精品解析：江苏省南京市栖霞区等5地2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期期中学情分析样题八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下调查中，适合进行普查的是（ ） A. 调查某校七年级全体学生的视力情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查市场上某种白板笔的使用寿命 D. 调查某市居民垃圾分类的情况 3. “翻开北师大版数学七年级下册的课本，恰好翻到第80页”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 4. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 7. 如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到．若，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A 2.5 B. 3.5 C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 10. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 11. 为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 12. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是___________． 13. 九年级某班有50名学生，在4 月份的体育中考中，成绩满分的有40人．若将数据绘制成扇形统计图，则代表满分的扇形的圆心角度数为______°． 14. 在中，，则______°． 15. 若点与点关于原点对称，则______． 16. 如图，菱形的顶点都在的边上．若，则______． 17. 如图，在矩形纸片中，，点E在边上，将纸片沿折叠，点A落在F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H．若，则的长为______． 18. 如图，在正方形中，E，F分别在边上，过点作交于点，连接．若，下列结论：①；②；③．其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在平行四边形中，点和点分别在边上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中并摇匀，试验活动中的部分统计数据如下表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 24 33 52 127 202 251 摸到黑球的频率 a （1）完成上述表格：_____； （2）估计从袋中摸出一个球是黑球概率是_____（精确到）； （3）估算袋中白球的个数． 22. 图①是某饮品店去年11月至今年3月的销售额的情况，图②是其最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比的情况，已知这段时间该饮品店的销售总额是35万元． （1）将条形统计图补充完整； （2）该店最畅销饮品去年12月的销售额是多少万元? （3）店长观察图②后，认为今年3月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的，你同意他的看法吗?为什么? 23. 已知，用两种不同的方法证明． 24. 如图，在中，，是高． （1）用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，，求证：四边形是菱形； （2）若，，则（1）中的菱形的面积为______． 25. 如图，在中，E，F分别是边，中点，点G，H在对角线上，． （1）求证； （2）若，，四边形为矩形． ①当时，的长为______； ②直接写出该矩形为正方形时的长． 26. 我们可以用构图的方法研究一些几何问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知正方形，是 延长线上一点，连接，作，交于点．求证：． 【方法迁移】 （2）如图②，已知，点在的内部，求作正方形，使点，分别在 ，上，点在的内部（含边）． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图痕迹，写出必要的文字说明； ③作出所有满足条件的图形． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若，，点到的距离为，直接写出所作正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中学情分析样题八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 下列图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 以下调查中，适合进行普查的是（ ） A. 调查某校七年级全体学生视力情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查市场上某种白板笔的使用寿命 D. 调查某市居民垃圾分类的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的定义是正确判断的前提． 根据抽样调查与全面调查的定义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．调查某校七年级全体学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项符合题意； B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，因此选项不符合题意； C．调查市场上某种白板笔的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项不符合题意； D．调检某市居民垃圾分类的情况，适合使用抽样调查，因此选项不符合题意； 故选：A． 3. “翻开北师大版数学七年级下册的课本，恰好翻到第80页”，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的知识，根据在一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件判断即可． 【详解】解：“翻开北师大版数学七年级下册课本，恰好翻到第80页”，这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，根据分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握此定义是解题的关键． 【详解】解：A、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意； B、中分母不含有字母，故不是分式，不符合题意； C、不符合分式的定义，故不是分式，不符合题意； D、是分式，符合题意； 故选：D． 5. 下列分式中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，说法正确，不符合题意； 故选B． 7. 如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到．若，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质结合平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴旋转角度数为， 故选：D． 8. 如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接．若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3.5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位数定理，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据三角形的中位线定理，得到，，根据平行线的性质，结合角的和差关系以及三角形的外角的性质，得到，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接， ∵E，F分别是中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，掌握分式的基本运算是解题的关键；根据同分母加减法，分母不变，分子相加减的运算法则计算即可. 【详解】解： 故答案为：. 10. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0． 根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，求解即可． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是______． 【答案】68 【解析】 【分析】本题考查样本容量．熟练掌握样本容量是抽取的样本的数量，不带单位，是解题的关键．根据样本容量是抽取样本的数量，进行作答即可． 【详解】解：此次调查中，样本容量是68， 故答案为：68 12. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成5组，第组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】用总次数减去第组的频数和，再求出频率． 【详解】解：由题意得： ， 第5组的频数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数的定义是解题的关键． 13. 九年级某班有50名学生，在4 月份的体育中考中，成绩满分的有40人．若将数据绘制成扇形统计图，则代表满分的扇形的圆心角度数为______°． 【答案】288 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．先求出体育优秀的占总体的百分比，再乘以 即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：288． 14. 在中，，则______°． 【答案】135 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形邻角互补的性质建立方程求解． 根据平行四边形对边平行，得出邻角互补，再结合，求出，进而利用平行四边形对角相等求出． 【详解】如图：∵四边形是平行四边形， 故答案为：135． 15. 若点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，横纵坐标都互为相反数，再得到关于 的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵ 关于原点对称， ∴ 解得： ∴ 故答案为： . 16. 如图，菱形的顶点都在的边上．若，则______． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形外角的定义和性质，以及三角形内角和定理，设．由菱形的性质结合已知条件得出，和，结合已知得，则有，，根据平行线的性质得，可得，进一步得，由三角形的外角得，则，以及三角形内角和定理列出求得即可得出答案． 详解】解：设． ∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴ 故答案为∶72． 17. 如图，在矩形纸片中，，点E在边上，将纸片沿折叠，点A落在F处，的延长线交于点G，交的延长线于点H．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质是解题关键．根据矩形的性质和折叠的性质，推出，设，则，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形纸片中，， ，， 由折叠的性质可知，，，， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， ，， ， 在中，， ， 解得：，即的长为， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，E，F分别在边上，过点作交于点，连接．若，下列结论：①；②；③．其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． ①过点作，于交点，证明四边形是平行四边形得，再证明和全等得，由此可对结论①进行判断； ②根据平行四边形的性质，全等三角形的性质及得，进而得是等腰直角三角形，则，假设，设，则，，进而得，，再根据得，由此的，但是根据已知条件无法确定，据此可对结论②进行判断； ③根据，，及得，进而可得出，据此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】①过点作，于交点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故结论①不正确； ②∵， ∴是等腰直角三角形， 假设， 设，则， 根据已知条件无法确定， 故结论②不正确； 综上所述：正确结论的序号是①③． 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加减法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先通分，再按照同分母分式减法计算即可； （2）先通分，再按照同分母分式加法计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 如图，在平行四边形中，点和点分别在边上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到相应条件，证明，得到，继而推出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】解：证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， ． 又， ，即． 又， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，注意掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键． 21. 一只不透明的袋子中装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，从中任意摸出1个球，记录颜色后将球放回袋中并摇匀，试验活动中的部分统计数据如下表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 24 33 52 127 202 251 摸到黑球的频率 a （1）完成上述表格：_____； （2）估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_____（精确到）； （3）估算袋中白球的个数． 【答案】（1） （2） （3）估计白球有15个 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率的计算公式，掌握在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近是解题的关键． （1）用251除以1000，即可； （2）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （3）设袋中白球为个，用概率公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是； 故答案为： 【小问3详解】 解：设袋中白球为个，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：估计袋中有15个白球． 22. 图①是某饮品店去年11月至今年3月的销售额的情况，图②是其最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比的情况，已知这段时间该饮品店的销售总额是35万元． （1）将条形统计图补充完整； （2）该店最畅销饮品去年12月的销售额是多少万元? （3）店长观察图②后，认为今年3月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的，你同意他的看法吗?为什么? 【答案】（1）作图见解析； （2）1.2万元； （3）不同意店长的看法，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）用35万元减去其余各月的月销售额即可得出1月销售额，从而补全条形统计图； （2）用12月份的销售额乘以最畅销饮品的销售额占月销售额的百分比即可求解； （3）分别求出各个月的最畅销饮品的销售额即可得出答案． 【小问1详解】 解：35-10-8-4-8=5（万元），补图如下， 【小问2详解】 解： （万元） 该店最畅销饮品去年12月的销售额是1.2万元； 【小问3详解】 解：不同意店长的看法，理由如下： 11月最畅销饮品的销售额为 （万元）， 12月最畅销饮品的销售额为 （万元）， 1月最畅销饮品的销售额为 （万元）， 2月最畅销饮品的销售额为 （万元）， 3月最畅销饮品的销售额为 （万元）， ， 今年1月该店最畅销饮品的销售额是去年11月以来最少的， 不同意店长的看法． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与折线统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 23. 已知，用两种不同的方法证明． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质及比的性质运算，运用等式的基本性质两边加1，可证；还可以运用比例的性质求解． 【详解】方法一：证明：， ， ， ． 方法二：证明：， ． ， ， ． ， 方法三：证明：， ． ， ， ． ． 24. 如图，在中，，是高． （1）用直尺和圆规作，使与关于点D对称（保留作图的痕迹，不写作法），连接，，求证：四边形是菱形； （2）若，，则（1）中的菱形的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图，菱形的判定和性质，勾股定理等知识． （1）利用关于点D对称的性质分别作出点A，B，C对应的点E，F，G即可． （2）利用勾股定理求出，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，再利用菱形的性质求出，，再根据菱形的性质求出面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 证明：由作图可知：，． ∴四边形是平行四边形． ∵是的高， ∴． 即． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵四边形是菱形． ∴，， ∴菱形的面积为： 25. 如图，在中，E，F分别是边，的中点，点G，H在对角线上，． （1）求证； （2）若，，四边形为矩形． ①当时，的长为______； ②直接写出该矩形为正方形时的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意及平行四边形的性质，证明，即可得证； (2)①证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，连接，证明四边形为矩形，求出，即可解答； ②连接交于点O，利用正方形的性质及勾股定理即可解答． 【小问1详解】 证明∶四边形是平行四边形， ，． ． E，F分别是边，的中点， ． ， ，即． ． ． 【小问2详解】 ，四边形为平行四边形， 四边形是矩形． ，，． 在中，，， ． 如图，连接， E，F分别是边，的中点， ，． ，． 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形． ． ． 四边形为矩形， ， ． 故答案为∶． ②如图，连接交于点O， ∵四边形为正方形， ，． 中，． ． ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键． 26. 我们可以用构图的方法研究一些几何问题． 【基本图形】 （1）如图①，已知正方形，是 延长线上一点，连接，作，交于点．求证：． 【方法迁移】 （2）如图②，已知，点在的内部，求作正方形，使点，分别在 ，上，点在的内部（含边）． 要求：①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明； ③作出所有满足条件的图形． 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，若，，点到的距离为，直接写出所作正方形的边长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质证明可得，再根据等量代换即可证明结论； （2）根据正方形的性质、垂直平分线的性质进行尺规作图即可完成作答； （3）分类讨论：正方形在点的左侧和右侧，再利用等腰直角三角形和两三角形全等得到线段长，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， （2）作法：1．过点向作垂线段 ； 2．以垂线段为边向右侧或左侧作正方形； 3．延长，交 于点； 4．连接，以点为圆心，为半径画弧，交 于点； 5．以为边作正方形，则正方形即为所求； 如图，正方形 即为所求． （3）解：当正方形在点右侧时， 如图：过作 ，交 于点，交 于点，过作 于点，过作 于点， 同理可得：≌， ∴， 在 中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴正方形的边长是． 当正方形在点左侧时， 过作 ，交 于点，交 于点，过作 于点， 同理：≌， ∴， 在 中，根据勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴正方形的边长是． 综上所述，正方形的边长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $