1.1二次讲义2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.1二次函数 【考点1：二次函数的概念】 【知识梳理】 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数,称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项. 【例题精讲】 1．下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（　　） A．y=x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2 C．y=x2+ D．y= 2．下列函数中是二次函数的是（　　） A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2x2﹣1 【巩固练习】　 1．函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 2. 若函数为二次函数，则m的值为 。 【考点2：二次函数的解析式以及三种形式】 【知识梳理】 待定系数法求二次函数的解析式:把已知点代入二次函数,解出其中的系数和常数项,即可求出解析式. 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k． 3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）， 设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标） 【例题精讲】 1．函数y=x2+2x﹣2写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（　　） A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x+1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣1 2．二次函数y=﹣3x2+6x变形为y=a（x+m）2+n形式，正确的是（　　） A．y=﹣3（x+1）2﹣3 B．y=﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=﹣3（x﹣1）2+3 3．将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（　　） A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3） C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1 4．二次函数y=2（x﹣1）（x﹣2）的图象与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，4） D．（0，﹣4） 【考点3：二次函数的图像特征】 【知识梳理】 （1）二次函数 ( a≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=，顶点坐标是为（，） (3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点 【例题精讲】 1. 满足a﹤0，b＞0，c=0的函数y=ax2+bx+c的图象是图中的（ ） 2. 已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是中的（ ） 【巩固练习】 1. 如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【课堂检测】 1．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（ ） A． B． C． D． 2、在二次函数y=x2+bx+c中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（ ） A．（-1，-1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（1，1） 3．二次函数的图象如图所示，则， ，这四个式子中，值为正数的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 O x y -1 1 4． 已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的 图象大致为（ ） A. B. C. D. 5．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（　　） A． B． C． D． 6．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　　） A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0 8．已知抛物线，请回答以下问题： ⑴　它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ； ⑵　图象与轴的交点为 ，与轴的交点为 。 9．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ． 10．对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为 ． 11．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是 　． 12．若函数y=（m2﹣m）x是二次函数，则m=　 　． 13．若y=（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m=　 　． 14．抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：　　 15．把二次函数y=（x﹣2）2+1化为y=x2+bx+c的形式，其中b、c为常数，则b+c=　 　． 16、如图26-12，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论： ①a﹤O，b＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a+2b+c=0． 正确结论的序号是 . 17．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）y=x2+2x﹣3（配方法）； （2）y=x2﹣x+3（公式法）． 18．已知一次函数y=kx+3与二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象交于y轴上的点P． （1）求二次函数解析式； （2）若一次函数的图象经过该二次函数图象的顶点，求一次函数的解析式． 【课后巩固】 1．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（　　） A． B． C D． 3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　） A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+3 6．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（　　） A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0） 7．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（　　） A．（2，12） B．（2，0） C．（﹣2，12） D．（﹣2，0） 8．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b+k=　 　． 9．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为　 　． 10．当m=_______时，函数y = (m2 －4)x + 3是二次函数，其解析式是__ y=5x2+3，图象的对称轴是______，顶点是_（0，5）__，当x =0___时，y有最_小___值_____． 11．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式． 12．已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值． 13．已知二次函数的图象经过点（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5） （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 14．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）． （1）求点B的坐标； （2）如果抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围． 　 15．已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）作出函数的图象； （2）当1＜x＜5时，求y的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1二次函数 【考点1：二次函数的概念】 我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C是常数，a≠0)的函数叫做二次函数,称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项. 【例题精讲】 1．下列函数中，其中是以x为自变量的二次函数是（A　　） A．y=x（x﹣3） B．y=（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣1）2 C．y=x2+ D．y= 2．下列函数中是二次函数的是（　D　） A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2x2﹣1 【巩固练习】　 1．函数y=（a﹣1）x+x﹣3是二次函数时，则a的值是（B　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 2、若函数为二次函数，则m的值为 2 。 【考点2：二次函数的解析式以及三种形式】 待定系数法求二次函数的解析式:把已知点代入二次函数,解出其中的系数和常数项,即可求出解析式. 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k． 3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标）， 设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标） 【例题精讲】 1．函数y=x2+2x﹣2写成y=a（x﹣h）2+k的形式是（　C　） A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x+1）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣1 2．二次函数y=﹣3x2+6x变形为y=a（x+m）2+n形式，正确的是（　D　） A．y=﹣3（x+1）2﹣3 B．y=﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=﹣3（x﹣1）2+3 3．将二次函数y=x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（　D　） A．y=（x﹣2）2﹣1 B．y=（x+1）（x+3） C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x+2）2﹣1 4．二次函数y=2（x﹣1）（x﹣2）的图象与y轴的交点坐标是（　C　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，4） D．（0，﹣4） 【考点3：二次函数的图像特征】 （1）二次函数 ( a≠0)的图象是一条抛物线； （2）对称轴是直线x=，顶点坐标是为（，） (3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点 【例题精讲】 例1、满足a﹤O，b＞0，c=0的函数y=ax2+bx+c的图象是图中的（ C ） 例2、已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是中的（ C ） 【巩固练习】　 1；如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　B　） A． B． C． D． 2．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（　D　） A． B． C． D． 【课堂检测】　 1．与抛物线的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（B ） A． B． C． D． 2、在二次函数y=x2+bx+c中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（D ） A．（-1，-1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（1，1） 3．二次函数的图象如图所示，则， ，这四个式子中，值为正数的有（C ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 O x y -1 1 4． 已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的 图象大致为（C ） A. B. C. D. 5．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为（　D　） A． B． C． D． 6．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　C　） A． B． C． D． 7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（　D　） A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0 8．已知抛物线，请回答以下问题： ⑴　它的开口向 上 ，对称轴是直线 x=-2 ，顶点坐标为 （-2，-1） ； ⑵　图象与轴的交点为 （-1，0）（-3，0） ，与轴的交点为 （0，3） 。 9．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 y=-x²-4x-9 ． 10．对称轴是轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为 y=-3x2+6． ． 11．若y=（m+2）x+3x﹣2是二次函数，则m的值是　2 　． 12．若函数y=（m2﹣m）x是二次函数，则m=　-2 　． 13．若y=（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m=　 3 　． 14．抛物线与x轴交于点（1，0），（﹣3，0），则该抛物线可设为：　　y=a（x﹣1）（x+3）（a≠0）　． 15．把二次函数y=（x﹣2）2+1化为y=x2+bx+c的形式，其中b、c为常数，则b+c=　 1 　． 16、如图26-12，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论： ①a﹤O，b＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④4a+2b+c=0． 正确结论的序号是 ①②③④ . 17．求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）y=x2+2x﹣3（配方法）； （2）y=x2﹣x+3（公式法）． 【分析】（1）利用配方法把一般式变形为顶点式y=（x+1）2﹣4，然后根据二次函数的性质求解； （2）利用抛物线的顶点坐标公式分别计算出﹣和的值，然后根据二次函数的性质求解． 【解答】解：（1）y=x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4 =（x+1）2﹣4， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）； （2）﹣=﹣=1，==， 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，）． 18．已知一次函数y=kx+3与二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象交于y轴上的点P． （1）求二次函数解析式； （2）若一次函数的图象经过该二次函数图象的顶点，求一次函数的解析式． 【分析】（1）先由一次函数的解析式确定直线与y轴的交点P的坐标，代入二次函数解析式，得到a的值从而确定二次函数解析式； （2）先求出二次函数图象的顶点坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式． 【解答】解：（1）一次函数y=kx+3交于y轴上的点P． 当x=0时，y=3．∴点P（0，3） 由于二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象经过点P， ∴3=3a，解得，a=1 ∴二次函数的解析式为：y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3 y=（x﹣2）2﹣1 ∴二次函数y=x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1）， 由于一次函数y=kx+3的图象经过（2，﹣1） ∴2k+3=﹣1 解得，k=﹣2 所以一次函数的解析式为y=﹣2x+3． 【课后巩固】　 1．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　D　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＜0）的图象可能是（B　　） A． B． C D． 3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（　B　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0． 其中所有正确结论的序号是（C　　） A．③④ B．②③ C．①④ D．①②③ 5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x=﹣1，则这个二次函数的表达式为（D　　） A．y=﹣x2+2x+3 B．y=x2+2x+3 C．y=﹣x2+2x﹣3 D．y=﹣x2﹣2x+3 6．抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（　D　） A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，﹣1） D．（0，0） 7．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=2，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（A　　） A．（2，12） B．（2，0） C．（﹣2，12） D．（﹣2，0） 8．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b+k=　 -3 　． 9．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为　 2 　． 10．当m=__3_______时，函数y = (m2 －4)x + 3是二次函数，其解析式是__ y=5x2+3，图象的对称轴是___ x=0____，顶点是_（0，5）__，当x =0___时，y有最_小___值___5____． 11．已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式． 【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2+4，然后把（﹣2，﹣5）代入求出a的值即可． 【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4， 把（﹣2，﹣5）代入得a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，解得a=﹣1， 所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4． 12．已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式． （2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值． 【分析】（1）由条件可知点A和点B的坐标，代入解析式可得到关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，可写出二次函数解析式； （2）根据a的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标和二次函数的最值． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣1）代入y=ax2+bx+2中， 得， ∴a=﹣1，b=2， ∴y=﹣x2+2x+2； （2）∵y=﹣x2+2x+2=﹣（x2﹣2x+1﹣1）+2=﹣（x﹣1）2+3， ∵a=﹣1， ∴抛物线开口向下， 对称轴是：x=1，顶点坐标为（1，3），二次函数的最大值为3． 13．已知二次函数的图象经过点（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5） （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）代入x=﹣2求出y值，将其与3比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 将（0，3）、（﹣3，0）、（2，﹣5）代入y=ax2+bx+c， ，解得：， ∴此二次函数的解析式是y=﹣x2﹣2x+3． （2）当x=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3， ∴点P（﹣2，3）在此二次函数的图象上 14．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）． （1）求点B的坐标； （2）如果抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围． 【分析】（1）把x=3代入y=x+1，即可得到结论； （2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），由于抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时得到不等式组①或②于是得到结论． 【解答】解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）； （2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3）， ∵y=ax2﹣4ax+4a﹣1=a（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）， ∵点A（0，1），点B（3，4）， ∵当抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时， ∴①或② 解①得≤a＜5，②无解， 综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键． 　 15．已知二次函数y=x2﹣4x+3． （1）作出函数的图象； （2）当1＜x＜5时，求y的取值范围． 【分析】（1）求出函数对称轴，函数与x轴的交点坐标，即可作出函数的图象； （2）对称轴是x=1，则当x=5时点的纵坐标，则y的取值范围即可确定． 【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则函数顶点坐标是（1，﹣1），函数的对称轴是x=2， 方程x2﹣4x+3=0的根是x1=1，x2=3．则函数与x轴的交点是（1，0）和（3，0）． 则抛物线y=x2﹣4x+3的图象如图所示： ； （2）y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则函数顶点坐标是（2，﹣1）， 当x=5是，y=25﹣20+3=8， 则当1＜x＜5时，y的范围是﹣1＜y＜8． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$