定值为. 【小问3详解】 解：若过点且相互垂直的两条直线分别与两条坐标轴垂直， 则其中与轴重合的直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设过的的两条直线的方程分别为、，其中， 设直线交抛物线于点、， 由得， ， 由韦达定理可得，则， 同理可得， 所以，四边形的面积 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【小问1详解】 当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. 【小问3详解】 由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣县中学高2026届高二下学期第三学月考试 数学试题 出题：胡智容 审题：张和彬 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ） A. 平均数 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 方差 2. 记为等差数列的前n项和，若，则（ ） A 17 B. 19 C. 21 D. 23 3. 已知二项式，则 （ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. 14 B. 84 C. 34 D. 204 5. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ） A. B. C. D. 6. 五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种. A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 120种 7. 若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量，且，其中，则下列命题正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，定义域为，若关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ） A. B. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 13. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为______． 14. 已知函数的最小值为0，则________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某地区大型服装店对在该店购买衣服客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了2024年1月至5月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份x 1 2 3 4 5 不满意的人数y 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数y与月份x之间存在线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，能否有99%的把握认为满意度与性别有关? 满意 不满意 合计 女客户 48 12 男客户 22 18 合计 附：经验回归方程为，其中． ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10828 16. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，. （1）求的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知抛物线的准线与椭圆相交所得线段长为. （1）求抛物线的方程； （2）设圆过，且圆心在抛物线上，是圆在轴上截得的弦.当在抛物线上运动时，弦的长是否有定值？说明理由； （3）过作互相垂直的两条直线交抛物线于、、、，求四边形的面积最小值. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$