专题02 随机变量及其分布（7大题型提分练）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 随机变量及其分布 题型概览 题型01 条件概率 题型02 全概率公式 题型03 离散型随机变量的分布列、均值与方差 题型04 二项分布 题型05 超几何分布 题型06 正态分布 题型07 随机变量概率最大问题 条件概率题型01 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件概率公式、古典概型概率公式可知，所求为. 故选：B. 2．（23-24高二下·天津西青·期末）从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机曲取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“第一次抽到K牌”为事件，“第二次抽到K牌”为事件； 根据题意可得； 因此所求概率为. 故选：D 3．（22-23高二下·天津和平·期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种， 所以， 则， 故选：B． 4．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 . 【答案】/ 【详解】令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯” 则，于是， 所以所求概率为. 故答案为： 全概率公式题型02 5．（23-24高二下·天津·期末）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，则有的学生每天玩手机不超过， 超过近视率约为，不超过近视率约为， 所以从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是． 故选：C． 6．（23-24高二下·天津·期末）已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品， 由题可得：， 故. 故选：A. 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ． 【答案】 【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 8．（23-24高二下·天津西青·期末）现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为 ． 【答案】0.77/ 【详解】由全概率公式可知，他做对该题的概率为. 故答案为：0.77. 9．（23-24高二下·天津·期末）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案来时猜对的概率为，那么他答对题目的概率为 【答案】/ 【详解】依题意，他答对题目的概率. 故答案为： 10．（23-24高二下·天津·期末）甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 .同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为 . 【答案】 【详解】若A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况， 所以3个球颜色不全相同的概率为； 记“一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”为事件，“B同学摸到红球”为事件， 则， 所以. 故答案为：；. 11．（23-24高二下·天津和平·期末）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.（ⅰ）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为 ；（ⅱ）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为 . 【答案】 【详解】对空1：从甲箱中抽出2球，设抽到白球为事件，2个球都是白球为事件，则:, ，所以. 对空2：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，记为事件，抽到红球记为事件，则： ，点数大于等于3的概率：. 所以. 故答案为： 12．（22-23高二下·天津滨海新·期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.3，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 【答案】 【详解】该运动员担当中锋，不输球的概率为， 该运动员担当边锋，不输球的概率为， 该运动员担当前腰，不输球的概率为， 所以该球队某场比赛不输球的概率为， 故答案为:. 离散型随机变量的分布列、均值与方差题型03 13．（23-24高二下·天津·期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 且，，， 因此，. 故选：B. 14．（23-24高二下·天津·期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【详解】因为离散型随机变量的方差为2， 所以. 故选：D. 15．（23-24高二下·天津·期末）已知随机变量的分布列：满足，则的值为（    ） 0 1 A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】． ， ∴ 故选：A. 16．（22-23高二下·天津河北·期末）某随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，， ①， 又，② 由①②得，，， 所以 故选：B. 17．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】(1)分别抽取人，人和人 (2)分布列见解析；期望为 【详解】（1）解：某单位甲乙丙三个部门的员工人数分别为， 现采用分层抽样的方法，从中抽取7人，进行睡眠时间的调查， 则从甲部门的员工中抽取人， 从乙部门的员工中抽取人， 从丙部门的员工中抽取人. （2）解：若抽取的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足， 现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查，用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则的可能取值为， 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 4 则数学期望为 18．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； （2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元， 则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车， 或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况， 甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为； （3）X的可能取值为0，2，4，6，8， ， ，， 分布列如下表： X 0 2 4 6 8 P 数学期望， . 19．（22-23高二下·天津滨海新·期末）在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. (1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； (2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； (3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设甲恰好套中1次为事件A， （2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， ， 故X的分布列是： X 0 1 2 3 4 P 则X的均值为：； （3）设甲在1组中得2分或3分的事件为B， 则 设5组游戏中，甲恰有3组游戏中得2分或3分为事件C， 则， 则. 20．（22-23高二下·天津·期末）在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位.随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮.某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏.游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶.小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为. (1)按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率； (2)估计小明得到熊猫玩偶的概率； (3)记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析；. 【详解】（1）事件表示“小明判断题得分比选择题得分多2分”， 则事件包含小明判断题答对1道，选择题答对0道， 或者小明判断题答对2道，选择题答对1道， 则. 所以小明判断题得分比选择题得分多2分的概率. （2）事件表示“小明得到熊猫玩偶”， 则事件包含小明得分6分，或者得分分， 且小明得分6分表示判断题答对2题且选择题答对1题， 或者判断题答对1题且选择题答对2题， 概率为， 小明得分8分表示判断题答对2题且选择题答对2题， 概率为，所以. 所以小明得到熊猫玩偶的概率为. （3）由题意可知，的可能取值有， 则， ， ， ， ， 则分布列为 0 2 4 6 8 则. 21．（23-24高二下·天津·西青·期末）随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)求甲以的比分获胜的概率； (2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）甲以的比分获胜，则甲在前局胜局输局，第局胜利，概率为： （2）可能的取值为， ；； 22．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率； (2)用表示摸出的2个球中的白球个数，求随机变量的分布列及均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【详解】（1）依题意，3个白球记为，2个红球记为， 则从中摸出2个球的基本事件有，共10件； 其中恰有1个白球和1个红球的基本事件有，共6件； 记“摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球”，则， 摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为. （2）依题意，表示摸出的2个球中的白球个数，则的可能取值为， ，，， 则的分布列为 0 1 2 所以. 23．（23-24高二下·天津滨海新·期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题可得，的可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 二项分布题型04 24．（23-24高二下·天津·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：C 25．（23-24高二下·天津·期末）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（    ） A．，5 B．，10 C．，5 D．，10 【答案】B 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得, 门大炮总得分的期望值为， ， 故选：B. 26．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“至少有两次击中目标”为事件，连续射击三次击中目标的次数为， 由每次射击击中目标的概率均为，则未击中目标的概率均为； 则. 故选：D 27．（23-24高二下·天津河北·期末）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为. 故选：D 28．（23-24高二下·天津西青·期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析；期望为 【详解】（1）由题意得； （2）该工艺画师进行3次制作，恰有一件优秀作品为事件B ； （3）随机变量X的取值为 由题意可知： 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 或者． 29．（23-24高二下·天津·期末）袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. (1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； (2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率. 角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”， 则，, 所求概率； （2）的所有可能取值为. ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 ,的均值. 超几何分布题型05 30．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)若不放回摸球，求的分布列； (2)若有放回摸球，求的分布列和均值. 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析，均值为1 【详解】（1）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 （2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 31．（23-24高二下·天津和平·期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【详解】（1）由题意：的值可以为：0，1，2，3，且： ，，，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 . （2）事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数相等”，则二等品（或三等品）的件数记为，则可以为1，2， , 所以. 32．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． (1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； (2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； (3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）令事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到黄球，则 ，， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率为， （2）令事件C：摸一次摸到红球，则， 由题意随机变量X服从二项分布，， 因为，，所以， 解得：， （3）由题意随机变量Y的所有可能取值为2，3，4， ，，， 所以，Y的分布列为 Y 2 3 4 P 所以 正态分布题型06 33．（23-24高二下·天津西青·期末）随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【详解】由正态分布知，， 故选：B 34．（23-24高二下·天津·期末）设随机变量，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【详解】由于随机变量,所以， 又因为 所以， 所以. 故选：B 35．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若随机变量，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 故答案为：0.26． 36．（23-24高二下·天津南开·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为正态分布曲线的对称轴为，， 所以，所以. 故答案为：. 37．（22-23高二下·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 . 【答案】0.8/ 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴是， 所以， 所以. 故答案为：0.8. 随机变量概率最大问题题型07 38．（23-24高二下·天津·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】(1) (2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析 【详解】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. （2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 39．（23-24高二下·天津南开·期末）同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”．在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上演统计学史上著名的“女士品茶”试验． (1)上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是不同的.”为了验证这一说法，欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验.他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别.”下面，他准备了8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”（即将茶倒进奶里所得的饮品），4杯为“奶茶”（即将奶倒进茶里所得的饮品），然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶茶”的饮品.设随机变量表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过计算的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力． （ⅰ）请求出随机变量的分布列（概率请用数值表示）； （ⅱ）当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？ (2)下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶茶”味道的能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为．现在，为了不浪费道具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”），那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”．请问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？ 【答案】(1)（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）杯； (2) 【详解】（1）（ⅰ）的可能取值为， ，， ，，， 则其分布列为： （ⅱ）由，， 故上官琐艾至少要选择正确杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设， 该推断犯错误的概率为； （2）设为二人所获得的总积分，则可能为， 两人对某一杯饮品判断均正确的概率，则， 则，其中， 则当， 有， 令，解得，故当时，有最大值， 即欧阳、上官二人应该选择为“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜. 1．（23-24高二下·天津和平·期末）有如下5个命题： ①已知随机变量，则，； ②已知随机变量，若，则； ③已知命题，，则，； ④函数在区间内有且仅有1个零点； ⑤函数的最小值为3. 将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（    ） A．72种 B．36种 C．18种 D．12种 【答案】A 【详解】对于①，，， 则，①正确； 对于②，依题意，，②正确； 对于③，命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 则，，③正确； 对于④，函数在上单调递增，， 则函数在区间内有且仅有1个零点，④正确； 对于⑤，函数的定义域为，显然，⑤错误， 因此5个命题中有1个假命题，假命题不在首尾两个位置的排列总数是. 故选：A 2．（23-24高二下·天津·期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 . 【答案】 【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为，则甲乙二人全部命中的概率为， 两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B,， ， 所以. 故答案为：,. 3．（22-23高二下·天津·期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）. 【答案】 【详解】设事件为他准点到达天津，事件为他乘坐高铁到达天津，事件为他乘坐大巴到达天津， 若他乘坐高铁，且正点到达天津的概率为； 若他乘坐大巴，且正点到达天津的概率为； 则，且, 所以乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高. 故答案为：， 4．（23-24高二下·天津·期末）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 【答案】0.68/ 【详解】解：设A表示“乙球员担当前锋”，设B表示“乙球员担当中锋”，设C表示“乙球员担当后卫”，设D表示“乙球员担当守门员”，设E表示“乙球员参加时，球队输球”， 所以， ， 所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为， 故答案为：0.68 5．（23-24高二下·天津·东丽·期末）某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn，yn，如果点数满足，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束. (1)求第一轮闯关成功的概率； (2)如果第i轮闯关成功所获的奖金数f(i)=10000× （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率； (3)如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）当时，，因此，2； 当时，，因此，2； 当时，，因此，2； 当时，，因此； 当时，因此； 当时，，因此无值； 第一轮闯关成功的概率． （2）令金数，则， 由（1）每轮过关的概率为． 某人闯关获得奖金不超过1250元的概率 （3）依题意的可能取值为1，2，3，4 设游戏第轮后终止的概率为，2，3， ．，，； 故的分布列为 1 2 3 4 因此 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 随机变量及其分布 题型概览 题型01 条件概率 题型02 全概率公式 题型03 离散型随机变量的分布列、均值与方差 题型04 二项分布 题型05 超几何分布 题型06 正态分布 题型07 随机变量概率最大问题 条件概率题型01 1．（23-24高二下·天津滨海新·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，设事件A=“有4名航天员在天和核心舱”，事件B=“甲乙二人在天和核心舱”，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·天津西青·期末）从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机曲取1张扑克牌，抽出的牌不再放回．在第一次抽到K牌的条件下，第二次抽到K牌的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·天津和平·期末）五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 . 全概率公式题型02 5．（23-24高二下·天津·期末）长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·天津·期末）已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）天津高考实行“六选三”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权．甲、乙、丙三所学校分别有75%，60%，60%的学生选了物理，这三所学校的学生数之比为2∶1∶1，现从这三所学校中随机选取一个学生，则这个学生选了物理的概率为 ． 8．（23-24高二下·天津西青·期末）现有10道四选一的单选题，学生李华对其中8道有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李华从10道题中随机选择1题，他做对该题的概率为 ． 9．（23-24高二下·天津·期末）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案来时猜对的概率为，那么他答对题目的概率为 10．（23-24高二下·天津·期末）甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是 .同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为 . 11．（23-24高二下·天津和平·期末）甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.（ⅰ）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为 ；（ⅱ）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于2，就从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为 . 12．（22-23高二下·天津滨海新·期末）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，A运动员能够胜任中锋、边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.3，0.5，0.2，当该运动员担当中锋、边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.3，0.2，0.2.当A球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 离散型随机变量的分布列、均值与方差题型03 13．（23-24高二下·天津·期末）某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 （    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·天津·期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 15．（23-24高二下·天津·期末）已知随机变量的分布列：满足，则的值为（    ） 0 1 A．4 B． C．2 D． 16．（22-23高二下·天津河北·期末）某随机变量的取值为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为18，36，9．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望． 18．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率； (3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值、方差 19．（22-23高二下·天津滨海新·期末）在一次庙会上，有种“套圈游戏”，规则如下：每组每人3个圆环，向A，B两个目标投掷，先向目标A连续掷两次，每套中一次得1分，没有套中不得分，再向目标B掷一次，每套中一次得2分，没有套中不得分，根据最终得分由主办方发放奖品.已知甲每投掷一次，套中目标A的概率为，套中目标B的概率为，假设甲每次投掷的结果相互独立. (1)求甲在一组游戏中恰好套中一次的概率； (2)求甲在一组游戏中的总分X的分布列及数学期望； (3)甲连续玩了5组套圈游戏，假设甲每组投掷的结果相互独立，求甲恰有3组套圈游戏中得2分或者3分的概率. 20．（22-23高二下·天津·期末）在中国，大熊猫是每个中国人都非常熟悉的动物，有着不可撼动的地位.随着国宝“萌兰”、“花花”可爱搞笑视频的流行，也掀起了一波热爱、保护动物的热潮.某动物园为了向游客宣传保护动物知识，对来访者开设小型知识问答游戏.游戏规则：每位游客回答判断、选择两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得2分，答错得0分，两组题目得分的和作为该游客的成绩，不低于6分，即可得到一个熊猫玩偶.小明估计答对每道判断题的概率均为，答对每道选择题的概率均为. (1)按此估计求小明判断题得分比选择题得分多2分的概率； (2)估计小明得到熊猫玩偶的概率； (3)记小明在比赛中的得分为，按此估计的分布列和数学期望. 21．（23-24高二下·天津·西青·期末）随着中国羽毛球队第13次捧起苏迪曼杯，2023年世界羽毛球混合团体锦标赛在5月21日落下帷幕．国家羽毛球队在面对东道主和卫冕冠军的双重压力下，多次面临困境，一度濒临绝境但最终都战胜了对手，站上了冠军领奖台，展现了队员们强大的心理素质和永不放弃、顽强，拼搏的中国精神，队员们圆梦经历也告诉我们：人生中会遇到很多逆境，只要逆境中坚定信心，永不放弃，一切皆有可能，就会有奇迹发生．精彩的苏迪曼杯羽毛球比赛激发了某校同学们参加，羽毛球活动的热情，甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，若采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立. (1)求甲以的比分获胜的概率； (2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望． 22．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中恰有1个白球和1个红球的概率； (2)用表示摸出的2个球中的白球个数，求随机变量的分布列及均值. 23．（23-24高二下·天津滨海新·期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 二项分布题型04 24．（23-24高二下·天津·期末）若随机变量服从二项分布，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二下·天津·期末）已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（    ） A．，5 B．，10 C．，5 D．，10 26．（23-24高二下·天津西青·期末）某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·天津河北·期末）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·天津西青·期末）历史悠久的杨柳青年画，全称“杨柳青木版年画”，属木版印绘制品，是我国著名民间传统木版年画．它起源于明代崇祯年间，距今已有近400年的历史，是首批国家级非物质文化遗产．杨柳青年画制作特别之处是它采用“印画结合”的独特工艺，制作程序大致是：创稿、分版、刻版、套印、彩绘、装裱，前期工序与其他木彼年画大致相同，而杨柳青年画的后期制作艺术风格迥然不同．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某年工艺画师在后期套印、彩绘、装裱每个环节制作成功的概率分别为，只有当每个环节制作都成功才认为是一次优秀制作． (1)设事件“制作一件优秀作品”，求事件A的概率； (2)若该工艺画师进行3次制作，事件”恰有一件优秀作品”，求事件B的概率； (3)若该工艺画师制作3次，其中优秀作品数为X，求X的分布列和数学期望． 29．（23-24高二下·天津·期末）袋子中有大小相同的2个白球､3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球. (1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率； (2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值. 超几何分布题型05 30．（23-24高二下·天津·期末）一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)若不放回摸球，求的分布列； (2)若有放回摸球，求的分布列和均值. 31．（23-24高二下·天津和平·期末）已知在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.若从这10件产品中随机抽取4件进行检测， (1)求抽到一等品件数的分布列和数学期望； (2)设事件“在抽取的4件产品中，二等品的件数与三等品的件数不相等”，求事件的概率. 32．（23-24高二下·天津河北·期末）袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球． (1)若，，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率； (2)若，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若，，求n和N的值； (3)若，，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望． 正态分布题型06 33．（23-24高二下·天津西青·期末）随机变量，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 34．（23-24高二下·天津·期末）设随机变量，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6 35．（23-24高二下·天津滨海新·期末）若随机变量，且，则 ． 36．（23-24高二下·天津南开·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 37．（22-23高二下·天津滨海新·期末）如果随机变量，且，那么 . 随机变量概率最大问题题型07 38．（23-24高二下·天津·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲公司至少答对2道题目的概率； (2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 39．（23-24高二下·天津南开·期末）同学们，欢迎大家来到“南德琐艾科学剧场”．在这里，欧阳南德与上官琐艾将为大家上演统计学史上著名的“女士品茶”试验． (1)上官琐艾认为：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是不同的.”为了验证这一说法，欧阳南德利用“假设检验”的思想设计了如下试验.他首先提出零假设：“将茶倒进牛奶里和将牛奶倒进茶里的味道是相同的，即上官琐艾无法判断两种饮品味道的区别.”下面，他准备了8杯外观完全一致的饮品，其中4杯为“茶奶”（即将茶倒进奶里所得的饮品），4杯为“奶茶”（即将奶倒进茶里所得的饮品），然后请上官琐艾通过品尝味道来从中选出4杯她认为是“奶茶”的饮品.设随机变量表示上官琐艾选出的4杯饮品中确为“奶茶”的杯数，随后我们通过计算的值来对零假设作出判断，其原理为：在零假设下，如果的值很小，小到我们可以将其认为是小概率事件，那么我们就有充分的理由拒绝零假设，即认为上官同学确有区分两种饮品味道的能力． （ⅰ）请求出随机变量的分布列（概率请用数值表示）； （ⅱ）当小概率值为0.05时，请你求出上官琐艾至少要选择正确多少杯“奶茶”，我们才有充分的理由拒绝零假设？该推断犯错误的概率是多少？ (2)下面进入“剧场花絮”时间，离开剧情，回归现实，两位同学其实都没有区分“茶奶”与“奶茶”味道的能力，即当他们品尝一杯饮品时，判断正确的概率均为．现在，为了不浪费道具材料，欧阳与上官两位同学请一位剧场观众利用剩下的茶与奶又新制作了9杯饮品（只有观众知道这9杯饮品中哪些是“茶奶”与“奶茶”），他们决定做一个名为“心有灵犀”的游戏，规则如下：对于这9杯饮品，欧阳与上官二人逐杯进行品尝（每一杯二人均品尝），并独自作出判断，如果二人对同一杯饮品的判断均是正确的（即判断对了其为“茶奶”还是“奶茶”），那么他们共同积1分，否则积0分；在进行所有品尝前，他们要先选定一个“心有灵犀数”，如果在品尝完所有饮品后所获得的总积分恰为该“心有灵犀数”，那么他们将“携手取胜”．请问，欧阳、上官二人应该选择哪一个“心有灵犀数”才能最有机会“携手取胜”呢？ 1．（23-24高二下·天津和平·期末）有如下5个命题： ①已知随机变量，则，； ②已知随机变量，若，则； ③已知命题，，则，； ④函数在区间内有且仅有1个零点； ⑤函数的最小值为3. 将上述5个命题重新排序，其中假命题不在首尾两个位置，则排序方法有（    ） A．72种 B．36种 C．18种 D．12种 2．（23-24高二下·天津·期末）甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为 ；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为 . 3．（22-23高二下·天津·期末）天津相声文化是天津具有代表性的地域文化符号，天津话妙趣横生，天津相声精彩纷呈，是最具特色的旅游亮点之一.某位北京游客经常来天津听相声，每次从北京出发来天津乘坐高铁和大巴的概率分别为0.6和0.4，高铁和大巴准点到达的概率分别为0.9和0.8，则他准点到达天津的概率是 （分数作答）.若他已准点抵达天津，则此次来天津乘坐高铁准点到达比乘坐大巴准点到达的概率高 （分数作答）. 4．（23-24高二下·天津·期末）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 . 5．（23-24高二下·天津·东丽·期末）某闯关游戏规则是：先后掷两枚骰子，将此试验重复n轮，第n轮的点数分别记为xn，yn，如果点数满足，则认为第n轮闯关成功，否则进行下一轮投掷，直到闯关成功，游戏结束. (1)求第一轮闯关成功的概率； (2)如果第i轮闯关成功所获的奖金数f(i)=10000× （单位：元），求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率； (3)如果游戏只进行到第四轮，第四轮后不论游戏成功与否，都终止游戏，记进行的轮数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$