专题03 计数原理4种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题03 计数原理4种常考题型总结 题型概览 题型01两个计数原理 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式定理 ( 题型01 ) 两个计数原理 1．（2024春•绵阳期末）现有3名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有　　 A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读有4种选择， 根据分步计数原理可知，3名学生进行选择，共有种选择方式． 故选：． 2．（2024春•青羊区校级期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是　　 A．8 B．12 C．18 D．72 【解析】从1，3，5，7中任取2个数的方法数有； 从2，4中任取1个数的方法数有； 选出的3个数的排列有； 再利用分步计数乘法原理得： 可以组成没有重复数字的三位数的个数有． 故选：． 3．（2024春•南充期末）从村去村的道路有2条，从村去村的道路有3条，则从村经村再去村，不同路线的条数是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 【解析】根据题意，从村去村的道路有2条，从村去村的道路有3条， 则从村经村去村不同路线有条． 故选：． 4．（2024春•青羊区校级期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 　　种不同的走法． 【解析】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有种， 根据分类计数原理可得，共有种， 故从甲地到丁地共有14条不同的路线． 故答案为：14． ( 题型02 ) 排列及排列数公式 5．（2024春•攀枝花期末）由0，1，2，3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为　　 A．10 B．12 C．18 D．24 【解析】当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是， 当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是， 所以不同的排法种数为． 故选：． 6．（2024春•德阳期末）2160的不同正因数个数为　　 A．42 B．40 C．36 D．30 【解析】根据题意，，则2160的正因数，，， 因为可取0、1、2、3、4， 可取0、1， 可取0、1、2、3， 所以1080不同的正因数个数为个． 故选：． 7．（2024春•叙州区校级期末）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徴、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徴位于羽的左侧，则可排成的不同音列有　　 A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【解析】先将宫、徵、羽三个音节进行排序，且徵位于羽的左侧，有种， 再将商、角插入4个空中，共有种． 故选：． 8．（2023秋•叙州区校级期末），，，，，六人站成一排，满足，相邻，，不相邻，不站两端的不同站法的种数为　　 A．48 B．96 C．144 D．288 【解析】第一步，先排，，共有种排法，将排好的、作为一个整体，记为； 第二步，（1）先将，，，排成一排，再在产生的3个空位中选择一个排，共有种排法， （2）先将，捆绑在一起，记为，然后将，排成一排， 最后在2个空位中选一个排共，共有种排法， （3）将，，，，排成一排，且，不相邻，不站两端的排法有种， 综上，满足条件的不同排法共有种． 故选：． 9．（2024春•宜宾期末）3名男生和2名女生共5位同学站成一排照相，且2位女生不相邻，则不同排法的种数为　　 A．120 B．72 C．36 D．12 【解析】3名男生自由排列，产生4个空位，2名女生插入4个空位中的两个， 故不同排法的种数为． 故选：． 10．（2024春•仁寿县校级期末）某博物馆新增包括，在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且，都是清朝的．现将这些文物摆成一排，要求，必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同摆法种数为　　 A．1440 B．2160 C．2880 D．3050 【解析】某博物馆新增包括，在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且，都是清朝的， 现将这些文物摆成一排，要求，必须相邻，但唐朝的文物不得相邻， 则所有不同摆法种数为． 故选：． 11．（2024春•四川期末）一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为　　 A． B． C． D． 【解析】将同科目的书视为一个整体，排列3个科目的书有种方法， 再分别排列同科目的书，分别有种方法， 所以不同的放法种数为． 故选：． 12．（2024春•仁寿县期末）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【解析】利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列， 所以不同排法有种． 故选：． 13．（2024春•仁寿县期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有　　 A．16种 B．18种 C．24种 D．36种 【解析】由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列， 故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有种． 故选：． ( 题型03 ) 组合及组合数公式 14．（2024春•成都期末）已知，则的值为　　 A．9 B．8 C．7 D．6 【解析】， 即， 即． 故选：． 15．（2024春•仁寿县期末）　　 A．36 B．64 C．128 D．256 【解析】因为， 所以． 故选：． 16．（2024春•攀枝花期末）已知，则正整数　　． 【解析】因为， 所以， 解得或（舍去）． 故答案为：4． 17．（2024春•东坡区期末）从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是　　 A．70 B．74 C．84 D．504 【解析】从所有的9名学生中选出3名，有种选法，其中全为男生的有种选法， 所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有种． 故选：． 18．（2024春•攀枝花期末）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为 　（用数字作答）． 【解析】若甲入选，乙没入选，从除了乙之外的5人选择3人，有种情况， 若乙入选，甲没入选，同理可得，有种情况， 若甲乙均入选，则从除甲乙外的5人中选择2人，有种情况， 综上，共有种情况． 故答案为：30． 19．（2024春•泸州期末）某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有 　　种． 【解析】将4名医生分为1，1，2三组，共有种分法， 则将三组分到三个乡镇有种分法， 则不同的选派方法有种． 故答案为：36． 20．（2024春•合江县期末）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中，角色各1人，角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且，角色不可同时为女生．则店主共有 　　种选择方式． 【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类， 第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演，角色有种，剩余的1名男生和女生扮演角色，或，角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种， 所以共有种， 第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演，角色有种，剩余的2名女生扮演角色，或，角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种， 所以共有种， 第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，，角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色， 所以共有种， 综上所述，店主共有种选择方式， 故答案为：348． 21．（2024春•龙马潭区期末）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为　　 A．3 B．6 C．10 D．15 【解析】将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球， 先每个盒子中放1个小球， 然后将剩下的5个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放1个小球， 则不同放法的种数为． 故选：． ( 题型04 ) 二项式定理 22．（2024春•东坡区期末）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 　　（用数字作答） 【解析】由于的展开式只有第4项的二项式系数最大， 则展开式中共有7项，故，解得， 所以，的展开式通项为，，，6， 令，解得，因此所求即为． 故答案为：． 23．（2024春•仁寿县期末）展开式的常数项为　　 A． B． C．42 D．43 【解析】， 其中的常数项为， 的常数项， 所以展开式的常数项． 故选：． 24．（2024春•合江县期末）的展开式中的系数为　　 A．55 B． C．65 D． 【解析】含的项为， 所以展开式中的系数为． 故选：． 25．（2024春•德阳期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数的值为　　 A． B．4 C． D．2 【解析】由题意，二项式的展开式中的项是，解得． 故选：． 26．（2024春•叙州区校级期末）在二项式的展开式中，不正确的说法是　　 A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1 C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大 【解析】二项式的展开式通项为． 对于选项，令，可得，故常数项是第4项，故错； 对于选项，各项的系数和是，故对； 对于选项，偶数项二项式系数和为，故对； 对于选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，故对． 故选：． 27．（2024春•宜宾期末）展开式中含的项的系数是　　 A． B． C．10 D．5 【解析】的展开式的通项公式为，，1，2，，5． 展开式中含的项的系数是． 故选：． 28．（2024春•四川期末）的展开式中，各项系数和与含项的系数分别是　　 A．4092，495 B．8188，220 C．4092，220 D．8188，495 【解析】令， 则， 所以各项系数和为4092， 含项的系数为 ． 故选：． 29．（2024春•绵阳期末）已知，则　　 A．32 B．64 C．127 D．128 【解析】因为， 所以，令，得． 故选：． 30．（2024春•泸州期末）的展开式中项的系数为　　 A． B． C．10 D．80 【解析】二项式的展开式的通项公式为， 令，则，则展开式中含项的系数为． 故选：． 31．（2024春•东坡区期末）已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论中的正确个数　　 （1） （2）展开式中常数项是160 （3）展开式共有6项 （4）展开式所有项系数和是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】（1）由的展开式第3项的系数是60，得，即，解得，故（1）正确； （2），由，令，得， 则展开式中常数项是，故（2）正确； （3）展开式共有7项，故（3）错误； （4）取，可得展开式所有项系数和是，故（4）错误． 故结论中的正确个数是2． 故选：． 1．（2024春•成都期末）若，则　　 A． B．1 C．64 D．0 【解析】， ． 故选：． 2．（2024春•凉山州期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，的二项展开式中二项式系数之和为256， 所以，解得， 因为，所以展开式中共有9项，则第5项的二项式系数最大， 由展开式的通项公式可得． 故选：． 3．（2024春•叙州区校级期末）已知，若，则　　． 【解析】，， 令，则， 解得． ． 的通项公式， 令或， 则． 故答案为：． 4．（2024春•郫都区校级期末）若，则的值为 　　 ． 【解析】在中， 令，得． 故答案为：128． 5．（2025•成都模拟）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为　　 A．31 B．30 C．29 D．28 【解析】令，可得展开式各项系数之和为， 得， 则展开式通项公式为中的系数为，的系数为， 则展开式中的系数为． 故选：． 6．（2025春•锦江区校级期中）从0，1，2，3，4这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为　　 A．24 B．36 C．48 D．60 【解析】从0，1，2，3，4这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数， 百位数字不为0，则共有种． 故选：． 7.（2025春•青羊区校级期中）在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这6位专家的不同发言顺序共有　　 A．240种 B．280种 C．480种 D．720种 【解析】在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言， 可先排剩下4人，有种排法， 再将甲和乙插入即可，则有种排法． 故选：． 8．（2023秋•威远县校级月考）多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为　　 A．1 B．243 C．64 D．0 【解析】根据二项式的展开式， 当时， 项系数为， 当时，项系数为， 由于多项式的项系数比项系数多35， 故，解得； 故的展开式的系数和即当时，系数和为0． 故选：． 9．（2025•青羊区校级模拟）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有　　个． A．480 B．600 C．720 D．840 【解析】已知2，0，2，5，4，1，2这些数字2出现3次， 这7个数字全排列有种， 当0为首位，剩下6个数字的全排列为种， 则不同的7位数的有． 故选：． 10．（2025•青羊区校级模拟）的展开式中系数最大的项为　　 A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【解析】易知的展开式的各项系数分别为：，，； 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项． 故选：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理4种常考题型总结 题型概览 题型01两个计数原理 题型02排列及排列数公式 题型03组合及组合数公式 题型04二项式定理 ( 题型01 ) 两个计数原理 1．（2024春•绵阳期末）现有3名学生，每人从四大名著《水浒传》，《三国演义》，《西游记》，《红楼梦》中选择一种进行阅读，每人选择互不影响，则不同的选择方式有　　 A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2024春•青羊区校级期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是　　 A．8 B．12 C．18 D．72 3．（2024春•南充期末）从村去村的道路有2条，从村去村的道路有3条，则从村经村再去村，不同路线的条数是　　 A．5 B．6 C．8 D．9 4．（2024春•青羊区校级期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 　　种不同的走法． ( 题型02 ) 排列及排列数公式 5．（2024春•攀枝花期末）由0，1，2，3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为　　 A．10 B．12 C．18 D．24 6．（2024春•德阳期末）2160的不同正因数个数为　　 A．42 B．40 C．36 D．30 7．（2024春•叙州区校级期末）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徴、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徴位于羽的左侧，则可排成的不同音列有　　 A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 8．（2023秋•叙州区校级期末），，，，，六人站成一排，满足，相邻，，不相邻，不站两端的不同站法的种数为　　 A．48 B．96 C．144 D．288 9．（2024春•宜宾期末）3名男生和2名女生共5位同学站成一排照相，且2位女生不相邻，则不同排法的种数为　　 A．120 B．72 C．36 D．12 10．（2024春•仁寿县校级期末）某博物馆新增包括，在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且，都是清朝的．现将这些文物摆成一排，要求，必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同摆法种数为　　 A．1440 B．2160 C．2880 D．3050 11．（2024春•四川期末）一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书全部放在一个单层的书架上，且同科目的书不分开，则不同的放法种数为　　 A． B． C． D． 12．（2024春•仁寿县期末）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有　　 A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 13．（2024春•仁寿县期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有　　 A．16种 B．18种 C．24种 D．36种 ( 题型03 ) 组合及组合数公式 14．（2024春•成都期末）已知，则的值为　　 A．9 B．8 C．7 D．6 15．（2024春•仁寿县期末）　　 A．36 B．64 C．128 D．256 16．（2024春•攀枝花期末）已知，则正整数　　． 17．（2024春•东坡区期末）从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是　　 A．70 B．74 C．84 D．504 18．（2024春•攀枝花期末）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为 　（用数字作答）． 19．（2024春•泸州期末）某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有 　　种． 20．（2024春•合江县期末）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中，角色各1人，角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且，角色不可同时为女生．则店主共有 　　种选择方式． 21．（2024春•龙马潭区期末）将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为　　 A．3 B．6 C．10 D．15 ( 题型04 ) 二项式定理 22．（2024春•东坡区期末）在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 　　（用数字作答） 23．（2024春•仁寿县期末）展开式的常数项为　　 A． B． C．42 D．43 24．（2024春•合江县期末）的展开式中的系数为　　 A．55 B． C．65 D． 25．（2024春•德阳期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数的值为　　 A． B．4 C． D．2 26．（2024春•叙州区校级期末）在二项式的展开式中，不正确的说法是　　 A．常数项是第3项 B．各项的系数和是1 C．偶数项的二项式系数和为32 D．第4项的二项式系数最大 27．（2024春•宜宾期末）展开式中含的项的系数是　　 A． B． C．10 D．5 28．（2024春•四川期末）的展开式中，各项系数和与含项的系数分别是　　 A．4092，495 B．8188，220 C．4092，220 D．8188，495 29．（2024春•绵阳期末）已知，则　　 A．32 B．64 C．127 D．128 30．（2024春•泸州期末）的展开式中项的系数为　　 A． B． C．10 D．80 31．（2024春•东坡区期末）已知的展开式第3项的系数是60，则下列结论中的正确个数　　 （1） （2）展开式中常数项是160 （3）展开式共有6项 （4）展开式所有项系数和是 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024春•成都期末）若，则　　 A． B．1 C．64 D．0 2．（2024春•凉山州期末）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•叙州区校级期末）已知，若，则　　． 4．（2024春•郫都区校级期末）若，则的值为 　　 ． 5．（2025•成都模拟）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为　　 A．31 B．30 C．29 D．28 6．（2025春•锦江区校级期中）从0，1，2，3，4这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为　　 A．24 B．36 C．48 D．60 7.（2025春•青羊区校级期中）在某次研讨会中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位专家轮流发言，其中甲和乙不能连续发言，则这6位专家的不同发言顺序共有　　 A．240种 B．280种 C．480种 D．720种 8．（2023秋•威远县校级月考）多项式的项系数比项系数多35，则其各项系数之和为　　 A．1 B．243 C．64 D．0 9．（2025•青羊区校级模拟）2025年4月12日是成都七中成立120周年校庆日，将2，0，2，5，4，1，2这些数字排成一行拼成7位数，则不同的7位数的有　　个． A．480 B．600 C．720 D．840 10．（2025•青羊区校级模拟）的展开式中系数最大的项为　　 A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$