专题01 数列5种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题01 数列5种常考题型总结 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项公式 题型03等差数列的前n项和 题型04等比数列的通项公式 题型05等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（2024春•乐山期末）已知数列1，，，，3，，按此规律，是该数列的　　 A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 （多选）2．（2024春•东坡区期末）数列满足，则　　 A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 3．（2024秋•南部县校级期末）数列的通项公式为，则数列中各项中最大项是　　 A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 （多选）4．（2024春•成都期末）已知数列的通项公式为，前项积为，则下列说法正确的是　　 A．在数列中，是最大项 B．在数列中，是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为9 5．（2023秋•南充期末）已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的　　 A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 ( 题型02 ) 等差数列的通项公式 6．（2024春•南充期末）在等差数列中，已知，，则　　 A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2024春•江阳区期末）已知等差数列中，，，则公差　　 A．4 B．3 C． D． 8．（2024春•成都期末）记等差数列的前项和为，已知，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024春•凉山州期末）在等差数列中，，，则数列的公差　　 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023秋•德阳期末）等差数列满足，，则　　 A．4 B．3 C． D．2 11．（2023秋•内江期末）若数列为等差数列且，，则数列的通项公式　　． 12．（2023秋•屏山县期末）已知数列、是等差数列，其中，且，，那么　　． 13．（2023秋•泸县校级期末）等差数列中，，则　　． ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 14．（2024春•眉山期末）已知等差数列的前项和为，，则　　 A．60 B．120 C．180 D．240 15．（2024春•绵阳期末）设等差数列的前项和为，已知，则　　 A．32 B．64 C．84 D．108 16．（2024春•龙马潭区期末）记为等差数列的前项和，若，，则　　 A．20 B．16 C．14 D．12 17．（2023秋•翠屏区校级期末）记为等差数列的前项和，，则　　 A．24 B．42 C．64 D．84 18．（2024春•青羊区校级期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•青羊区校级期末）设等差数列的前项和为，且，则的值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 20．（2023秋•西昌市期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 　　． （多选）21．（2024春•成都期末）等差数列的前项和为，，，则　　 A． B． C． D．当时，的最小值为16 （多选）22．（2024春•凉山州期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列选项正确的有　　 A． B．数列是递增数列 C．当时，取得最大值为225 D．的最小值为1 （多选）23．（2023秋•屏山县期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是　　 A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． （多选）24．（2024春•乐山期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D．最小值为 （多选）25．（2023秋•泸州期末）已知是公差为的等差数列，其前项和是，若，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 等比数列的通项公式 26．（2024春•攀枝花期末）已知等比数列满足，，则首项　　 A． B． C．1 D．2 27．（2023秋•西昌市期末）已知为等比数列，若，则的值为　　 A．2 B．4 C．8 D．16 28．（2023秋•内江期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 29．（2023秋•叙永县校级期末）设等比数列满足，，则 　　． 30．（2024春•达州期末）在等比数列中，，，则　　． 31．（2024春•乐山期末）数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项　　． 32．（2024春•南充期末）已知，若，，三个数成等比数列，则　　． ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 33．（2023秋•屏山县期末）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则　　 A．7 B．12 C．15 D．31 34．（2024春•合江县期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 35．（2024春•眉山期末）已知数列的前项和，则　　 A．9 B．10 C．11 D．12 36．（2024春•成都期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则　　 A．3 B．6 C．9 D．18 37．（2023秋•温江区校级期末）若数列满足，，则的值为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 38．（2023秋•泸州期末）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走的路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则此人　　 A．第二天走的路程占全程的 B．第三天走的路程为24里 C．第一天走的路程比第四天走的路程多144里 D．第五天和第六天共走路程18里 39．（2023秋•泸县校级期末）在数列中，，，则　　 A． B．765 C．1080 D．3105 40．（2024秋•泸县校级期末）数列的前项和为，　　． 1．（2024秋•资中县校级期末）数学上用“”表示连乘运算，例如：．设函数，记，，则使成立的的最小值为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 （多选）2．（2024秋•资中县校级期末）已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是　　 A．若是递增数列，则数列的前项和为 B．若是递增数列，则数列的前项和为 C．若各项均为正数，则 D．存在无穷多个不同的数列，使得 3．（2024秋•资中县校级期末）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，，，求，； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，，，，，使得数列为等比数列？请说明理由． 4．（2020春•宜宾期末）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数列5种常考题型总结 题型概览 题型01数列的概念 题型02等差数列的通项公式 题型03等差数列的前n项和 题型04等比数列的通项公式 题型05等比数列的前n项和 ( 题型01 ) 数列的概念 1．（2024春•乐山期末）已知数列1，，，，3，，按此规律，是该数列的　　 A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【解析】根据数列1，，，，3，， ，， 又， ，解得． 故选：． （多选）2．（2024春•东坡区期末）数列满足，则　　 A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 【解析】根据题意，因为， 则， 由，得到，且易知，时，，当时，， 所以， 所以数列的最大项为，最小项为， 故选：． 3．（2024秋•南部县校级期末）数列的通项公式为，则数列中各项中最大项是　　 A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【解析】函数是一个图象开口向下的二次函数， 所以具有最大值， 当时，函数有最大值，但是数列中的项数只能是正整数， 故取靠近对称轴的正整数4时，此数列取得最大值． 故选：． （多选）4．（2024春•成都期末）已知数列的通项公式为，前项积为，则下列说法正确的是　　 A．在数列中，是最大项 B．在数列中，是最小项 C．数列单调递减 D．使取得最小值的为9 【解析】， 所以当时，随着的增大越来越小且小于1， 当时，随着的增大越来越小且大于1， 则前项中最大项为，最小项为，故，选项正确； 当时，， 当时，，， 所以数列不是单调递减，选项错误； 前项积取得最小值时为9，故选项正确． 故选：． 5．（2023秋•南充期末）已知数列，根据该数列的规律，则是该数列的　　 A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【解析】因为，，，， 所以，取，得，即是该数列的第8项． 故选：． ( 题型02 ) 等差数列的通项公式 6．（2024春•南充期末）在等差数列中，已知，，则　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】由题意，根据等差中项的性质，有． ． 故选：． 7．（2024春•江阳区期末）已知等差数列中，，，则公差　　 A．4 B．3 C． D． 【解析】在等差数列 中，，， 因为，所以有， 解得． 故选：． 8．（2024春•成都期末）记等差数列的前项和为，已知，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题意，， ， 故选：． 9．（2024春•凉山州期末）在等差数列中，，，则数列的公差　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】等差数列中，，， 所以． 故选：． 10．（2023秋•德阳期末）等差数列满足，，则　　 A．4 B．3 C． D．2 【解析】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以． 故选：． 11．（2023秋•内江期末）若数列为等差数列且，，则数列的通项公式　　． 【解析】等差数列的公差为， ，， 则，解得， 故． 故答案为：． 12．（2023秋•屏山县期末）已知数列、是等差数列，其中，且，，那么　　． 【解析】数列、是等差数列， 则，， ，且，， ，， ． 故答案为：0． 13．（2023秋•泸县校级期末）等差数列中，，则　　． 【解析】由题意知，， 则由等差数列的性质得，，即， 所以， 故答案为：60． ( 题型03 ) 等差数列的前n项和 14．（2024春•眉山期末）已知等差数列的前项和为，，则　　 A．60 B．120 C．180 D．240 【解析】根据等差数列下标和性质可知，得， 所以． 故选：． 15．（2024春•绵阳期末）设等差数列的前项和为，已知，则　　 A．32 B．64 C．84 D．108 【解析】因为， 又，即，解得， 所以． 故选：． 16．（2024春•龙马潭区期末）记为等差数列的前项和，若，，则　　 A．20 B．16 C．14 D．12 【解析】等差数列中，，即， 因为， 所以，，， 所以． 故选：． 17．（2023秋•翠屏区校级期末）记为等差数列的前项和，，则　　 A．24 B．42 C．64 D．84 【解析】为等差数列的前项和，， ， ， 则． 故选：． 18．（2024春•青羊区校级期末）已知等差数列和的前项和分别为和，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，等差数列和的前项和分别为和， 设，，， 从而， ， 所以． 故选：． 19．（2023秋•青羊区校级期末）设等差数列的前项和为，且，则的值为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】由，可得， 则． 故选：． 20．（2023秋•西昌市期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为 　　． 【解析】由已知数列为等差数列， 则， 又， 所以， 则， 所以数列为递减数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 故答案为：8． （多选）21．（2024春•成都期末）等差数列的前项和为，，，则　　 A． B． C． D．当时，的最小值为16 【解析】由，得，故正确； 又，等差数列是递减数列，可得，故正确； 数列是递减数列，，则， 可得，故错误； ，当时，的最小值为16，故正确． 故选：． （多选）22．（2024春•凉山州期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列选项正确的有　　 A． B．数列是递增数列 C．当时，取得最大值为225 D．的最小值为1 【解析】因为，， 所以， 解得， 则，， ．令，则，选项正确； ．，数列是递减数列，因此数列是递增数列，选项错误 ．，当时，取得最大值为225，选项正确； ， 令， 则在时单调递增， 的最小值为（1），选项正确． 故选：． （多选）23．（2023秋•屏山县期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是　　 A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【解析】等差数列的前项和为， ，所以， ，所以，所以且， 所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值． 故正确，错误． 故选：． （多选）24．（2024春•乐山期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D．最小值为 【解析】依题意，，解得，， 对于，，错误； 对于，，正确； 对于，，正确； 对于，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数， 因此，正确． 故选：． （多选）25．（2023秋•泸州期末）已知是公差为的等差数列，其前项和是，若，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】是公差为的等差数列，其前项和是，，， ，，， ，故错误，正确； ，故正确； ， ，故错误． 故选：． ( 题型04 ) 等比数列的通项公式 26．（2024春•攀枝花期末）已知等比数列满足，，则首项　　 A． B． C．1 D．2 【解析】设等比数列的公比为， 由，，得， 所以，． 故选：． 27．（2023秋•西昌市期末）已知为等比数列，若，则的值为　　 A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】等比数列中，因为， 所以． 故选：． 28．（2023秋•内江期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】根据等比数列的性质可得， 又，所以， 所以． 故选：． 29．（2023秋•叙永县校级期末）设等比数列满足，，则 　　． 【解析】设等比数列的公比为， 可得，即，解得． 故答案为：1． 30．（2024春•达州期末）在等比数列中，，，则　　． 【解析】因为，又数列是等比数列，所以，所以， 由数列是等比数列，可得，又，所以， 所以． 故答案为：27． 31．（2024春•乐山期末）数列是各项均为正数的等比数列，满足，，则数列的通项　　． 【解析】设数列的公比为，则，且， 由已知得， 化简，得，解得， 所以． 故答案为：． 32．（2024春•南充期末）已知，若，，三个数成等比数列，则　　． 【解析】根据题意，若，，三个数成等比数列，则， 解可得：． 故答案为：． ( 题型0 5 ) 等比数列的前n项和 33．（2023秋•屏山县期末）设等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则　　 A．7 B．12 C．15 D．31 【解析】设公比为， ，，成等差数列，， 则，解得：或0（舍去）， ，，故． 故选：． 34．（2024春•合江县期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为， 则， 化简整理，得， 解得， ，． （2）由（1），可得， 则 ． 35．（2024春•眉山期末）已知数列的前项和，则　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【解析】当时，， 解得， 当时，， 故， 故． 故选：． 36．（2024春•成都期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则　　 A．3 B．6 C．9 D．18 【解析】设等比数列的公比为， 由成等差数列， 得，则， ，，解得． ． 故选：． 37．（2023秋•温江区校级期末）若数列满足，，则的值为　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【解析】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以，，， 所以． 故选：． 38．（2023秋•泸州期末）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走的路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则此人　　 A．第二天走的路程占全程的 B．第三天走的路程为24里 C．第一天走的路程比第四天走的路程多144里 D．第五天和第六天共走路程18里 【解析】设此人第天走了里路， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因为，解得，， 所以此人第二天走了96里路，，故错误； ， 所以此人第三天走了48里路，故错误； ，， 此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里，故错误； ，此人第五天和第六天共走了18里路，故正确． 故选：． 39．（2023秋•泸县校级期末）在数列中，，，则　　 A． B．765 C．1080 D．3105 【解析】是等差数列，， 由，解得． 故选：． 40．（2024秋•泸县校级期末）数列的前项和为，　　． 【解析】由． 可得：为奇数时，． 为偶数时，，又． 为偶数时，数列是等差数列，． ． 故答案为：2600． 1．（2024秋•资中县校级期末）数学上用“”表示连乘运算，例如：．设函数，记，，则使成立的的最小值为　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】， ， ， ，即，解得或， 又，所以使成立的的最小值为9． 故选：． （多选）2．（2024秋•资中县校级期末）已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是　　 A．若是递增数列，则数列的前项和为 B．若是递增数列，则数列的前项和为 C．若各项均为正数，则 D．存在无穷多个不同的数列，使得 【解析】数列的前项和为，且， 当时，，解得， 可得时，， 化为， 由是递增数列，可得，即有是等差数列，且， 则，， 则数列的前项和为，故错误； 若是递增数列，可得， 当为偶数时，数列的前项和为； 当为奇数时，数列的前项和为，故正确； 若各项均为正数，则，可得， ，相减可得，故正确； 由，，即有，或， 由，可得或，由， 可得，，，，为公差为1的等差数列， 若，与数列中的绝对值不超过2024矛盾， 所以不存在无穷多个不同的数列，使得，故错误． 故选：． 3．（2024秋•资中县校级期末）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3．设数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，，，求，； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，，，，，使得数列为等比数列？请说明理由． 【解析】（1），，，第一次“和扩充”后得到数列2，5，3，7，4， 第二次“和扩充”后得到数列2，7，5，8，3，10，7，11，4， ，； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列，，经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列，，经过1次“和扩充”后，得到，，，，，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即， 所以，即， 又因为，解得； （3）因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或． 4．（2020春•宜宾期末）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：． 【解析】（1）设等差数列的公差为，，依题意， ，解得． 从而的通项公式为； 证明：（2）， ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$