【第五章 一元一次方程 03讲 实际问题与一元一次方程】 暑假小升初衔接训练2025-2026学年七年级上册数学（人教版）

第五章 一元一次方程 03讲 实际问题与一元一次方程 知识清单 1、列方程解应用题解题步骤 1）审：读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量、未知量，寻找等量关系； 2）设：设未知数，一般求什么就设什么，但有时也要间接设未知数; 3）列：列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一； 4）解：解方程，求出未知数的值: 5）检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，舍去即可; 6）答：写出答案并作答，注意单位要写清楚。 直击考点 题型1：配套问题 例1．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 变式1．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配名工人生产镜架，用含的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可． 【详解】设分配名工人生产镜架，则有人生产镜片，根据题意列方程 ，得 ， 解得：， ， 答：分配名工人生产镜架，则有人生产镜片． 变式2．一套仪器由两个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据题意设应用钢材做A部件，可知用钢材做B部件，再根据一套仪器由A，B部件的个数相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据题意得，， 解得， ， 套． 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套． 题型2：工程问题 例1．黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 【分析】设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，根据甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，即可求解． 本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件 x 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件， 解得： 乙工程队每天铺设桥梁构件为： 答：设甲工程队每天铺设桥梁构件 38 件，则乙工程队每天铺设桥梁构件 42 件． 变式1．市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 变式2．近年来，网络消费成为消费市场的主力军，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农业增效、农民增收的新业态、新模式．某地培育出了适合网络销售的特色水果，为方便运输及减少运输途中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同．已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数比4箱多8个．甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子．甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装几箱果子？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键；根据甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子列方程求解即可． 【详解】解：设每箱可装个果子． 由题意，得：， 解得， 所以甲工人每小时可包装的果子数为（个）， 乙工人每小时可包装的果子数为（个）， 所以（箱）． 答：甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装18箱果子． 题型3：销售盈亏问题 例1．为迎接端午佳节，某超市销售两种端午礼盒，每盒A种端午礼盒比每盒B种端午礼盒的进价少50元，而它们销售后的利润相同，其中每盒A种端午礼盒的利润率为，每盒B种端午礼盒的利润率为，求两种端午礼盒的每盒进价． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每个种端午礼盒的进价为元，则每个种端午礼盒的进价为元，根据利润进价盈利率，再结合两种节能灯的售后利润额相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每个种端午礼盒的进价为元，则每个种端午礼盒的进价为元， 依题意得：， 解得：， 则． 答：每个种端午礼盒的进价为100元，每个种端午礼盒的进价为150元． 变式1．初一某班为举办“校园文化艺术节”，统一购买一批T恤衫．已知这款T恤衫在商店的标价是每件30元，商店的促销方式为：一次性消费500元及以下打九折，一次性消费超过500元打八折． (1)若该班一次性购买这款T恤衫共花费378元，则一次性购买T恤衫多少件？ (2)商店在每次交易中所得的营业额需要缴纳营业税，一次性所得的营业额在800元及以下的部分，按营业额的缴纳营业税，超过800元的部分按缴纳营业税，为了演出需要，该班决定第二次购进这款T恤衫，若商店在第二次交易中缴纳营业税52元，则该班第二次购进这款T恤衫多少件？ 【分析】本题主要考查了百分数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程并解答． （1）分两种情况：若一次性消费没有超过500元，若一次性消费超过500元，分别求解即可； （2）由题意可得商店在第二次交易中营业额超过800元，根据所缴纳营业税列方程求解即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： 若一次性消费没有超过500元，则（件）， 若一次性消费超过500元，则，不是整数，则此情况不存在； 答：学校一次性购买T恤衫件； （2）解：设该商店在第二次交易中营业额为x元，根据“一次性所得的营业额在800元及以下的部分，按营业额的缴纳营业税；超过800元的部分按缴纳营业税”， ∵， ∴商店在第二次交易中营业额超过元，即， ， 整理得：， 解得， ∴学校第二次购进这款T恤衫花费（元）， 学校第二次又购进这款T恤衫（件）， 答：学校第二次购进这款T恤衫50件． 变式2．“一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表： 文创产品 进价 售价 折扇 10 15 帆布袋 16 25 某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用， 设卖出帆布袋个，则卖出折扇个，根据两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，列方程求解即可． 【详解】解：设卖出帆布袋个，则卖出折扇个， 由题意得：， 解得：，则， 答：卖出帆布袋30个，卖出折扇63个． 题型4：比赛积分问题 例1．为落实国家“双减”政策，林芝市某中学举行知识竞赛，共出了25道题，评分标准如下：答对1题得4分；答错1题倒扣1分，拉姆答完了全部试题，共得70分，则她答对了多少道题？ 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是根据题意，正确列出一元一次方程．设她答对了道题，则答错了道题，根据得分70，列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错了道题，由题意可得： 解得 答：她答对了19道题． 变式1．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 变式2．如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用； （1）由队可以看出，负一场积1分，队负了8场得8分，胜了14场得分，因此计算即可； （2）如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分=胜场得分+负场得分即可； （3）根据“胜场总积分能等于负场总积分的倍”列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵队可以看出，负一场积分， ∴根据队得分可得胜一场积分； 故答案为：2； （2）解：如果一个队胜场，则负场，胜场积分为，负场积分为，总积分为； 故答案为：；；. （3）解：根据题意可得：， 解得：， 不是整数， 不能， 答：胜场总积分不能等于负场总积分的倍． 题型5：方案选择问题 例1．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 【分析】（1）设七年级（1）班有x 人，（2）班有y人，根据“七年级（1），（2）两个班共104人，且以班为单位分别购票一共应付1240元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）求出七年级（1）班购买51张及48张票所需费用，比较作差后，即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 【详解】（1）解：设七年级(1)班有x人，则(2)班有（104－x）人，根据题意， 列方程组： 13x+11（104－x）=1240 解得： x=48 ∴ (2)班有104－x=56 （人） 答：七年级(1)班有48 人，(2)班有56人． （2）能 若 （1）班先到达乐园，想要单独购票，我建议（1）班购买51张票，购票金额为（张）， ∵购买48张票，购票金额为（元），，（元）， ∴比较经济的方案是（1）班购买51张票，比购买48张票节省63元． 变式1．某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可． 【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售， 则可获利润元； 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：， 解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 变式2．根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数运算的实际应用： （1）设当工厂需要处理废水吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，只能利用（2）（3）两种方式，分别求出两种方式所需费用，进行比较即可； （3）根据（1）（2）的结果，进行讨论即可． 【详解】解：（1）当工厂需要处理废水吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等，由题意，得：， 解得：； 答：当工厂需要处理废水5000吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等； （2）∵只能利用（2）（3）方案进行处理； 当利用（2）方案处理时，（元）； 当利用（3）方案处理时：（元）； ∵， ∴按照方案（3）处理废水更省； （3）由（1）（2）可知： 当处理废水小于5000吨时，选择方案（2）更省钱； 当处理废水等于5000吨时，选择方案（1）和方案（2）所需费用一样； 当处理废水大于5000吨小于等于6000吨时，选择方案（1）更省钱， 当处理废水大于6000吨且小于10000吨时，选择方案（3）更省钱． 题型6：数字问题 例1．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是143，求原来的两位数． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，根据新的两位数与原来的两位数的和是143，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为； 答：原来的两位数为． 变式1．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位和十位上的两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，首先设个位数字为，则十位数字为，则原两位数可表示为，数字对调后所得两位数是，再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：，解方程得到个位数，进而可得十位数字． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：， 则， 答：原两位数是84． 变式2．一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． (1)已知是半和数，若，，求c的值； (2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式． （1）先根据定义得出，再将，代入求出的值； （2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立． 【详解】（1）解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴； （2）同意． 设是一个“半和数”，则． ∴． ∵，整数，∴为整数． ∴任意一个“半和数”都能被整除． 题型7：几何问题 例1．如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设原正方形纸片的边长为，根据第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，列出方程，解方程即可； （2）根据长方形的面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设原正方形纸片的边长为， 根据题意，得， 解得，， 答：原正方形纸片的边长为7cm； （2）解：， 答：正方形纸片剩余部分的面积为． 变式1．一家住房的地面结构如图所示，请根据图中的数据，解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比卫生间面积多．这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺地砖的平均费用为60元，铺地砖的总费用为多少元？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及整式加减的应用，根据数量关系列出代数式（或一元一次方程）是解题的关键． （1）根据地面总面积客厅面积厨房面积卧室面积卫生间面积，代入数据即可得出结论； （2）根据客厅面积比卫生间面积多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据铺地砖的总费用厨房与卫生间的面积和每地砖的平均费用，代入数据即可得出结论． 【详解】（1）解：由图可知：地面的总面积为： ， 答：该住房的地面总面积为； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴铺地砖的总费用为（元）． 答：铺地砖的总费用为960元． 变式2．如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道 和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设通道的宽为，由题意根据可列方程进行求解； （2）由（1）可得，然后得出通道和草坪面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设通道的宽为，由题意得： ， 解得：； 答：通道的宽是． （2）解：由（1）得：， ∴草坪的面积为，通道面积为， ∴（元）； 答：完成该项目需要20880元． 题型8：动点问题 例1．如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的知识，解题的关键根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式，根据题意，进行解答，即可． （1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即． 【详解】（1）解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动 ∴当时，表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为单位长度时，， ∴． （3）解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 当，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为． 变式1．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【分析】（1）求出，则； （2）先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案；根据题意可得方程，解方程求出t的值，然后再求出解得即可； （3）分两种情况：当点P在上运动时，当点P在上运动时，建立方程求解即可； （4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在上运动时，， ∴； （2）解：由题意得，当点P在上运动时， ； 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上运动时，则， 解得：； 当点P在上运动时，则， 解得； 综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或； （4）解：∵的面积是， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当的面积是时t的值为或2． 变式2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7； （2）解：①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：； ②当时，， ∴， 解得或6； （3）解：点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒，． 题型9：和差倍问题 例1．为助力乡村振兴，某村计划对村集体公顷土地的种植项目调整为种植油桃和香梨，且油桃的种植面积比香梨种植面积的倍少公顷，油桃和香梨的种植面积分别为多少公顷？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设香梨的种植面积为公顷，则油桃的种植面积为公顷． 根据题意，得． 解得． ； 答：油桃的种植面积为公顷，香梨的种植面积为公顷． 变式1．某工厂需要生产一批太空漫步器，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每名工人每天生产60个支架或100套脚踏板． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)1个支架搭配2套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找到等量关系、列出方程是解题的关键． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设人生产支架，则人生产脚踏板，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：，解得：， 女工：（人），经检验，符合题意． 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）解：设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得：，， 解得，（人），经检验，符合题意． 答：40人生产支架，48人生产脚踏板恰好配套． 变式2．国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个，根据“A款和B款冰箱贴总成本为1380元”列方程求解即可； （2）设B款冰箱贴按标价的m折出售，根据“共获利252元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个． 根据题意，得 解这个方程，得 ． 答：A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个． （2）解：设B款冰箱贴按标价的m折出售． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 答：B款冰箱贴按标价的七五折出售． 题型10：电费和水费问题 例1．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．已知月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过24吨 超过24吨 备注：月用水量另收取污水处理费0.5元/吨． 水费单价 4元/吨 不超过24吨的部分仍按4元/吨计费，超过部分按a元/吨计费 例如：一用户二月份用水量为12吨，则该月应缴水费为（元）． (1)若用户五月份用水量为20吨，则该用户该月应缴水费_____元； (2)若用户六月份用水量为40吨，缴水费212元，求a的值； (3)在（2）的条件下，若用户七月份共缴水费342元，求该用户该月用水量． 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解分段收费的计算方法，正确列式求解是关键． （1）根据用水量为20吨，运用第一段的收费方式计算即可； （2）用水量为40吨，按照第二段的收费方式列式求解； （3）共缴水费342元，先判定该用户用水量，再根据分段收费的方法计算即可． 【详解】（1）解：五月份用水量为20吨， ∴该用户该月应缴水费：（元）， 故答案为：； （2）解：六月份用水量为40吨， ∴缴费为：， 解得，； （3）解：∵342元212元， ∴该用户七月份用水量大于40吨， 设该用户该月用水量为吨，由题意可得，， 解得，， 答：该用户该月用水量为60吨． 变式1．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价； （2）设该户居民六月份的用电量为千瓦时，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 所以超出部分的电费单价是 (元千瓦时)； （2）解：因为， 所以该户居民六月份的用电量超过千瓦时； 设该户居民六月份的用电量为千瓦时， 根据题意，得， 解得， 故该户居民六月份的用电量为千瓦时． 变式2．根据《重庆市人民政府关于对居民生活用水实行阶梯价格制度的通知》，结合国家发改委《关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见》，重庆市自2024年起实施居民生活用水阶梯水价制度，具体规则如下： 阶梯划分 年用水量 水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 第一阶梯 不超过300吨 第二阶梯 超过300吨不超过420吨的部分 第三阶梯 超过420吨的部分 附加费用：每户需额外缴纳水资源费元/吨，用于支持节水工程． 特殊政策：家庭人口超过4人的，每增加1人，每阶段用水量基数每年分别增加35吨．例：小明家有5人，则年用水量基数第一阶梯调整为不超过335吨，第二阶梯调整为超过335吨不超过455吨的部分，第三阶梯调整为超过455吨的部分． 注：水费总额供水费污水处理费水资源费 (1)小华家2024年用水量为吨（其中），已知其家庭人口为3人，求全年水费总额；（用含的式子表示，并化简）． (2)小刚家2024年水费总额为867元，已知其家庭人口为6人，求小刚家实际用水量．（列一元一次方程解决实际问题） 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握等量关系． （1）根据表格中的信息用a表示出全年水费总额即可； （2）先求出小刚家用水量为第二阶梯，设小刚家实际用水量为x吨，根据小刚家2024年水费总额为867元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小华全年水费总额为： 元； （2）解：∵小刚家庭人口为6人， ∴年用水量基数第一阶梯调整为不超过吨，第二阶梯调整为超过吨不超过吨的部分，第三阶梯调整为超过吨的部分， ∵（元）， （元）， 又∵， ∴小刚家用水量为第二阶梯， 设小刚家实际用水量为x吨，根据题意得： ， 解得：， 答：小刚家实际用水量为吨． 题型11：行程问题 例1．随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解； （1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可； （2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可． 【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇． 由题意得，， 解得． 答：两人出发后12分钟相遇． （2）解：设两人在出发后分钟相遇． 当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度， 两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇． 由题意得，． 解得． 两人在出发后分钟相遇． 变式1．某数学小组经调查发现：走路快的人平均每步的步长与走路慢的人平均每步的步长相等，走路快的人走100步的时间里，走路慢的人只能走60步，现在走路慢的甲和走路快的乙准备在同一条步道的同一地点向同一方向行走，甲先出发，走了50步后，乙再出发去追他，追上后两人同时停止行走．求乙走多少步才能够追上甲． 【分析】本题考查了一元一次方程与行程问题，熟练掌握路程，时间，速度三者的关系是解题的关键．设乙走步才能够追上甲，那么可知设乙走步的时间等于甲走步的时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设乙走步才能够追上甲． 解得 答：乙走步才能够追上甲． 变式2．浐灞国家湿地公园自行车专用道充分满足西安市民通勤、运动与休闲的需求，周末，小辰、小程两人相约去浐灞国家湿地公园自行车道骑车，小辰从口进入自行车道，向口骑行，小辰出发后小程从口进入自行车道，向口方向骑行，已知口到口自行车道长，小辰的平均速度是，小程的平均速度是．设小辰骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，用含的代数式表示小辰骑行的路程为_____，小程骑行的路程为_____； (2)当小辰、小程两人相遇时，求的值； (3)两人相遇后，小辰继续以原速度向口骑行，小程休息后掉头按原速度返回口．在小程返回途中，当小辰、小程两人相距时，求的值． 【分析】本题考查的是列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是掌握速度、时间、距离三者的关系和依据题意正确列出方程． （1）由题意可知，小辰的平均速度是，小辰骑行的时间为小时，小程的平均速度为，小辰出发后小程才出发，根据关系式：路程速度时间，即可求出小辰、小程的骑行路程； （2），两地相距大约，当甲、乙两人相遇时，可列方程：，再求解即可； （3）先得到小辰、小程从相遇点出发骑行的路程，然后分成两种情况：当小程追上小辰前和当小程追上小辰后，列方程求出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小辰的平均速度是，小辰骑行的时间为小时， 小辰骑行的路程为千米， 小程的平均速度为，小辰出发后小程才出发， 小程骑行的路程为千米，即千米， 故答案为：；． （2）解：由题意可知，，两地相距大约， 当小辰、小程两人相遇时，可列方程：， 解得：， 答：当小辰、小程两人相遇时，的值为1． （3）解：根据题意，设两人的相遇点为， 则，． 从相遇点开始，小辰的骑行路程为． 小程休息，即小时，从相遇点开始， 小程的骑行路程为，即． 所以可分为以下两种情况： ①当小程追上小辰前，且小辰、小程两人相距时， ．解得． ②当小程追上小辰后，且小辰、小程两人相距时， ．解得． 答：当小辰、小程两人相距时，的值为或． 题型12：日历问题 例1．将连续的奇数1，3，5，7，9⋯排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1)57这个数是第________行第________个数 (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含，的代数式表示_____． 【分析】本题考查了数字类规律、一元一次方程的应用，找出数字变化的规律是解题的关键． （1）由数表可得，第5行的数从左到右分别为49，51，53，55，57，59，即可得出答案； （2）设四个数最大的数为，则另外三个数为，，，根据题意列出方程，解出的值即可得出答案； （3）根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数，再表示出第个奇数即可． 【详解】（1）解：由数表可得，第5行的数从左到右分别为49，51，53，55，57，59， 57这个数是第5行第5个数． 故答案为：5；5． （2）解：设四个数最大的数为，则另外三个数为，，， 由题意得，， 解得：， 答：四个数中的最大数为81． （3）解：根据题意可得表示第行第个数，即第个奇数， ． 故答案为：． 变式1．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含的代数式表示其他六个数． （1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、，相加即可得到答案； （2）由（1）可知，，解得，此时最大的数，而日历中没有，故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 【详解】（1）解：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、， 七个数的和是； （2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于，理由如下： 由（1）得，， 解得， 此时最大的数，而日历中没有， 故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 变式2．数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 【分析】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． （1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案； （2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案； （3）①设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案；②设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到，根据且n为偶数分析即可得到结论． 【详解】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为， 故答案为： （2）设最小的那个数是x， 则， 解得， 即最小的那个数是4， 故答案为：4 （3）①解：设最大的数是x，则 ， 解得， 即最大的数是， 故答案为： ②设这四个数中最小的数是n， 则， ∵且n为偶数， ∴一定是正整数， ∴是8的整数倍． 即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍． 题型13：古代问题 例1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设共有x人出行，根据车的辆数，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设共有x人出行，根据题意得： ， 解得：， 答：共有39人出行． 变式1．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设寺里有x个和尚，根据“每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗”，可列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设寺里有x个和尚， 根据题意得：，解得：． 答：寺里有624个和尚． 变式2．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设每天减少尺布，根据题意得出，解方程得出，进而根据题意根据列出算式进行计算即可求解． 【详解】解：设每天减少尺布， ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ∴，解得， ∴（尺）． 答：一共织了尺布． 题型14：其他问题 例1．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 例2．数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人，根据“高中总人数初中总人数”列出方程并解答． 【详解】解：设初中毕业班人数为人，则高中毕业班人数为人， 依题意，得． 解得． ∴． ∴（人． 答：高、初中毕业班学生一共有1500人． 变式1．某汽车品牌4s店2月售出了A型燃油车15辆和型新能源汽车22辆，其中A型燃油车的售价是型新能源汽车售价的，4s店2月的销售额为534万元． (1)求每辆A型燃油车和每辆型新能源汽车的售价分别为多少万元； (2)4s店3月向汽车厂商订购A型燃油车和型新能源汽车共40辆，已知A型燃油车的订单价为12万元，型新能源汽车的订购单价为10万元，4s店订购40辆汽车共花费432万元．若每辆A型燃油车的售价在2月基础上降价万元，每辆型新能源汽车的售价在2月基础上打95折，4s店售完这40辆汽车的利润率为．求的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每辆型新能源汽车的售价为万元，则每辆A型燃油车的售价为万元，根据“4s店2月的销售额为534万元”列方程求解即可得出答案； （2）设3月订购A型燃油车辆，则型新能源汽车为辆，根据总花费列方程求出A型燃油车辆，型新能源汽车辆，再根据利润列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每辆型新能源汽车的售价为万元，则每辆A型燃油车的售价为元， 根据题意，得， 解得：，则， 答：每辆A型燃油车的售价为万元，每辆型新能源汽车的售价为万元； （2）解：设3月订购A型燃油车辆，则型新能源汽车为辆， 根据总花费列方程，得， 解得：，则， 故A型燃油车辆，型新能源汽车辆， 根据利润率为得，， 解得：， 答：的值为． 变式2．赵老师在数学课上为展示数学的魅力，与同学们开展了数字游戏．游戏规则如下：同学们快速在本子上写出任意一个整数，把这个整数按照以下步骤进行操作： 同学们将结果告知赵老师后，赵老师能立刻说出学生所写的整数． (1)如果小明写的整数是，请你通过计算说明，他告诉赵老师的结果是多少； (2)小月写了一个整数，按照以上步骤计算后，告诉赵老师的结果为63，求小月写的那个数是多少； (3)同学们又进行了几次尝试，赵老师都能立刻说出他们写的整数．若设学生写的整数为，按照赵老师要求的运算过程列代数式后化简的结果为_______． 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，列代数式，正确理解程序框图的运算顺序是解题的关键． （1）根据程序框图按有理数四则混合运算法则计算即可； （2）设小月写的那个数是，根据程序框图列出方程求解，即可得到答案； （3）根据程序框图列出代数式化简即可． 【详解】（1）解：根据题意， 则他告诉赵老师的结果是． （2）解：设小月写的那个数是， 根据题意：， 解得， 则小月写的那个数是22． （3）解：根据题意， 故答案为：． 变式3．【综合与实践】圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量n（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 10.8 11.6 12.4 13.2 14 … 【数学思考】 （1）观察这些表格中数据的规律，用含n的代数式表示h． （2）当杯子的数量为15只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 【分析】本题考查数字类规律探究，列代数式，代数式求值．解题的关键是得到每增加一个杯子，高度增加． （1）根据表格可知：每增加一个杯子，高度增加，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式，求值即可； （3）令，求出的值即可． 【详解】解：（1）由表格可知：每增加一个杯子，高度增加， ∴； （2）当时，， ∴这摞杯子的总高度为； （3）当时，， ∴， ∴一摞最多能叠36个杯子，可以一次性放进柜子里． 课后作业 一、解答题 1．（24-25七年级上·北京房山·期末）圣莲山位于北京西南部，被称“京都第一奇山”．为领略集雄、险、奥、绝、秀于一体的自然风光，感受家乡风景，小良和几位朋友决定一起登山，根据前期调研，结合自身情况，他们总结出如下信息： ①下山时的平均速度比上山时的平均速度每小时快1千米； ②从入口到达山顶需要2小时； ③从山顶走近路到达出口，比上山时所走的路程少400米，需要1.2小时． 根据上面信息，请你求出小良他们上山和下山的平均速度分别是多少千米/时？ 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设小良他们上山的平均速度是x千米/时，则下山的平均速度是千米/时，根据“从山顶走近路到达出口，比上山时所走的路程少400米”列出方程，求解即可． 【详解】解：设小良他们上山的平均速度是x千米/时，则下山的平均速度是千米/时．根据题意，得 解得：， ∴， 答：小良他们上山的平均速度是2千米/时，则下山的平均速度是3千米/时． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征． (1)若设这5个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理； (2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由． 【分析】本题主要考查了整式的加减，培养学生观察归纳找出规律的能力，关键是通过观察找出各数间的关系． （1）由已知，通过观察得出：左右每个数比前面一个数都大1，上下每个数都比上面一个数都大7，因此设中间数为，则根据以上规律可写出其它5个数．然后求和． （2）由（1）求得的和的代数式，试求是整数则可能，否则不可能． 【详解】（1）解：由题意得，其他4个数从小到大依次为，，，， 所以这5个数的和为． 因为为整数，所以能被5整除，即被四边形圈起来的5个数的和是5的倍数． （2）解：不能． 理由：由（1）知，若中间的数为，则，所以， 所以下面那个数为37，不符合实际意义，故这5个数的和不能为150． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 【分析】本题考查了列一元一次方程解决实际问题有理数四则运算的实际应用，注意分类讨论思想的运用． （1）根据总价单价数量，再由分段计费的方式求出即可； （2）先判断3月份用水在哪个阶段，再根据总价单价数量，列出方程求解即可； （3）设月份水量为，则月份为，根据题意列方程求解即可，注意考虑的取值范围． 【详解】（1）解：， 2月份应交水费为：（元）． （2）解：（元），（元），， 该户居民3月份用水， ，整理得：， 解得：， 答：的值为； （3）解：设月份水量为，则月份为， 由题意， 当时， 则， 解得：（舍去）， 当， ， 解得：， 则， 答：月份用水，月份用水． 4．（23-24六年级下·全国·单元测试）小华的妈妈买了4袋橘子，每袋橘子都有10个，有3袋每个橘子都是50克，有1袋每个橘子都是40克，可是妈妈忘记了哪袋才是最轻的了，小华想了个办法，只称了一次就找出了最轻的那袋：将4袋橘子依次编号为1、2、3、4，分别从袋子中取出和编号一样数量的橘子（如：1号袋子中取出1只橘子），称出所取出的橘子重量是470克，请你求出最轻那袋橘子的编号． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设最轻那袋橘子的编号为，根据题意一共取出10个橘子，求出10个橘子都为50克时的总重量，再根据最轻的那袋中每个橘子比其他3袋中的每个橘子少10克建立方程求解即可． 【详解】解：设最轻那袋橘子的编号为． 根据题意，得， 解得， 答：最轻那袋橘子的编号为3． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张长为30cm宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来黏合部分宽为3cm． (1)根据上图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条长度 30 84 111 …    　 … (2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？ (3)按照上述黏合方式，你认为至少需要多少张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过2024cm？ 【分析】本题主要考查了代数式的知识，解答本题的关键在于熟读题意并列出正确的代数式． （1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，然后求解填空即可； （2）x张白纸黏合，需黏合次，重叠，所以总长可以表示出来； （3）解当时得到的方程，根据x为整数即可求解． 【详解】（1）当时，纸条长度为； 当时，纸条长度为； 故答案为：，； （2）； （3）当时， 解得： ∵x是整数 ∴至少需要75张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过． 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为．例如，当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)计算： ； (2)若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求y． 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、新定义问题的求解等知识与方法，正确地理解定义并且用代数式表示出原数和新数是解题的关键． （1）将92对调个位数字与十位数字得到的新两位数是29，根据定义，，则； （2）“标准数”的十位数字是，个位数字是，则原两位数是，新两位数是，根据原两位数与新两位数的和一定是11的倍数列方程求出的值，再求出的值，即可求出“标准数”． 【详解】（1）解：当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数29， ， ， ， 故答案为：11； （2）解：根据题意得， 解得， ， 标准数为68． 7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数是 ； (2)点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； (3)若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 ； (4)若，则t的值为 ； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，数轴动点问题，绝对值的意义，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）由的长结合点A所在的位置可得出点B表示的数； （2）由点P，Q的出发点、速度及运动时间，可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数； （3）由点与点相距6个单位长度，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由点，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：，且点在点的右边， 点B表示的数为； （2）解：动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 表示的数为，点表示的数为； （3）解：依题意，得：， 即或， 解得：或， 答：若点与点相距6个单位长度，则的值为或； （4）解：根据题意得，， ∵ ∴ 解得或． 答：若，则的值为6或． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设商品的原价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）设商品的原价是x元， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：商品的原价是940元； （2）设第二天张明购买商品的原价是y元， ∵（元），（元），， ∴． 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算； 当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元）， ∵（元），， ∴将这两个商品合为一起付款更划算． 答：将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元． 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 【分析】设这个工厂原有男工x人，列出方程解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设这个工厂原有男工x人， 根据题意得：， 解得， 答：这个工厂原有男工656人． 10．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）猪八戒是中国古典小说《西游记》当中唐僧的三个徒弟之一，排行第二，法号“悟能”．八戒性格温和，憨厚单纯，力气大，嘴巴甜． 下面是一首短诗写八戒吃仙果，聪明的你一定能算出八戒吃了的仙果数！ 三种仙果红紫白，八戒共吃十一对； 白果占紫三分之一，紫果正是红二倍； 三种仙果各多少？看谁算得快又对！ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设紫果有个，则红果有个，白果有个，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设紫果有个，则红果有个，白果有个， 根据题意，可得， 解得（个）， ∴（个），（个）． 答：红果有6个，紫果有12个，白果有4个． 11．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）【比的应用】学校某次入学考试，参加的男生人数与女生人数之比是，结果录取人，其中，男生与女生人数之比是．在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为，那么报考的共有多少人？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先求出录取的男、女生人数，然后设参加的男生为人，女生为人，用男、女生总人数减去录取人数求出未录取人数，再根据未录取人数比为列出方程，解方程求出x，最后求出报考总人数即可，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：男生录取人数为人，女生录取人数为人， 设参加的男生为人，女生为人， 由题意得，， ∴，   解得， ∴报考总人数为人， 答：报考的共有人． 12．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； （2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，假设这个工程的总量为“1”．甲队单独做，需要20天，则甲队的工作效率为．乙队单独做，需要25天，则乙队的工作效率为．根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了天，甲队工作的天数×工作效率＋乙队工作的天数×工作效率＝工作总量，据此列方程，并解答即可． 【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了天，则 ； 则乙队：（天） 答：甲、乙两队分别做了12天和10天． 14．（23-24七年级上·浙江金华·期末）七（）班和七（）班在晨光文具店为班级的每个同学购买同一款礼品盲盒作为参加研学活动的纪念品．已知两个班级的学生共人，其中七（）班的学生数超过七（）班的学生数，两个班的学生数都不少于人，且不多于人文具店给出该礼品盲盒的价格表如下： 购买礼品盲盒的数量 1~44个 45~86个 87个及以上 每个礼品盲盒的价格 6元 5元 4元 如果两个班级单独购买礼品官盒，购买的数量与学生数相同，那么一共应付元． (1)若两个班联合购买礼品盲盒，则比各自购买礼品盲盒共可节省多少元？ (2)七（）班和七（）班各有多少名学生？（列方程求解） (3)如果七（1）班有名学生因故不能参加研学活动，七（）班全体同学参加，请你为这两个班级设计一种最省钱的购买礼品盲盒方案，并计算两个班级购买礼品盲盒的总费用． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）一共应付的钱减去整体购买的钱即可得解； （2）设七（）班有学生人，则七（）班有学生人，由题意得，，则有，然后求解即可； （3）七年级有共人需购买盲盒，则由题意可分①若两个班联合购买盲盒，②若两个班各自购买盲盒，③若两个班联合购买套盲盒，然后分别求解比较即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：共可以节省元； （2）解：设七（）班有学生人，则七（）班有学生人， 则，，，根据题意，得： ， 解得， ， 答：七（）班有学生人，则七（）班有学生人； （3）解：七（）班需购买礼品盲盒个，七（）班需购买礼品盲盒个， ∴七年级有学生（人）， 购买方案：若两个班级联合购买盲盒，则需要（元） 购买方案：若两个年级各自购买服装，则需要（元） 购买方案：若两个年级联合购买套服装，则需要（元） ∴最省钱的购买方案为：两个班级一共购买个，费用为元． 15．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可． 【详解】解：设天头长为， 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， 边的宽为， 装裱后的长为， 装裱后的宽为， 由题意可得： 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 16．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）大冶市某猕猴桃基地的猕猴桃除了批发销售外，还可以让市民亲自去猕猴桃基地采摘购买．已知2022年8月该基地猕猴桃的批发价格为8元/千克，在基地采摘购买的价格为10元/千克，该基地2022年8月份一共销售了5000千克猕猴桃，总销售额为48000元． (1)问2022年8月份该基地批发销售和采摘购买各销售了多少千克的猕猴桃？ (2)9月份是猕猴桃产出旺季．为了促销，该基地决定2022年9月份将猕猴桃批发销售价格和采摘购买价格均在8月份的基础上降低a%，因此批发销售量和采摘销售量分别增长30%、20%，这样2022年9月份该基地猕猴桃的总销售额为52560元，求a的值？ 【分析】（1）设今年8月份该葡萄园批发销售了x千克猕猴桃，则采摘购买销售了千克，根据等量关系：总销售额为48000元列出方程求解即可； （2）题目中的等量关系是：9月份该猕猴桃的总销售额为52560元列出方程求解即可． 【详解】（1）设今年8月份猕猴桃批发销售了x千克，则采摘购买销售了千克， 依题意得：， 解得，． 故今年8月份猕猴桃批发销售了1000千克，采摘购买销售了4000千克； （2）由题意得：， ， ， ， 解得． 故a的值是10． 17．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 18．（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该班女生的人数为，则男生的人数为人，根据题意列方程即可求解； （2）设有名男生去支援女生，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设该班女生的人数为，则男生的人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：该班女生的人数为； （2）设有名男生去支援女生， 由（1）可知，男生人数为（人）， 由题意得：， 解得：， 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 19．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）列方程解决以下问题： (1)七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制作盒底， 才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． (2)甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、 乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【分析】（1）设应有x人制作盒身，则有人制作盒底，根据题意，得，解方程即可． （2）共同合作5天后，设甲单独完成剩下工程需要x天，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，工程问题，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设应有x人制作盒身，则有人制作盒底， 根据题意，得， 解得； 故， 答：应有26人制作盒身，则有22人制作盒底． （2）解：设甲单独完成剩下工程需要x天， 根据题意，得， 解得， 完成工程一共用（天）， 比甲公司单独完成提前了天． 答：比甲公司单独完成提前了10天． 20．（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出结果即可； （2）根据点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为，求出点C表示的数即可； （3）分两种情况，当点向右运动时，当点向左运动时，分别列出方程，解方程即可； （4）根据绝对值的几何意义，即可求解．． 【详解】（1）解：由题意可得， A，两点之间的距离为：； 故答案为：． （2）解：∵点为数轴上一点，在点A的左侧，且，点A表示的数为， ∴点表示的数为：； 故答案为：． （3）解：当点向右运动时， 根据题意，得：， 解得； 当点向左运动时， 根据题意，得：， 解得， 故当或时，，两点之间的距离为12个单位长度； （4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 表示数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∴当时，， ∴当满足时，代数式有最小值为7． 21．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 【分析】考查一元一次方程的应用及方案选择问题，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出乙校参加演出的人数即可求解； （2）甲校的人数多于乙校的人数，可得甲校服装的单价为50，乙校服装的单价为60元，等量关系为：甲校服装的总价乙校服装的总价，把相关数值代入求解即可； （3）比较校合买服装的总价钱以及按照单价元买时的总价钱即可得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：甲校有50人参加演出，则乙校参加演出的人数为：（人）， ∴乙校单独购买服装应付：（元） 答：乙校单独购买服装应付元； （2）解：设甲校人，则乙校人， 依题意得，甲校的人数多于乙校的人数，则, ∴， 解得：， ∴（人）， 答：甲、乙两所学校准备参加演出的人数分别为人和人； （3）解：甲校有人参加演出，乙校有人参加演出， 两校联合：元， 而此时比各自购买节约了：元， 若两校联合购买了套只需：元， 此时又比联合购买每套节约：元， 因此，最省钱的购买方案是两校联合购买套服装， 即比实际人数多买套， 答：最省钱的购买方案是两校联合购买套服装． 22．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）为了适合不同人群的口味，莱芜信誉楼超市购进了巧克力草莓和奶油草莓进行销售．已知2箱巧克力草莓的进价与3箱奶油草莓的进价的和为357元，且每箱巧克力草莓的进价比每箱奶油草莓的进价贵16元． (1)求每箱巧克力草莓与每箱奶油草莓的进价分别是多少元； (2)若某天该超市购进了巧克力草莓20箱，且每箱价格提高出售，购进了奶油草莓箱，且每箱价格提高出售，这天该超市全部卖完获得的利润为元，求购进了奶油草莓多少箱． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键， （1）设每箱巧克力草莓的进价为元，根据2箱巧克力草莓的进价与3箱奶油草莓的进价的和为357元，且每箱巧克力草莓的进价比每箱奶油草莓的进价贵16元，列出方程进行求解即可； （2）根据超市全部卖完获得的利润为元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱巧克力草莓的进价为元，由题意，得： ， 解得：， （元）； 答：每箱巧克力草莓的进价为元，每箱奶油草莓的进价为元； （2）由题意，得：， 解得：； 答：购进了奶油草莓35箱． 23．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式表示出点，表示的数； （2）根据，两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为，结合“点为的中点，点为的中点”，可得出点表示的数为，点表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 线段的中点表示的数为． 故答案为：，： ②秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴． 故当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． 24．（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元，列出方程进行求解即可； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的，根据乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再根据甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，列出算式，求出甲种糖果的标价即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：甲种糖果每千克的进价为40元，乙种糖果每千克的进价为48元； （2）设B商场中乙种糖果是打y折售卖的， 根据题意得：， 解得：， ∴（元/千克）． 答：B商场中乙种糖果是打八折售卖的，甲种糖果的标价为60元/千克． 25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握每种口罩的总价和单价与数量的关系列代数 式，三种口罩的总价元列方程，是解答本题的关键． 根据m包A种口罩，B，C两种口罩各包，总价列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同． 得， 解得， 答：m的值为300． 26．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天，根据甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可求出乙公司单独完成此工程所需时间，再利用甲，乙公司同时获批合作完成所需时间甲，乙两公司的工作效率之和，即可求出结论； （2）乙公司还需要天可以完成此工程，利用甲公司完成的工程量+乙公司完成的工程量＝工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由甲，乙两家公司每天的雇佣费用间的关系，可求出甲，乙两家公司每天的雇佣费用，再利用完成此工程的总费用=甲公司每天的雇佣费用乙公司每天的雇佣费用，即可求出结论． 【详解】（1）设甲公司单独完成此工程需要天，则乙公司单独完成此工程需要天， 根据题意得：， 解得：， （天）， （天）， 答：如果甲，乙公司同时获批合作完成，需要12天完成； （2）乙公司还需要天可以完成此工程， 根据题意得：， 解得：， 答：乙公司还需要5天可以完成此工程； （3）乙公司每天的雇佣费用为（元）， 甲公司每天的雇佣费用为（元） （元） 答：完成此工程的总费用为31500元． 27．（24-25七年级上·江西宜春·期末）周末，小月和爸爸在的环形跑道上骑车锻炼，她们在同一地点沿着同一方向同时出发，爸爸第一次追上小月后，小月说：“爸爸，您要两分钟才能第一次追上我哦”，爸爸回答道：“我骑完一圈的时候你才骑半圈，以后要多跟爸爸一起锻炼身体哦．” (1)请根据她们的对话内容，求小月和爸爸的骑行速度． (2)爸爸第一次追上小月后，小月立刻掉头沿原路骑行，再经过多少分钟后，小月和爸爸在相遇前相距米？ 【分析】本题考查一元一次方程的应用： （1）设小月的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为米/分钟，根据追及路程差是一圈列方程求解即可得到答案； （2）设再经过y分钟，小月和爸爸在相遇前相距米，分拉开米或拉开米两类列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设小月的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为米/分钟， 根据题意得：，解得：， ∴， 答：小月骑行速度为米/分钟，爸爸骑行速度为米/分钟． （2）解：设再经过y分钟，小月和爸爸在相遇前相距米， 当时， 解得 当时， 解得， 答：再经过或分钟，小月和爸爸在相遇前相距． 28．（24-25七年级上·山东济南·期末）用一元一次方程解决下列问题： 如图，在同一水平桌面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．已知容器甲中盛满了水，而容器乙中目前的水位高度为．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．从容器甲开始向容器乙注水起，经过多长时间， (1)甲、乙两个容器中水位的高度相等？ (2)甲、乙两个容器中水位的高度相差？ 【分析】本题考查了容积计算，一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． （1）先求两容器开始时的水量：甲容器底面积，高，盛满水时水量为；乙容器底面积，水深，水量为，设开始注水后分钟时，甲、乙两容器的水深相等，根据题意列出方程即可； （2）设开始注水后分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差，分类讨论，根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设开始注水后分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相等， 由题意可得， 解得， 答：经过分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相等； （2）解：设开始注水后分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差， 当甲水位比乙水位高时，由题意可得， ， 解得， 当乙水位比甲水位高时，由题意可得， ， 解得， 答：经过分钟或分钟时，甲、乙两个容器中水位的高度相差． 29．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区装备制造有限公司专门负责生产重型载货汽车的零部件．该公司现有工人120人专门负责生产M型号和L型号的零部件，每人每天可生产M型号零件30个或L型号零件40个（每人每天只能生产一种零件），一个M型号零件配两个L型号零件，且每天生产的M型号零件和L型号零件恰好配套．求该公司有多少工人生产M型号零件，有多少工人生产L型号零件？ 【分析】此题考查一元一次方程的实际应用，根据配套问题列方程解答即可，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设该公司有x工人生产M型号零件，有工人生产L型号零件，则 解得， ∴， 答：该公司有48工人生产M型号零件，有72工人生产L型号零件． 30．（24-25七年级上·广东深圳·期末） 新能源汽车充电花费问题 素材一 坪坪汽车充电站充电实行高峰时段、平时时段以及低谷时段三阶电价，已知为低谷时段，低谷时段电价为元/度，充电站一天电价变化（与上一时段相比）如下表所示： 时段 低谷时段 平时时段 高峰时段 平时时段 电价变化 （元度） (起始电价) 坪坪汽车充电站为吸引更多顾客充电，推行如下优惠政策： 素材二 年累计充电量 优惠方案 度及以下 不优惠 超过度但不超过度 打九五折 超过度 打九折                 　　　　问题解决 任务一 坪坪汽车充电站高峰时段充电电价为_____元度． 任务二 已知小马月之前未在坪坪充电站充过电，月总共在坪坪充电站充电花费元，其中平时时股充电电量占月总充电量的，低谷时段充电电量占月总充电量的，请问小马月总共充了多少度电? 任务三 下午时，小坪和小山同时在坪坪汽车充电站充电，且都在晚上时前完成充电，小坪充了度电，小山充了度电，小坪的充电花费却超过了小山，请通过计算分析造成这种情况的原因． 【分析】[任务一]：根据题意列出算式即可求解； [任务二]：设小马月总共充了度电，根据题意得，然后解方程即可； [任务三]：分别求出小坪和小山年累计充电量充电花费，然后比较即可求解； 本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：[任务一]：低谷时段电价为元/度， ∴坪坪汽车充电站高峰时段充电电价为（元/度）， 故答案为：； [任务二] ：设小马月总共充了度电， 根据题意得：， 解得：， 答：小马月总共充了度电； [任务三]根据素材二：小坪若是年累计充电量度及以下用户：充电花费（元）； 若是超过度但不超过度用户：充电花费（元）； 若是超过度用户：充电花费（元）； 小山若是年累计充电量度及以下用户：充电花费（元）； 若是超过度但不超过度用户：充电花费（元）； 若是超过度用户：充电花费（元）； ∵， ∴小坪是年累计充电量度及以下用户，小山是超过度用户， 从而小坪的充电花费会超过小山． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 03讲 实际问题与一元一次方程 目录 【知识点1. 列方程解应用题解题步骤】………………………………………… 1 【题型1. 配套问题】……………………………………………………………… 2 【题型2. 工程问题】……………………………………………………………… 3 【题型3. 销售盈亏问题】………………………………………………………… 4 【题型4. 比赛积分问题】………………………………………………………… 6 【题型5. 方案选择问题】………………………………………………………… 7 【题型6. 数字问题】……………………………………………………………… 9 【题型7. 几何问题】……………………………………………………………… 10 【题型8. 动点问题】……………………………………………………………… 11 【题型9. 和差倍问题】…………………………………………………………… 14 【题型10. 电费和水费问题】……………………………………………………… 15 【题型11. 行程问题】……………………………………………………………… 17 【题型12. 日历问题】……………………………………………………………… 18 【题型13. 古代问题】……………………………………………………………… 20 【题型14. 其他问题】……………………………………………………………… 21 【题型15. 课后作业】……………………………………………………………… 24 知识清单 1、列方程解应用题解题步骤 1）审：读懂题目,弄清题意，明确哪些是已知量、未知量，寻找等量关系； 2）设：设未知数，一般求什么就设什么，但有时也要间接设未知数; 3）列：列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，单位要统一； 4）解：解方程，求出未知数的值: 5）检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，舍去即可; 6）答：写出答案并作答，注意单位要写清楚。 直击考点 题型1：配套问题 例1．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 变式1．太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 变式2．一套仪器由两个A部件和三个B部件构成，用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 题型2：工程问题 例1．黄茅海跨海通道连接珠海市和江门市，是港珠澳大桥西延的关键通道，黄茅海大桥建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，问甲、乙工程队每天各铺设桥梁构件多少件？ 变式1．市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 变式2．近年来，网络消费成为消费市场的主力军，直播带货成为网络销售的主要渠道，是助力农业增效、农民增收的新业态、新模式．某地培育出了适合网络销售的特色水果，为方便运输及减少运输途中的损耗，需要工人对农产品进行单独包装并装箱，且每箱包装的果子数都相同．已知甲工人用时3小时包装的果子数比4箱少16个；乙工人用时4小时包装的果子数比4箱多8个．甲工人每小时比乙工人每小时多包装6个果子．甲、乙两工人共同包装一天（8小时）可包装几箱果子？ 题型3：销售盈亏问题 例1．为迎接端午佳节，某超市销售两种端午礼盒，每盒A种端午礼盒比每盒B种端午礼盒的进价少50元，而它们销售后的利润相同，其中每盒A种端午礼盒的利润率为，每盒B种端午礼盒的利润率为，求两种端午礼盒的每盒进价． 变式1．初一某班为举办“校园文化艺术节”，统一购买一批T恤衫．已知这款T恤衫在商店的标价是每件30元，商店的促销方式为：一次性消费500元及以下打九折，一次性消费超过500元打八折． (1)若该班一次性购买这款T恤衫共花费378元，则一次性购买T恤衫多少件？ (2)商店在每次交易中所得的营业额需要缴纳营业税，一次性所得的营业额在800元及以下的部分，按营业额的缴纳营业税，超过800元的部分按缴纳营业税，为了演出需要，该班决定第二次购进这款T恤衫，若商店在第二次交易中缴纳营业税52元，则该班第二次购进这款T恤衫多少件？ 变式2．“一纸书来只为墙，让他三尺又何妨．”闻名遐迩的桐城六尺巷承载着谦逊礼让的深厚文化内涵．吸引着八方游客纷至沓来．六尺巷景区有一家文创小店，小店购进了两种爆款文创产品．一种是带有六尺巷精美壁画图案的折扇，另一种是印着“六尺巷”故事简介与经典诗句的帆布袋，进价与售价如下表： 文创产品 进价 售价 折扇 10 15 帆布袋 16 25 某天，小店卖出的折扇数量比帆布袋数量的2倍还多3个．经计算这两种文创产品销售的总利润刚好达到了585元，请问这天卖出帆布袋和折扇各多少个？ 题型4：比赛积分问题 例1．为落实国家“双减”政策，林芝市某中学举行知识竞赛，共出了25道题，评分标准如下：答对1题得4分；答错1题倒扣1分，拉姆答完了全部试题，共得70分，则她答对了多少道题？ 变式1．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 变式2．如表是某次篮球联赛积分榜． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 (1)由队可以看出，负一场积分，由此可以计算，胜一场积 分； (2)如果一个队胜场，则负 场，胜场积分为 ，负场积分为 ，总积分为 ． (3)某队的胜场总积分能等于负场总积分的倍吗？ 题型5：方案选择问题 例1．问题情景：五缘湾水上乐园门票价格如下表所示： 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 某校七年级（1），（2）两个班共104人去五缘湾水上乐园春游，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，超过50人．经估算如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元． 问题： (1)请算出两个班各有多少名学生? (2)若（1）班先到达乐园，想要单独购票，你能帮他们想出一个比较经济的购票方案吗? 变式1．某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 变式2．根据以下素材，探索完成任务． 【驱动问题】如何安排废水处理方案费用最省？ 【问题情境】为了响应国家环保政策，某工厂需要对废水进行处理．现有三种方式：（1）自己建造废水处理车间处理；（2）交给第三方处理；（3）一部分自己建造废水处理车间处理，剩余部分交给第三方处理． 素材1：建造一个废水处理车间需要费用5万元，可以处理废水6000吨，并且每处理一吨废水还需费用5元． 素材2：第三方处理废水费用15元/吨． 素材3：工厂生产产生的废水量少于10000吨． 【问题解决】任务1：当工厂需要处理废水多少吨时，方式（1）和（2）两种处理方式的费用相等． 任务2：若工厂需处理废水8000吨，如何安排废水处理方案，废水处理费用最省． 任务3：直接写出工厂生产产生不同废水量的处理方案，使废水处理费用最省． 题型6：数字问题 例1．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是143，求原来的两位数． 变式1．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位和十位上的两个数字对调后得到的两位数比原来的两位数小36，求原来的两位数． 变式2．一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． (1)已知是半和数，若，，求c的值； (2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 题型7：几何问题 例1．如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 变式1．一家住房的地面结构如图所示，请根据图中的数据，解答下列问题： (1)用含的代数式表示地面总面积； (2)已知客厅面积比卫生间面积多．这家房子的主人打算把厨房和卫生间都铺上地砖，已知铺地砖的平均费用为60元，铺地砖的总费用为多少元？ 变式2．如图，某小区进行项目改造：在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边； (1)求通道的宽是多少m? (2)如果通道造价为40元/，草坪造价为100元/，只考虑通道 和草坪的造价，不考虑人工等其他费用的前提下，完成该项目需要多少钱? 题型8：动点问题 例1．如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． (1)如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； (3)如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 变式1．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 变式2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，，，满足，且为的倒数． (1)______，______，______； (2)若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为______； ②当时，求的值． (3)在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 题型9：和差倍问题 例1．为助力乡村振兴，某村计划对村集体公顷土地的种植项目调整为种植油桃和香梨，且油桃的种植面积比香梨种植面积的倍少公顷，油桃和香梨的种植面积分别为多少公顷？ 变式1．某工厂需要生产一批太空漫步器，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每名工人每天生产60个支架或100套脚踏板． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)1个支架搭配2套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 变式2．国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 题型10：电费和水费问题 例1．某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费．已知月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过24吨 超过24吨 备注：月用水量另收取污水处理费0.5元/吨． 水费单价 4元/吨 不超过24吨的部分仍按4元/吨计费，超过部分按a元/吨计费 例如：一用户二月份用水量为12吨，则该月应缴水费为（元）． (1)若用户五月份用水量为20吨，则该用户该月应缴水费_____元； (2)若用户六月份用水量为40吨，缴水费212元，求a的值； (3)在（2）的条件下，若用户七月份共缴水费342元，求该用户该月用水量． 变式1．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示： 一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时） 不超过千瓦时的部分 超过千瓦时的部分 某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元． (1)求x和超出部分的电费单价． (2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量． 变式2．根据《重庆市人民政府关于对居民生活用水实行阶梯价格制度的通知》，结合国家发改委《关于加快建立完善城镇居民用水阶梯价格制度的指导意见》，重庆市自2024年起实施居民生活用水阶梯水价制度，具体规则如下： 阶梯划分 年用水量 水价（元/吨） 污水处理费（元/吨） 第一阶梯 不超过300吨 第二阶梯 超过300吨不超过420吨的部分 第三阶梯 超过420吨的部分 附加费用：每户需额外缴纳水资源费元/吨，用于支持节水工程． 特殊政策：家庭人口超过4人的，每增加1人，每阶段用水量基数每年分别增加35吨．例：小明家有5人，则年用水量基数第一阶梯调整为不超过335吨，第二阶梯调整为超过335吨不超过455吨的部分，第三阶梯调整为超过455吨的部分． 注：水费总额供水费污水处理费水资源费 (1)小华家2024年用水量为吨（其中），已知其家庭人口为3人，求全年水费总额；（用含的式子表示，并化简）． (2)小刚家2024年水费总额为867元，已知其家庭人口为6人，求小刚家实际用水量．（列一元一次方程解决实际问题） 题型11：行程问题 例1．随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行． (1)两人出发后多长时间相遇？ (2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？ 变式1．某数学小组经调查发现：走路快的人平均每步的步长与走路慢的人平均每步的步长相等，走路快的人走100步的时间里，走路慢的人只能走60步，现在走路慢的甲和走路快的乙准备在同一条步道的同一地点向同一方向行走，甲先出发，走了50步后，乙再出发去追他，追上后两人同时停止行走．求乙走多少步才能够追上甲． 变式2．浐灞国家湿地公园自行车专用道充分满足西安市民通勤、运动与休闲的需求，周末，小辰、小程两人相约去浐灞国家湿地公园自行车道骑车，小辰从口进入自行车道，向口骑行，小辰出发后小程从口进入自行车道，向口方向骑行，已知口到口自行车道长，小辰的平均速度是，小程的平均速度是．设小辰骑行的时间为． (1)在两人骑行的过程中，用含的代数式表示小辰骑行的路程为_____，小程骑行的路程为_____； (2)当小辰、小程两人相遇时，求的值； (3)两人相遇后，小辰继续以原速度向口骑行，小程休息后掉头按原速度返回口．在小程返回途中，当小辰、小程两人相距时，求的值． 题型12：日历问题 例1．将连续的奇数1，3，5，7，9⋯排成如图所示的数表，记表示第行第个数，如，表示第3行第2个数是27． (1)57这个数是第________行第________个数 (2)若将数表中的字形框上下左右移动，当字形框中的四个数之和等于288时，求出四个数中的最大数． (3)用含，的代数式表示_____． 变式1．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 变式2．数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数， (1)用图1方框圈2个数，？位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）． (2)用图2方框圈出的四个数的和是32，求这四个数中最小的那个数． (3)①用图3斜框圈出的四个数的和是42，求这四个数中最大的那个数． ②若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍．（提示：设第一个偶数为2n） 题型13：古代问题 例1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？ 变式1．课本第三章《一元一次方程》的章首语里摘引了明代数学著作《算法统宗》中记录着的一个问题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为：山上有一座古寺，在这座古寺里，每3个和尚合吃一碗饭，每4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗，问：寺里有多少个和尚？ 请解答这个中国古代数学问题． 变式2．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？” 译文：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？请解答上述问题． 题型14：其他问题 例1．曙光学校高中学生总人数是初中学生总人数的，高中毕业班人数是初中毕业班人数的．高、初中毕业班学生毕业后，高、初中留下的人数都是1800人．高、初中毕业班学生一共有多少人？ 例2．数学应用：小光骑着某款变速自行车先沿平路，再沿斜坡向上骑行． 素材一：如图，该款自行车前链轮齿数为40齿，后链轮齿数可设定在齿之间（包含边界值），齿轮比． 素材二：记车速为（米/秒）、踩踏转速为（转/分钟）、齿轮比为，已知满足． 素材三：小光平路骑行时后链轮齿数为24齿，车速为6米/秒． (1)求小光平路骑行时的踩踏转速． (2)小光在上坡的骑行车速与在平路一样，上坡的踩踏转速比平路减少了15~30转/分钟（包含边界值）求上坡的后链轮齿数的设定范围． 变式1．某汽车品牌4s店2月售出了A型燃油车15辆和型新能源汽车22辆，其中A型燃油车的售价是型新能源汽车售价的，4s店2月的销售额为534万元． (1)求每辆A型燃油车和每辆型新能源汽车的售价分别为多少万元； (2)4s店3月向汽车厂商订购A型燃油车和型新能源汽车共40辆，已知A型燃油车的订单价为12万元，型新能源汽车的订购单价为10万元，4s店订购40辆汽车共花费432万元．若每辆A型燃油车的售价在2月基础上降价万元，每辆型新能源汽车的售价在2月基础上打95折，4s店售完这40辆汽车的利润率为．求的值． 变式2．赵老师在数学课上为展示数学的魅力，与同学们开展了数字游戏．游戏规则如下：同学们快速在本子上写出任意一个整数，把这个整数按照以下步骤进行操作： 同学们将结果告知赵老师后，赵老师能立刻说出学生所写的整数． (1)如果小明写的整数是，请你通过计算说明，他告诉赵老师的结果是多少； (2)小月写了一个整数，按照以上步骤计算后，告诉赵老师的结果为63，求小月写的那个数是多少； (3)同学们又进行了几次尝试，赵老师都能立刻说出他们写的整数．若设学生写的整数为，按照赵老师要求的运算过程列代数式后化简的结果为_______． 变式3．【综合与实践】圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图1）．她把杯子如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里． 【观察发现】 圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量n（只） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（cm） 10 10.8 11.6 12.4 13.2 14 … 【数学思考】 （1）观察这些表格中数据的规律，用含n的代数式表示h． （2）当杯子的数量为15只时，求这摞杯子的总高度． 【解决问题】 （3）请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？ 课后作业 一、解答题 1．（24-25七年级上·北京房山·期末）圣莲山位于北京西南部，被称“京都第一奇山”．为领略集雄、险、奥、绝、秀于一体的自然风光，感受家乡风景，小良和几位朋友决定一起登山，根据前期调研，结合自身情况，他们总结出如下信息： ①下山时的平均速度比上山时的平均速度每小时快1千米； ②从入口到达山顶需要2小时； ③从山顶走近路到达出口，比上山时所走的路程少400米，需要1.2小时． 根据上面信息，请你求出小良他们上山和下山的平均速度分别是多少千米/时？ 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了迎接期中考试，小强对考试前剩余时间做了一个安排，他把计划复习重要内容的时间用一个四边形圈起来，如图．他发现，用这样的四边形圈起来的5个数的和恰好是5的倍数，他又试了几个位置，都符合这样的特征． (1)若设这5个数中间的数为，请你用整式的加减说明其中的道理； (2)这5个数的和能为150吗？若能，请写出中间的数；若不能，请说明理由． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表： 价目表（注：水费按月结算） 每月用水量 单价 不超出的部分 2元 超出但不超出的部分 4元 超出的部分 8元 若某户居民1月份用水，则应收水费：（元）． (1)已知该户居民2月份用水，则应交水费________元； (2)已知该户居民3月份交水费48元，若设该户居民3月份用水，求的值； (3)若该户居民4，5月份共用水（5月份的用水量超过4月份的用水量），共交水费64元，则该户居民4，5月份各用水多少立方米？ 4．（23-24六年级下·全国·单元测试）小华的妈妈买了4袋橘子，每袋橘子都有10个，有3袋每个橘子都是50克，有1袋每个橘子都是40克，可是妈妈忘记了哪袋才是最轻的了，小华想了个办法，只称了一次就找出了最轻的那袋：将4袋橘子依次编号为1、2、3、4，分别从袋子中取出和编号一样数量的橘子（如：1号袋子中取出1只橘子），称出所取出的橘子重量是470克，请你求出最轻那袋橘子的编号． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张长为30cm宽为15cm的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来黏合部分宽为3cm． (1)根据上图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条长度 30 84 111 …    　 … (2)设x张白纸黏合后的总长度为ycm，则y与x之间的关系式是什么？ (3)按照上述黏合方式，你认为至少需要多少张白纸，才能使得黏合起来总长度达到或超过2024cm？ 6．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“标准数”，将一个“标准数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数求和，再除以11所得的商记为．例如，当，对调个位数字与十位数字得到的新两位数31，新两位数与原两位数的和为，和44除以11的商为，所以． (1)计算： ； (2)若一个“标准数”y的十位数字是k，个位数字是，且，求y． 7．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数为6，点A在点B的右边，且A与B的距离是10，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数是 ； (2)点P表示的数是 （用含t的代数式表示）；点Q表示的数是 （用含t的代数式表示）； (3)若点P与点Q相距6个单位长度，则t的值为 ； (4)若，则t的值为 ； 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动： 打折前一次性购物金额 不超过500元 超过500元但不超过800元 超过800元 优惠措施 按总价打九折 按总价打八折 其中800元部分打七折，其余部分打六折 (1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价． (2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格． 9．（24-25七年级上·全国·单元测试）某工厂有工人1200人，因工作需要，调走了男工人数的，又增加女工人30人，这时男、女工人数相等．这个工厂原有男工多少人？ 10．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）猪八戒是中国古典小说《西游记》当中唐僧的三个徒弟之一，排行第二，法号“悟能”．八戒性格温和，憨厚单纯，力气大，嘴巴甜． 下面是一首短诗写八戒吃仙果，聪明的你一定能算出八戒吃了的仙果数！ 三种仙果红紫白，八戒共吃十一对； 白果占紫三分之一，紫果正是红二倍； 三种仙果各多少？看谁算得快又对！ 11．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）【比的应用】学校某次入学考试，参加的男生人数与女生人数之比是，结果录取人，其中，男生与女生人数之比是．在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为，那么报考的共有多少人？ 12．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． (1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； (2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 14．（23-24七年级上·浙江金华·期末）七（）班和七（）班在晨光文具店为班级的每个同学购买同一款礼品盲盒作为参加研学活动的纪念品．已知两个班级的学生共人，其中七（）班的学生数超过七（）班的学生数，两个班的学生数都不少于人，且不多于人文具店给出该礼品盲盒的价格表如下： 购买礼品盲盒的数量 1~44个 45~86个 87个及以上 每个礼品盲盒的价格 6元 5元 4元 如果两个班级单独购买礼品官盒，购买的数量与学生数相同，那么一共应付元． (1)若两个班联合购买礼品盲盒，则比各自购买礼品盲盒共可节省多少元？ (2)七（）班和七（）班各有多少名学生？（列方程求解） (3)如果七（1）班有名学生因故不能参加研学活动，七（）班全体同学参加，请你为这两个班级设计一种最省钱的购买礼品盲盒方案，并计算两个班级购买礼品盲盒的总费用． 15．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    16．（22-23七年级上·湖北黄石·期末）大冶市某猕猴桃基地的猕猴桃除了批发销售外，还可以让市民亲自去猕猴桃基地采摘购买．已知2022年8月该基地猕猴桃的批发价格为8元/千克，在基地采摘购买的价格为10元/千克，该基地2022年8月份一共销售了5000千克猕猴桃，总销售额为48000元． (1)问2022年8月份该基地批发销售和采摘购买各销售了多少千克的猕猴桃？ (2)9月份是猕猴桃产出旺季．为了促销，该基地决定2022年9月份将猕猴桃批发销售价格和采摘购买价格均在8月份的基础上降低a%，因此批发销售量和采摘销售量分别增长30%、20%，这样2022年9月份该基地猕猴桃的总销售额为52560元，求a的值？ 17．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 18．（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 19．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）列方程解决以下问题： (1)七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制作盒底， 才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． (2)甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、 乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 20．（24-25七年级上·四川成都·期末）【阅读理解】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题，数轴上，若、两点分别表示数、，那么、两点之间的距离与，两数的差有如下关系：． 【问题解决】 如图，数轴上的点、分别表示有理数，． （1）、两点之间的距离为________； （2）点为数轴上一点，在点的左侧，且，则点表示的数是________； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，、两点间的距离为个单位长度？ （4）利用以上知识探索：直接写出当代数式有最小值时的值． 21．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）为庆祝元旦，某市统一组织文艺汇演．甲，乙两所学校共92人参加演出，甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人，现准备购买服装参加演出．下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)如果甲校有50人参加演出，那么乙校单独购买服装应付多少元？ (2)如果两所学校分别单独购买服装一共应付5000元，那么甲、乙两所学校分别有多少人准备参加演出？ (3)在（2）的条件下，如果甲校有10人抽调去参加安全知识比赛，不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案． 22．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）为了适合不同人群的口味，莱芜信誉楼超市购进了巧克力草莓和奶油草莓进行销售．已知2箱巧克力草莓的进价与3箱奶油草莓的进价的和为357元，且每箱巧克力草莓的进价比每箱奶油草莓的进价贵16元． (1)求每箱巧克力草莓与每箱奶油草莓的进价分别是多少元； (2)若某天该超市购进了巧克力草莓20箱，且每箱价格提高出售，购进了奶油草莓箱，且每箱价格提高出售，这天该超市全部卖完获得的利润为元，求购进了奶油草莓多少箱． 23．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 24．（24-25七年级上·浙江·期末）根据以下素材，回答问题： 问题背景：2025年元旦期间，A，B两个大型商场举行糖果优惠促销活动．某班数学小组对A，B两个大型商场进行调研后了解到如下信息： 信息1 A商场从厂家直接购进甲种糖果800千克，乙种糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙种糖果比每千克甲种糖果进价贵8元． 信息2 B商场从厂家直接购进甲，乙两种糖果售卖，进价与A商场相同，并将乙种糖果按进价提高后标价，实际销售时再打折售卖，此时乙种糖果每千克仍可获利9.6元． 问题解决： (1)设甲种糖果每千克进价x元，求甲，乙两种糖果的进价． (2)求出B商场中乙种糖果是打几折售卖的．如果甲种糖果也按照这个折扣售卖，每千克可获利8元，求甲种糖果的标价． 25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 26．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙公司一起竞标了一项工程．若甲、乙公司分别单独完成此工程，甲公司需要的天数与乙公司需要的天数的比为2：3，且甲公司需要的天数比乙公司需要的天数少用10天． (1)如果甲、乙公司同时获批合作完成，需要多少天完成？ (2)若甲、乙公司合作10天后，甲公司有事离开，剩下的工程由乙公司单独完成，则乙公司还需要多少天可以完成此工程？ (3)在（2）的条件下，此施工过程中，每天补助100元，是乙公司每天雇佣费用的10%，且乙公司每天的雇佣费用比甲公司每天雇佣费用的还少200元，完成此工程的总费用为多少元？ 27．（24-25七年级上·江西宜春·期末）周末，小月和爸爸在的环形跑道上骑车锻炼，她们在同一地点沿着同一方向同时出发，爸爸第一次追上小月后，小月说：“爸爸，您要两分钟才能第一次追上我哦”，爸爸回答道：“我骑完一圈的时候你才骑半圈，以后要多跟爸爸一起锻炼身体哦．” (1)请根据她们的对话内容，求小月和爸爸的骑行速度． (2)爸爸第一次追上小月后，小月立刻掉头沿原路骑行，再经过多少分钟后，小月和爸爸在相遇前相距米？ 28．（24-25七年级上·山东济南·期末）用一元一次方程解决下列问题： 如图，在同一水平桌面上放置了甲、乙两个长方体容器，容器甲的底面积为，高为；容器乙的底面积为，高为．已知容器甲中盛满了水，而容器乙中目前的水位高度为．现利用抽水装置从容器甲向容器乙匀速注水，每分钟注水．从容器甲开始向容器乙注水起，经过多长时间， (1)甲、乙两个容器中水位的高度相等？ (2)甲、乙两个容器中水位的高度相差？ 29．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）东胜区装备制造有限公司专门负责生产重型载货汽车的零部件．该公司现有工人120人专门负责生产M型号和L型号的零部件，每人每天可生产M型号零件30个或L型号零件40个（每人每天只能生产一种零件），一个M型号零件配两个L型号零件，且每天生产的M型号零件和L型号零件恰好配套．求该公司有多少工人生产M型号零件，有多少工人生产L型号零件？ 30．（24-25七年级上·广东深圳·期末） 新能源汽车充电花费问题 素材一 坪坪汽车充电站充电实行高峰时段、平时时段以及低谷时段三阶电价，已知为低谷时段，低谷时段电价为元/度，充电站一天电价变化（与上一时段相比）如下表所示： 时段 低谷时段 平时时段 高峰时段 平时时段 电价变化 （元度） (起始电价) 坪坪汽车充电站为吸引更多顾客充电，推行如下优惠政策： 素材二 年累计充电量 优惠方案 度及以下 不优惠 超过度但不超过度 打九五折 超过度 打九折                 　　　　问题解决 任务一 坪坪汽车充电站高峰时段充电电价为_____元度． 任务二 已知小马月之前未在坪坪充电站充过电，月总共在坪坪充电站充电花费元，其中平时时股充电电量占月总充电量的，低谷时段充电电量占月总充电量的，请问小马月总共充了多少度电? 任务三 下午时，小坪和小山同时在坪坪汽车充电站充电，且都在晚上时前完成充电，小坪充了度电，小山充了度电，小坪的充电花费却超过了小山，请通过计算分析造成这种情况的原因． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$