专题02 一元函数的导数及其应用9种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 一元函数的导数及其应用9种常考题型总结 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的运算 题型03导数的几何意义 题型04利用导数求单调区间 题型05含参分类讨论求函数的单调区间 题型06函数单调区性的应用 题型07利用导数研究函数的极值 题型08利用导数研究函数的最值 题型09利用导数解决函数的综合问题 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（2024春•叙州区校级期末）某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：与时间（单位：存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•泸县期末）某物体的运动路程（单位：与时间（单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 3．（2020春•泸州期末）已知函数满足（1），（1），则函数在处的瞬时变化率为　　 A．1 B．2 C． D． 4．（2021春•绵阳期末）当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．如果使用杀菌剂小时后的细菌数量为，则细菌数量在时的瞬时变化率为　　 A． B．0 C．5 D．10 ( 题型02 ) 导数的运算 5．（2024春•仁寿县期末）已知函数的导函数为，且满足（e），则（e）　　 A． B． C． D． 6．（2024春•仁寿县校级期末）下列求导结果正确的是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•合江县期末）下列求导运算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•仁寿县期末）下列求导数计算错误的是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•攀枝花期末）已知函数满足，则在处的导数为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•仁寿县期末）已知函数，则（1）　　 A． B．1 C．4 D．2 ( 题型03 ) 导数的几何意义 11．（2024春•绵阳期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为　　 A． B． C． D． 12．（2024春•仁寿县期末）直线是曲线的一条切线，则实数的值为　　 A． B． C． D．1 13．（2024春•成都期末）若函数，在点，（1）处的切线的斜率为1，则的最小值为　　 A． B． C． D． 14．（2024春•凉山州期末）函数的图像在点，（1）处的切线方程是　　 A． B． C． D． 15．（2024春•成都期末）已知函数，则在点处的切线的斜率为　　 A．3 B．2 C．1 D． 16．（2024春•叙州区校级期末）已知函数，若过可作两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•青羊区校级期末）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•郫都区校级期末）已知曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，则实数的值为 　　． 19．（2024春•仁寿县期末）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 20．（2024春•仁寿县校级期末）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 　　． ( 题型04 ) 利用导数求单调区间 21．（2024春•郫都区校级期末）函数的单调增区间是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•青羊区校级期末）函数的单调递减区间是　　 A．， B．， C．，， D．，，， 23．（2024春•仁寿县校级期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是　　 A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上存在极小值点 D．在，上有最大值 ( 题型0 5 ) 含参分类讨论求函数的单调区间 24．（2024春•仁寿县校级期末）设，． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若有恒成立，求的取值范围． 25．（2023秋•叙州区校级期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实根，，求证：． 26．（2024春•叙州区校级期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 27．（2024春•乐山期末）已知函数． （1）若，求函数在，（1）处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 28．（2023秋•合江县校级期末）已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）若，证明：当时，恒成立； （2）已知函数在上有三个零点，求实数的取值范围． ( 题型0 6 ) 函数单调区性的应用 29．（2024春•凉山州期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的最大值是　　 A．1 B． C． D． 30．（2024春•仁寿县校级期末）已知定义在上的函数满足，且（2），则的解集为　　 A． B． C． D． 31．（2024春•青羊区校级期末）已知，，，其中为自然对数的底数，则　　 A． B． C． D． 32．（2024春•仁寿县期末）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 33．（2024春•东坡区期末）已知函数，若，，，则　　 A． B． C． D． ( 题型0 7 ) 利用导数研究函数的极值 34．（2024春•东坡区期末）函数在处有极小值，则的值等于　　 A．0 B． C． D．6 35．（2024春•攀枝花期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是　　 A．在处取得最大值 B．在区间，上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 36．（2024春•宜宾期末）已知函数的极小值为，则　　 A．1 B． C．1或 D．0 37．（2024春•合江县期末）已知在处有极值0，则　　 A．11或4 B．或 C．11 D．4 38．（2023秋•翠屏区校级期末）若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 39．（2024春•东坡区期末）设，若为函数的极大值点，则　　 A． B． C． D． 40．（2024春•东坡区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）当时，求在，上的最小值； （Ⅲ）若在上存在零点，求的取值范围． 41．（2024春•达州期末）已知函数，． （1）求函数的极值； （2）曲线在处的切线方程为，证明：． ( 题型0 8 ) 利用导数研究函数的最值 42．（2024春•仁寿县期末）函数在区间，的最小值、最大值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 43．（2023春•雅安期末）已知，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 44．（2023春•雅安期末）当时，函数取得最小值1，则（1）　　 A． B． C． D． 45．（2023春•江油市校级期末）若，不等式成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 46．（2023春•自贡期末）已知函数，，，恒成立，则为　　 A． B．1 C． D． 47．（2023春•涪城区期末）已知函数，，若，，，，都有，则的取值范围为　　 A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 利用导数解决函数的综合问题 48．（2023春•资阳期末）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，，求的取值范围． 49．（2023春•遂宁期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围． 50．（2023春•江油市校级期末）已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，．如图所示． （1）求的单调区间； （2）求，，的值； （3）若函数有三个零点，求的取值范围． 51．（2023秋•青羊区校级期末）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求的取值范围； （3）对于任意，证明：． 52．（2024春•泸县期末）已知函数，． （Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上单调递减，求的取值范围： （Ⅲ）若，存在两个极值点，，证明：． 53．（2024春•仁寿县期末）已知函数． （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，，且，证明：． 54．（2024春•成都期末）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，， ①求的取值范围； ②证明：． 1．（2024春•攀枝花期末）已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）讨论函数的零点个数． 2．（2024春•宜宾期末）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 3．（2024春•仁寿县校级期末）已知函数． （1）若曲线在点在点，（1）处的切线方程为．求，． （2）当时，求证：． （3）若对任意的不等正数，，总有，求实数的取值范围． 4．（2024春•四川期末）已知函数，记． （1）判断的单调性； （2）若存在极值点，且， ①求的取值范围； ②求证：． 5．（2024春•绵阳期末）已知函数． （1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若无零点，求实数的取值范围； （3）若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用9种常考题型总结 题型概览 题型01变化率问题 题型02导数的运算 题型03导数的几何意义 题型04利用导数求单调区间 题型05含参分类讨论求函数的单调区间 题型06函数单调区性的应用 题型07利用导数研究函数的极值 题型08利用导数研究函数的最值 题型09利用导数解决函数的综合问题 ( 题型01 ) 变化率问题 1．（2024春•叙州区校级期末）某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：与时间（单位：存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 【解析】由，得，所以（2）， 即该小球在时的瞬时速度为． 故选：． 2．（2024春•泸县期末）某物体的运动路程（单位：与时间（单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为　　 A． B． C． D． 【解析】该物体在时间段，△上的平均速度为， 当△无限趋近于0时，△无限趋近于3，即该物体在时的瞬时速度为． 故选：． 3．（2020春•泸州期末）已知函数满足（1），（1），则函数在处的瞬时变化率为　　 A．1 B．2 C． D． 【解析】， ， 当时，（1）（1）． 故选：． 4．（2021春•绵阳期末）当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．如果使用杀菌剂小时后的细菌数量为，则细菌数量在时的瞬时变化率为　　 A． B．0 C．5 D．10 【解析】由，得， 所以（5）， 所以在时的瞬时变化率为0． 故选：． ( 题型02 ) 导数的运算 5．（2024春•仁寿县期末）已知函数的导函数为，且满足（e），则（e）　　 A． B． C． D． 【解析】由（e），得（e），则（e）（e），所以（e）， 故，所以（e）． 故选：． 6．（2024春•仁寿县校级期末）下列求导结果正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，故正确； 对于，故错误； 对于，故错误； 对于，故错误． 故选：． 7．（2024春•合江县期末）下列求导运算正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】，故选项正确； ，故选项错误； ，故选项错误； ，故选项错误． 故选：． 8．（2024春•仁寿县期末）下列求导数计算错误的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，故正确； 对于，故不正确； 对于，故正确； 对于，，故正确． 故选：． 9．（2024春•攀枝花期末）已知函数满足，则在处的导数为　　 A． B． C． D． 【解析】函数，求导得， 因此， 即， 所以． 故选：． 10．（2024春•仁寿县期末）已知函数，则（1）　　 A． B．1 C．4 D．2 【解析】因为函数， 所以， 所以（1）． 故选：． ( 题型03 ) 导数的几何意义 11．（2024春•绵阳期末）已知为函数的导函数，如图所示，则的大致图象为　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以单调递增，选项错误； 又因为在单调递减，可以得出的切线斜率逐渐变小，，选项错误；选项正确． 故选：． 12．（2024春•仁寿县期末）直线是曲线的一条切线，则实数的值为　　 A． B． C． D．1 【解析】曲线的导数为：， 由题意直线是曲线的一条切线，可知， 所以，所以切点坐标为， 因为切点在曲线上，所以． 故选：． 13．（2024春•成都期末）若函数，在点，（1）处的切线的斜率为1，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【解析】， 依题意，（1）， 则， 当且仅当，即时等号成立． 故选：． 14．（2024春•凉山州期末）函数的图像在点，（1）处的切线方程是　　 A． B． C． D． 【解析】， ， （1），（1）， 所求切线方程为． 故选：． 15．（2024春•成都期末）已知函数，则在点处的切线的斜率为　　 A．3 B．2 C．1 D． 【解析】， 则在点处的切线的斜率为． 故选：． 16．（2024春•叙州区校级期末）已知函数，若过可作两条直线与函数的图象相切，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，， ， 当点不在函数上时， 设切点为：，， 所以， 又因为切线过点， 所以切线方程为：， 代入， 得， 又因为过点可以作两条切线， 所以有两个解， 设， 所以直线与的图象有两个交点， 又因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以（1），， 所以或（舍； 当在函数上时， 将代入切线， 得，解得， 此时只有一条切线，不满足题意； 综上，． 故选：． 17．（2023秋•青羊区校级期末）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为　　 A． B． C． D． 【解析】时，，，且是偶函数，（1）， 设，则，， 时，，得（1）， 故曲线在处的切线方程为， 即． 故选：． 18．（2023秋•郫都区校级期末）已知曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，则实数的值为 　　． 【解析】， ，（1）， 又在点，（1）处的切线与直线垂直， （1）， ． 故答案为：． 19．（2024春•仁寿县期末）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【解析】（1）由，得 ，（2）， 曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，， 切线方程为， 切线经过原点， ， ，． 则， 所求的切线方程为； 切点为． 20．（2024春•仁寿县校级期末）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 　　． 【解析】设公切线与曲线和的切点分别为，，，其中， 对于有，则上的切线方程为，即， 对于有，则上的切线方程为，即， 所以，有，即， 令，， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，故，即． 正实数的取值范围是． 故答案为：． ( 题型04 ) 利用导数求单调区间 21．（2024春•郫都区校级期末）函数的单调增区间是　　 A． B． C． D． 【解析】，， ， 令得， 的单调增区间是． 故选：． 22．（2024春•青羊区校级期末）函数的单调递减区间是　　 A．， B．， C．，， D．，，， 【解析】的定义域是， ， 令，解得：， 故函数的递减区间是，， 故选：． 23．（2024春•仁寿县校级期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是　　 A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上存在极小值点 D．在，上有最大值 【解析】时，，故在上不单调，错误； 时，，故在上单调递减，正确； 时，，故在上单调递减，无极值点，不正确； 时，，在上单调递增，故在，上无最大值，不正确． 故选：． ( 题型0 5 ) 含参分类讨论求函数的单调区间 24．（2024春•仁寿县校级期末）设，． （1）当时，求的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若有恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）的定义域为， ，， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， ，（1）； （2）由，得， 当时，， 时，，单调递减， 时，，单调递增； 当时，，时，，单调递减， 时，，单调递增； 当时，①若，即， 时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增， ②若，即，，则在单调递增； ③若，即，时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 综上，当时，时，单调递减，时，单调递增； 当时，时，单调递减，时，单调递增； 当时，时，单调递增， 时，单调递减；时，单调递增， 当时，在单调递增； 当时，时，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增； （3）有恒成立，只需， 根据（2）的结论， 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减， 令，得，此时，； 当时，①若，即， 时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增； ②若，即，时，，单调递增； ③若，即，时，，单调递增， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 不论上述哪种情况，均有时，因此，不可能有恒成立，舍去． 综上，的取值范围为，． 25．（2023秋•叙州区校级期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实根，，求证：． 【解析】（1）函数的定义域为，，， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递增， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增； 当时，，在上单调递减， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减； 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减； （2）证明：令，则，是，即的两个实数根，即的两个实数根， 设，则，是函数的图象与直线交点所对应的横坐标，， 由（1）知，函数在单调递增，在单调递减， 作出函数的图象如下图所示， 过点作曲线的切线，则切线斜率为，则切线方程为， 令，解得，由图象可知； 过点作曲线的切线，则切线斜率为（e），则切线方程为， 令，解得，由图象可知； ，即，即得证． 26．（2024春•叙州区校级期末）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【解析】（1）因为，定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 证明：（2）由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令（a），则；令（a），则， 所以（a）在上单调递减，在上单调递增， 所以，则（a）恒成立， 所以当时，恒成立，证毕． 27．（2024春•乐山期末）已知函数． （1）若，求函数在，（1）处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，，求导得， 则（1），而（1）， 所以所求切线方程为，即； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为． 28．（2023秋•合江县校级期末）已知函数（其中为自然对数的底数）． （1）若，证明：当时，恒成立； （2）已知函数在上有三个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）证明：当时，，因，， 令，，求导得，即函数在上单调递减， ，，因此，当时，恒成立， 所以当时，恒成立． （2）依题意，，由，得，显然是函数的一个零点， 因函数在上有三个零点，则有两个都不是0的零点， ，当时，，函数在上单调递减，此时，在上最多一个零点，不符合题意， 当时，在上单调递减，，则当时，，当时，， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减，， 要有两个零点，必有，即，得， 因，则存在，使得，即函数在上有一个零点， 令，，求导得：，令，， 则函数在上单调递增，，（1），因此，函数在上单调递增， ，（1），即在时，恒成立，当时，在时恒有成立， 因此，，，，令，， 则， 于是得，则存在，使得， 即函数在上有一个零点，因此在上有一个零点， 从而得，当时，在上有两个零点，即函数在上有三个零点， 所以，即实数的取值范围是． ( 题型0 6 ) 函数单调区性的应用 29．（2024春•凉山州期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的最大值是　　 A．1 B． C． D． 【解析】因为在区间，上单调递增， 所以，在，上恒成立， 则，在，上恒成立， 令，，， ， 所以在，上，单调递减， 所以（2）， 所以， 所以， 所以的最大值为． 故选：． 30．（2024春•仁寿县校级期末）已知定义在上的函数满足，且（2），则的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】令，则，所以函数在区间上单调递减， 不等式可化为，即，解得． 故选：． 31．（2024春•青羊区校级期末）已知，，，其中为自然对数的底数，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，又， 所以，即，所以． 故选：． 32．（2024春•仁寿县期末）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】不等式， 构造函数， ，， ， 函数在上是增函数，又， 不等式看化为， 由函数单调性可知． 故选：． 33．（2024春•东坡区期末）已知函数，若，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】是偶函数， ，则在上是增函数， 设，则， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 又， 所以（4）（e）， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：． ( 题型0 7 ) 利用导数研究函数的极值 34．（2024春•东坡区期末）函数在处有极小值，则的值等于　　 A．0 B． C． D．6 【解析】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得，， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以． 故选：． 35．（2024春•攀枝花期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是　　 A．在处取得最大值 B．在区间，上单调递减 C．在处取得极大值 D．在区间上有2个极大值点 【解析】根据题意，由导函数的图象列表可得： ， ， 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 在处取得极小值，在处取得极大值，有2个极值， 在区间，上单调递增，正确． 故选：． 36．（2024春•宜宾期末）已知函数的极小值为，则　　 A．1 B． C．1或 D．0 【解析】易知的定义域为， 可得， 当时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值，不符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值， 解得． 故选：． 37．（2024春•合江县期末）已知在处有极值0，则　　 A．11或4 B．或 C．11 D．4 【解析】根据题意，， 函数在处有极值0， 且， ，或，， ，时恒成立，此时函数无极值点， ，， ． 故选：． 38．（2023秋•翠屏区校级期末）若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【解析】由题意得， 当时，在上存在极小值， 则，可得， 当时，即时， ，，即，可得， 当时，在无极小值． 综上可知实数的取值范围是． 故选：． 39．（2024春•东坡区期末）设，若为函数的极大值点，则　　 A． B． C． D． 【解析】令，解得或，即及是的两个零点， 当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示， 则； 当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示， 则； 综上，． 故选：． 40．（2024春•东坡区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）当时，求在，上的最小值； （Ⅲ）若在上存在零点，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当时，，定义域，， 令，则，变化时，，的变化情况如下表： 0 则，没有极小值； （Ⅱ）当时，，定义域，， 则， 令，定义域，，则， 则在，上是增函数，则（1），所以， 即在，上是增函数，则（1）； （Ⅲ），定义域：，， 令，定义域：，， ①当时，由（1）知在上是增函数，（1），不合题意； ②当时，在上是增函数，在上是增函数， 则在上是增函数，（1），不合题意， ③当时，，则在上是减函数，则（1）， 当时，，则在上是减函数，（1），不合题意； 当时，（e），则存在，使，即，变化时，，的变化情况如下表： ， 0 极大值 则（1），只需，即， 综上，的取值范围是． 41．（2024春•达州期末）已知函数，． （1）求函数的极值； （2）曲线在处的切线方程为，证明：． 【解析】（1）， 令，得或， 2 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，函数的极小值为； （2）证明：由（1）可知，，且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 要证明，即证明 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以，即， 所以，命题得证． ( 题型0 8 ) 利用导数研究函数的最值 42．（2024春•仁寿县期末）函数在区间，的最小值、最大值分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】，，， 则， 令得，或， 当，时，，单调递增；当时，，单调递减；当，时，，单调递增， 在区间，上的极大值为，极小值为， 又，， 函数在区间，的最小值为，最大值为， 故选：． 43．（2023春•雅安期末）已知，，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 构造函数，则，（b）， 即（b）， ，显然当时，，即在上单调递增； 因为，又，所以． 因为（b）， 所以． 则，即求的最大值， 因为，且，所以． 构造函数（a），． 则（a）， 令，解得， 当时，（a），（a）单调递增， 当，时，（a），（a）单调递减． 所以时，（a）取最大值， ， 故选：． 44．（2023春•雅安期末）当时，函数取得最小值1，则（1）　　 A． B． C． D． 【解析】当时，函数取得最小值1， ，， 因为， 所以，解得， 故，可得（1）． 故选：． 45．（2023春•江油市校级期末）若，不等式成立，则实数的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解析】因为， 此时不等式等价于， 可得， 即， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以函数在上单调递增， 此时， 即， 可得， 解得， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以（2）， 即， 所以． 故选：． 46．（2023春•自贡期末）已知函数，，，恒成立，则为　　 A． B．1 C． D． 【解析】已知，，函数定义域为， 不妨设，函数定义域为， 可得， 不妨设，函数定义域为， 可得， 所以函数在定义域上单调递增， 即函数在上单调递增， 当时， 因为（1）， 又， 所以， 此时， 则在区间，上存在一点，使得； 当时，， 可得（1）， 又， 所以在区间，上存在一点，使得； 当时， 不妨设， 易知， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值， 则，当且仅当时，等号成立， 此时， 所以在区间上存在一点，使得， 即， 综上，对任意，在区间上存在一点，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以 ， 整理得， 则， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值（1）， 故的最大值为． 故选：． 47．（2023春•涪城区期末）已知函数，，若，，，，都有，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由，，，，都有， 等价于， 由，则， 所以当，时，，单调递增， 当，时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，即为最大值， 所以， 所以在，上恒成立，即，，， 因此，，在，恒成立， 设，，， 所以单调递增，当时，， 当时，（1），则必然存在唯一的零点， 当时，， 故时，，递减，，时，，递增， 故， 故的取值范围是，． 故选：． ( 题型0 9 ) 利用导数解决函数的综合问题 48．（2023春•资阳期末）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，，求的取值范围． 【解析】（1）已知，函数定义域为， 当时，， 可得， 不妨设，函数定义域为 可得， 又（1）， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，，； 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数取得极小值，极小值（1），无极大值； （2）若，， 不妨设，函数定义域为，， 可得， 不妨设，函数定义域为，， 可得， 不妨设，函数定义域为，， 可得， 所以函数在定义域上单调递增， 此时， 当时，，，所以， 当，时，，所以， 此时 在，上恒成立， 则函数在定义域上恒成立， 所以在， 上单调递增， 当，即时，， 所以函数单调递增， 则恒成立，符合题意； 当，即时， 因为，， 所以在区间上存在一点，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，不符合题意， 综上，满足条件的的取值范围为，． 49．（2023春•遂宁期末）已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围． 【解析】（1）过点，且在点处的切线恰好与直线垂直， ， ，， ． （2）由题意得：， 解得或． 故的单调递增为，和，． 即或， 故或． 50．（2023春•江油市校级期末）已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，．如图所示． （1）求的单调区间； （2）求，，的值； （3）若函数有三个零点，求的取值范围． 【解析】（1）根据图象可知时，，即单调递减； 和时，，即单调递增； 故单调递减区间是；单调递增是和． （2）由已知可得：，和是的两个根， 由（1）可得的极大值在处取得，故， 解得：，，． （3）由（2）知，的极小值为：（4） 结合的单调性可作其草图，如下所示 函数有三个零点等价于与有三个交点，所以． 51．（2023秋•青羊区校级期末）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若时，，求的取值范围； （3）对于任意，证明：． 【解析】（1）的定义域为， 当时，，则， 令，则， 故当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增． 所以（1），即， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意知，， 令，则； 由（1）可知，若，则当时，， 若，则当时，有，符合题意； 若，则当时，，所以（1），单调递减， 则（1），与题意矛盾； 若，则当时，， 所以（1），单调递减， 此时（1），与题意矛盾， 综上，的取值范围是，． （3）证明：当时，由（2）可知，， 即，取， 可得 ， 即． 令，，，，累加可得 ． 另一方面，考虑函数，则， 在，上单调递减，则（1），于是． 取，可得， 整理得． 令，，，，累加可得． 综上，对于任意成立． 52．（2024春•泸县期末）已知函数，． （Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上单调递减，求的取值范围： （Ⅲ）若，存在两个极值点，，证明：． 【解析】（Ⅰ）由题意知：定义域为， （1），又（1）， 曲线在，（1）处的切线方程为； （Ⅱ），又在区间上单调递减， 在上恒成立，即在上恒成立， 在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，， ，即实数的取值范围是； 证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，满足，， 不妨设，则， ， 则要证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 在单调递减，又（1）， 当时，， ，即． 53．（2024春•仁寿县期末）已知函数． （1）求函数的极值； （2）若函数有两个零点，，且，证明：． 【解析】（1）函数的定义域为，． 当时，，在上是减函数，所以在上无极值； 当时，若，，在上是减函数． 当，，在上是增函数， 故当时，在上的极小值为． （2）证明：当时，， 由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点， 又，为函数零点，所以，要证，只需证． ， 又， ， 令， 则， 在上是增函数，（2），， ，即得证． 54．（2024春•成都期末）已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，， ①求的取值范围； ②证明：． 【解析】（1），定义域为，， 当时，，在递增； 当时，，，，， 在递增，在递减， 综上所述：当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为． （2）①有两个不同的零点，，有两个根，即有两个根， 令，则， 则时，，递增；时，，递减， 极大值为（1），当时，，当时，， 的范围为． ②若两个不同的零点，，， 两式作差得， ，要证，即证， 即证，同除，得到， 不妨设，令，则， 则证明，即证， 令，则， 则在上增，且（1），， ，得证． 1．（2024春•攀枝花期末）已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线与两坐标轴围成的三角形面积； （2）讨论函数的零点个数． 【解析】（1）当时，， 则，， 故， 则切线方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 所以曲线在点，处的切线与两坐标轴围成的三角形面积． （2）函数的定义域为， 则， 若，由得， 当时，，当时，， 则在单调递减，在单调递增，， 显然函数在上单调递增，（1）， 当时，（a），函数无零点； 当时，（1），函数有唯一零点； 当时，（a），当时，，， 则，，，于是，函数在上有一个零点， 当时，显然，， ， 因此，令，，求导得， 即在上单调递增，，于是， 从而函数在上有一个零点， 于是当时，函数有两个零点； 当时，，函数在上单调递减， 显然，当时，，， 则，，，， 于是，因此函数有唯一零点； 所以当或时，函数有1个零点；当时，有两个零点；当时，无零点． 2．（2024春•宜宾期末）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 当时，，当时，． 的单调递减区间为；单调递增区间为； （2）当时，，即对任意，成立． 设．． 当时，，知在单调递增， ，（1），不成立． 当时，，知在单调递减，，（1）成立． 当时，令． ，． ①若，即时，，知在单调递减，（1）， ，在单调递减，对任意时，（1）成立． ②若，即时，由可得，当时，， 于是，在单调递增，对任意时，（1），， 在单调递增，对任意时，（1）成不成立． 综上，，即的取值范围是． 3．（2024春•仁寿县校级期末）已知函数． （1）若曲线在点在点，（1）处的切线方程为．求，． （2）当时，求证：． （3）若对任意的不等正数，，总有，求实数的取值范围． 【解析】（1）易知的定义域为， 可得， 此时（1）， 又（1）， 所以曲线在点在点，（1）处的切线方程为， 即， 此时， 解得，； （2）证明：易知， 当时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 要证， 需证对恒成立， 即证对恒成立， 令，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以（1）， 所以对恒成立． 则当时，； （3）不妨设， 此时等价于， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 令，函数定义域为， 可得在上恒成立， 所以， 令，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当，时，，单调递减， 所以， 则， 解得． 故实数的取值范围为，． 4．（2024春•四川期末）已知函数，记． （1）判断的单调性； （2）若存在极值点，且， ①求的取值范围； ②求证：． 【解析】（1）由题知，即，则，为增函数， 当时，，在为增函数， 当时，函数的零点， 在区间，上，，则为减函数， 在区间，上，，则为增函数． 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在区间，上单调递减；在区间，上单调递增． （2）①， 当时，在区间为增函数， 所以，为区间上的增函数，不符合题意． 当时，在区间，为减函数，在区间，为增函数， 所以， 当时，，此时，增函数，无极值点，不合题意，舍去． 当时， 令， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，故， 若， 由且在区间，为增函数，则在为增函数， 所以，故在无零点，即无正数极值点． 若， 由得，又且， 所以存在，使得， 当，，为减函数，当，，为增函数， 所以是极小值点，即存在正数极值点． 综上所述，的取值范围是． ②证明：由（1）知，，则，其中， ， 令， 于是时，，单调递增，时，，单调递减， 故在处取得最大值，故，所以， 所以，． 5．（2024春•绵阳期末）已知函数． （1）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）若无零点，求实数的取值范围； （3）若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，则， 切线斜率为（1），又（1）， 所求切线方程为； （2）方法一：函数的定义域是， ， ①若，则，在上单调递增， ，， ，，，则， 则仅有一个零点，且零点位于，； ②当，则当时，当时， 所以在上单调递减，在单调递增； 因为的最小值为（a）， 若时，（a），此时无零点； 若时，（a），此时仅有一个零点； 若时，（a），，此时至少有一个零点； 综上所述，． 方法二：令，则， 设，则， 所以当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减， 的最大值为（1），且当趋于时趋于， 依题意与无交点，所以， 要使在定义域上无零点，则的取值范围为； （3）因为， 所以问题转化为在区间，有解， 令，即， 则， ①当时，，，时，，在，上单调递减， 此时，（1），不符合题意； ②当时， ，时，，在，上单调递减， （1），即时，，符合题意； ③当时， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， ，（1），符合题意； 综上所述，的取值范围为，． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$