专题05 成对数据的统计分析4种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题05 成对数据的统计分析4种常考题型总结 题型概览 题型01相关系数 题型02线性回归方程 题型03非线性回归方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（2024春•乐山期末）对变量，由观测数据得散点图1；对变量，由观测数据得散点图2．表示变量，之间的线性相关系数，表示变量，之间的线性相关系数，则下列说法正确的是　　 A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 （多选）2．（2024春•四川期末）下列有关样本相关系数，叙述正确的是　　 A．的取值范围是， B．的取值范围是， C．越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D．越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 3．（2024春•合江县期末）下列命题中，真命题的是　　 A．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 B．若回归方程为，则变量与正相关 C．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为 D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 ( 题型02 ) 线性回归方程 4．（2024春•泸州期末）已知变量与的数据如表所示，若关于的经验回归方程是，则表中　　 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A．11 B．12 C．12.5 D．13 5．（2024春•德阳期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表： 温度 6 8 10 病毒数量（万个） 30 22 20 由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为时，病毒数量为　　 参考公式： A．12 B．10 C．9 D．11 6．（2024春•宜宾期末）在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是　　 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 7．（2024春•仁寿县校级期末）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表： 苗木长度 38 48 58 68 78 88 售价（元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8 若苗木长度与售价（元之间存在线性相关关系，其回归方程为，则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•南充期末）为了研究某校学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为　　 A．162 B．164 C．168 D．170 9．（2024春•泸县期末）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，现收集了该图书馆五年的借阅数据如表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 年借阅量（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据如表，可得关于的线性回归方程为，则　　 A．4.62 B．4.66 C．4.68 D．4.78 10．（2024春•四川期末）已知，之间的一组数据： 1 4 9 16 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为 　　． 11．（2024春•攀枝花期末）乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为 　　亿元． （多选）12．（2024春•郫都区校级期末）我国技术研发试验在年进行，分为关键技术试验、技术方案验证和系统验证三个阶段．2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月手机的实际销量，如下表所示： 月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月 月份编号 1 2 3 4 5 销量（部 50 96 185 227 若与线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是　　 A． B．与正相关 C．与的相关系数为负数 D．2022年7月该手机商城的手机销量约为365部 ( 题型03 ) 非线性回归方程 13．（2024春•东坡区期末）下列说法中正确的有　　 ①在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好 ②已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1 ③已知随机变量，若，，则 ④以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024春•仁寿县校级期末）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到关于的非线性回归方程，按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 　　万元．（结果用表示） 1 2 3 4 ( 题型04 ) 独立性检验 （多选）15．（2024春•锦江区校级期末）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为　　 A．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果没有差异 B．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果存在差异 C．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果没有差异 D．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果存在差异 16．（2024春•仁寿县校级期末）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如表：单位：人 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）依据的独立性检验，能否认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？ （2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件、是否独立，并说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中． 0.025 0.010 0.005 5.024 6.635 7.879 若，则，，． 17．（2024春•乐山期末）某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣． （1）完成下面列联表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 合计 （2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？ 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18．（2024春•泸县期末）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意” ，从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人） 满意 不满意 合计 男性 10 50 女性 60 合计 120 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中． 19．（2023秋•泸县校级期末）2025年我省将实行的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合． （1）若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“历政地”组合的概率； （2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求．随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中，的值，并判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？ 选择物理 选择历史 合计 男生 10 女生 30 合计 30 附：． 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 20．（2023秋•翠屏区校级期末）某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训．随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： （1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小数）； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）得分90分及以上为成绩优秀，完成下边列联表，并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关？ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 附：． 21．（2023秋•青羊区校级期末）2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查．统计整理数据得到如表的列联表； 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 女生 25 25 合计 100 （1）依据小概率值0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？ （2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈．求面对面访谈的女生中选择历史类的人数为2的概率． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 1．（2023秋•泸县校级期末）根据如下样本数据，得到回归直线方程，则　　 3 5 7 9 6 3 2 A． B．变量与正相关 C．可以预测当时， D．变量与之间是函数关系 （多选）2．（2024春•凉山州期末）下列说法正确的是　　 A．由样本数据得到的经验回归直线必经过样本点中心 B．若，则 C．若，则 D．和是分类变量，则值越大，则判断“与独立”的把握性越大 3．（2024春•东坡区期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天）和他们的数学成绩分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到； （2）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，，的方差为； （3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：， ． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（2023秋•叙州区校级期末）近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．我国新能源汽车行业取得的成就离不开国家政策的支持，为支持我国新能源汽车行业发展，国家出台了一系列政策，其中《新能源汽车产业发展规划年）》提出，到2025年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的左右，力争经过15年的持续努力，我国新能源汽车核心技术达到国际先进水平，质量品牌具备较强国际竞争力．某汽车城从某天开始连续的营业天数与新能源汽车销售总量（单位：辆）的统计数据如表所示． 从某天开始连续的营业天数 10 20 30 40 50 新能源汽车销售总量辆 62 68 75 81 89 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到； （2）求关于的线性回归方程，并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数， 线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，． 点拨：当越接近于1时，两个变量之间的线性相关关系越强） 5．（2024春•江阳区期末）给出以下四个命题： ①已知一组数据，，，，的方差为3，则，，，，的方差也为3； ②对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； ③已知随机变量服从正态分布，若，则； ④已知随机变量服从二项分布，若，则． 其中，真命题的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023春•安居区校级期末）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的所有可能取值个数是 　　个． 对工作满意 对工作不满意 男 女 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 7．（2023春•雅安期末）“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式．某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间分钟） 6 8 10 12 14 等候人数人） 15 18 20 24 23 （1）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数． 附：对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；． 8．（2023春•安居区校级期末）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，2，3，4，，数据如表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 甲型无人运输机指标数 2 4 5 6 8 乙型无人运输机指标数 3 4 4 4 5 （1）试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高） （2）从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率． 附：相关公式及数据：，． 9．（2022秋•游仙区校级期末）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种机器配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价（元件） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件 11 10 8 6 5 14.2 （1）根据1至5月份的数据，求出关于的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否理想？ （3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元件，那么该配件的销售单价应定为多少元件，才能获得最大利润？（注：销售利润销售收入成本）． 参考公式，．参考数据：，． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 成对数据的统计分析4种常考题型总结 题型概览 题型01相关系数 题型02线性回归方程 题型03非线性回归方程 题型04独立性检验 ( 题型01 ) 相关系数 1．（2024春•乐山期末）对变量，由观测数据得散点图1；对变量，由观测数据得散点图2．表示变量，之间的线性相关系数，表示变量，之间的线性相关系数，则下列说法正确的是　　 A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且 C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且 【解析】观察散点图，得变量与呈现正相关，变量与呈现负相关，错误； 图1中各点比图2中各点更加集中，相关性更好， 因此，正确，错误． 故选：． （多选）2．（2024春•四川期末）下列有关样本相关系数，叙述正确的是　　 A．的取值范围是， B．的取值范围是， C．越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D．越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 【解析】对于，样本相关系数的取值范围是，，正确，错误； 对于，越大，越接近于1，两变量的线性相关程度越强， 越小，越接近于0，两变量的线性相关程度越弱，正确，错误． 故选：． 3．（2024春•合江县期末）下列命题中，真命题的是　　 A．若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 B．若回归方程为，则变量与正相关 C．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为 D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【解析】对于选项：若样本数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为，故为真命题； 对于选项：因为，所以变量与负相关，项为假命题； 对于选项：根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关， 某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为，故为假命题； 对于选项：在线性回归分析中相关指数越接近于1，则模型的拟合效果越好，故为假命题． 故选：． ( 题型02 ) 线性回归方程 4．（2024春•泸州期末）已知变量与的数据如表所示，若关于的经验回归方程是，则表中　　 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A．11 B．12 C．12.5 D．13 【解析】，， 经验回归方程经过样本中心点， ， 解得． 故选：． 5．（2024春•德阳期末）高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表： 温度 6 8 10 病毒数量（万个） 30 22 20 由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为时，病毒数量为　　 参考公式： A．12 B．10 C．9 D．11 【解析】由题意可知，，， ， ， ， ， 回归方程为， 当时，， 即可以预测当温度为时，病毒数量为9万个． 故选：． 6．（2024春•宜宾期末）在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，模型1、2、3、4的决定系数依次为0.20，0.48，0.96，0.85，则其中拟合效果最好的模型是　　 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【解析】因为越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好， 所以这4个不同的模型拟合效果最好的模型是模型3． 故选：． 7．（2024春•仁寿县校级期末）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表： 苗木长度 38 48 58 68 78 88 售价（元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8 若苗木长度与售价（元之间存在线性相关关系，其回归方程为，则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为　　 A． B． C． D． 【解析】由表中数据可知，， ， 回归方程为， 则，解得， 故， 当时， 则，解得． 故选：． 8．（2024春•南充期末）为了研究某校学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为　　 A．162 B．164 C．168 D．170 【解析】由题意可知，，， 将代入得，， 又因为线性回归方程过点，， 所以， 解得， 所以线性回归方程为， 当时，． 故选：． 9．（2024春•泸县期末）某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，现收集了该图书馆五年的借阅数据如表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 年借阅量（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据如表，可得关于的线性回归方程为，则　　 A．4.62 B．4.66 C．4.68 D．4.78 【解析】由题意可知，，， 因为线性回归方程过点， 所以， 解得． 故选：． 10．（2024春•四川期末）已知，之间的一组数据： 1 4 9 16 5.5 4 3.5 3 若与满足回归方程，则的值为 　　． 【解析】依题意，的平均数为， 的平均数为， 所以此曲线必过点，代入方程得， 解得． 故答案为：． 11．（2024春•攀枝花期末）乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示： 第年 1 2 3 4 5 收入（单位：亿元） 3 8 10 14 15 由上表可得关于的近似回归方程为，则第6年该乡镇财政收入预计为 　　亿元． 【解析】因为：，，由线性回归方程一定经过样本中心点，可得： ，所以，即． 当时，． 故答案为：19． （多选）12．（2024春•郫都区校级期末）我国技术研发试验在年进行，分为关键技术试验、技术方案验证和系统验证三个阶段．2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月手机的实际销量，如下表所示： 月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月 月份编号 1 2 3 4 5 销量（部 50 96 185 227 若与线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是　　 A． B．与正相关 C．与的相关系数为负数 D．2022年7月该手机商城的手机销量约为365部 【解析】对，，， 因为点在回归直线上，所以， 解得，所以选项正确； 对，从表格数据看，随的增大而增大，所以与正相关，所以选项正确； 对，因为与正相关，所以与的相关系数为正数，所以选项错误； 对，2022年7月对应的月份编号，当时，， 所以2022年7月该手机商城的手机销量约为320部，所以选项错误． 故选：． ( 题型03 ) 非线性回归方程 13．（2024春•东坡区期末）下列说法中正确的有　　 ①在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好 ②已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为1.1 ③已知随机变量，若，，则 ④以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】对于①，在回归分析中，决定系数越大，残差平方和越小，说明回顾模型拟合的效果越好，故①正确； 对于②，当时，， 则该方程对应于点的残差为，故②正确； 对于③，因为，则，，解得，故③错误； 对于④，因为，所以， 令，所以， 又因为， 所以，，解得，，故④正确． 所以说法中正确的有3个． 故选：． 14．（2024春•仁寿县校级期末）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到关于的非线性回归方程，按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 　　万元．（结果用表示） 1 2 3 4 【解析】，两边同时取对数可得， 令， 则， 则，， 故，解得， 故， 当时，， 故． 故答案为：． ( 题型04 ) 独立性检验 （多选）15．（2024春•锦江区校级期末）某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到，则可以认为　　 A．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果没有差异 B．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果存在差异 C．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果没有差异 D．根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中，两种疗法的效果存在差异 【解析】零假设为：两种疗法相互独立，且两种疗法的效果没有差异， 因为，故根据小概率值的独立性检验，两种疗法的效果存在差异，故错误，正确； 因为，故根据小概率值的独立性检验，两种疗法的效果没有差异，故正确，错误． 故选：． 16．（2024春•仁寿县校级期末）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如表：单位：人 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 （1）依据的独立性检验，能否认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？ （2）现有足球、篮球、跳绳供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．记事件为“甲学生选择足球”，事件为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件、是否独立，并说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中． 0.025 0.010 0.005 5.024 6.635 7.879 若，则，，． 【解析】（1）零假设为：学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别独立， 由列联表，可得， 所以拒绝接受假设，故有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关． （2）①，，，则（A）（B）， 故事件、独立． ②训练后，，， 故预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数为． 17．（2024春•乐山期末）某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对游泳没有兴趣． （1）完成下面列联表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 女 合计 （2）依据的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？ 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）由题知对游泳有兴趣的总人数为， 又因为女生中有5人对游泳没有兴趣， 所以女生中对游泳有兴趣的人数为45人，男生中对游泳有兴趣的人数为35人， 所以男生中有15人对游泳没有兴趣， 故列联表如下表： 有兴趣 没有兴趣 合计 男 35 15 50 女 45 5 50 合计 80 20 100 （2）零假设：游泳兴趣跟性别无关， 由（1）知， 所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即能认为游泳兴趣跟性别有关． 18．（2024春•泸县期末）2024年1月4日，教育部在京召开全国“双减”工作视频调度会，会议要求进一步提高双减政治站位，将“双减”工作作为重中之重，坚定不移推进，成为受老师和家长关注的重要话题．某学校为了解家长对双减工作的满意程度进行问卷调查（评价结果仅有“满意”、“不满意” ，从所有参与评价的对象中随机抽取120人进行调查，部分数据如表所示（单位：人） 满意 不满意 合计 男性 10 50 女性 60 合计 120 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （1）请将列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，能否认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，从所有给出“满意”的家长中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性家长的人数，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中． 【解析】（1）根据题意，得到列联表如下： 满意 不满意 合计 男性 40 10 50 女性 60 10 70 合计 100 20 120 零假设：“对双减工作满意程度的评价与性别无关”， ， 即没有充分证据证明零假设不成立，所以没有的把握认为“对双减工作满意程度的评价与性别有关”． （2）从所有给出“满意”的家长中随机抽取1人为男性的概率为， 且各次抽取之间相互独立，所以随机变量， 所以， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 期望． 19．（2023秋•泸县校级期末）2025年我省将实行的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合． （1）若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“历政地”组合的概率； （2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求．随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中，的值，并判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？ 选择物理 选择历史 合计 男生 10 女生 30 合计 30 附：． 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【解析】（1）记物理为1，历史为2，政治、地理、化学、生物分别为3，4，5，6， 根据选科要求，基本事件如下：，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，共12种， 其中“历政地”组合为，3，， 所以该生恰好选到“历政地”组合的概率为； （2）依题意，， 由此补全列联表如下： 选择物理 选择历史 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 所以， 所以有的把握认为“选科与性别有关”． 20．（2023秋•翠屏区校级期末）某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训．随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如下统计图表： （1）写出线下培训茎叶图中成绩的中位数，估算在线培训直方图的中位数（保留一位小数）； 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）得分90分及以上为成绩优秀，完成下边列联表，并判断是否有的把握认为成绩优秀与培训方式有关？ 优秀 非优秀 合计 线下培训 在线培训 合计 附：． 【解析】（1）由题意，根据茎叶图的数据，可得线下培训的茎叶图的中位数是79， 因为，， 所以中位数落在，内，设其为， 则， 解得， 即估计在线培训中位数是84.3； （2）根据题意得列联表： 优秀 非优秀 合计 线下培训 5 35 40 在线培训 30 70 100 合计 35 105 140 ， 因为， 所以有的把握认为培训方式与成绩优秀有关． 21．（2023秋•青羊区校级期末）2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查．统计整理数据得到如表的列联表； 选物理类 选历史类 合计 男生 35 15 女生 25 25 合计 100 （1）依据小概率值0.05的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联？ （2）在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈．求面对面访谈的女生中选择历史类的人数为2的概率． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）由已知得列联表补充如下： 物理类 历史类 合计 男生 35 15 50 女生 25 25 50 合计 60 40 100 零假设为：选科分类与性别无关联， 因为， 根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立， 即认为选科分类与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05； （2）由已知，50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为， 因此抽取6名女生中，选择物理类和选择历史类的人数均为3名． 所以随机变量的取值为1，2，3， ， 即面对面访谈的女生中选择历史类的人数为2的概率为． 1．（2023秋•泸县校级期末）根据如下样本数据，得到回归直线方程，则　　 3 5 7 9 6 3 2 A． B．变量与正相关 C．可以预测当时， D．变量与之间是函数关系 【解析】对选项，由题意可得：，， 由回归直线过样本点的中心，得，解得，所以选项正确； 对选项，由，可知变量与负相关，所以选项错误； 对选项，当时，，所以选项错误； 对选项，变量与之间是相关关系，不是函数关系，所以选项错误． 故选：． （多选）2．（2024春•凉山州期末）下列说法正确的是　　 A．由样本数据得到的经验回归直线必经过样本点中心 B．若，则 C．若，则 D．和是分类变量，则值越大，则判断“与独立”的把握性越大 【解析】对于，由样本数据得到的经验回归直线必经过样本点中心，所以正确， 对于，因为，所以，所以正确， 对于，由，， 得，， 所以， 因为，所以， 所以，解得，所以错误， 对于，和是分类变量，则值越大，则判断“与独立”的把握性越小，所以错误． 故选：． 3．（2024春•东坡区期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天）和他们的数学成绩分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）． 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到； （2）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，，的方差为； （3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关． 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 附：， ． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1），， 又，3，1，的方差为， ． （2）由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合， ， ， 故， 当时，， 故预测每天谋后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分； （3）零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关， ， 因为，所以依据的独立性检验， 可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关． 4．（2023秋•叙州区校级期末）近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规模连续六年位居世界首位．我国新能源汽车行业取得的成就离不开国家政策的支持，为支持我国新能源汽车行业发展，国家出台了一系列政策，其中《新能源汽车产业发展规划年）》提出，到2025年，新能源汽车新车销售量达到汽车新车销售总量的左右，力争经过15年的持续努力，我国新能源汽车核心技术达到国际先进水平，质量品牌具备较强国际竞争力．某汽车城从某天开始连续的营业天数与新能源汽车销售总量（单位：辆）的统计数据如表所示． 从某天开始连续的营业天数 10 20 30 40 50 新能源汽车销售总量辆 62 68 75 81 89 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到； （2）求关于的线性回归方程，并预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数， 线性回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，． 【解析】（1），，，， 则相关系数 ， 因为与的相关系数近似为0.999，说明与的线性相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系．（点拨：当越接近于1时，两个变量之间的线性相关关系越强） （2）由（1）得，， 所以关于的线性回归方程为． 将代入， 得， 所以预测该汽车城连续营业130天的汽车销售总量为142辆． 5．（2024春•江阳区期末）给出以下四个命题： ①已知一组数据，，，，的方差为3，则，，，，的方差也为3； ②对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； ③已知随机变量服从正态分布，若，则； ④已知随机变量服从二项分布，若，则． 其中，真命题的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】对于①，若，则由方差性质知：，①正确； 对于②，回归直线过样本中心点，，解得：，②错误； 对于③，若，则，，③正确； 对于④，，，又，，解得，④错误． 故选：． 6．（2023春•安居区校级期末）某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的所有可能取值个数是 　　个． 对工作满意 对工作不满意 男 女 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】根据独立性检验思想可得，， 得， 因为且，所以或或或或或， 则的的取值个数为6个． 故答案为：6． 7．（2023春•雅安期末）“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式．某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据： 间隔时间分钟） 6 8 10 12 14 等候人数人） 15 18 20 24 23 （1）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数． 附：对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；． 【解析】（1）由题意，知，， ，，， 所以．又，则． 因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高， 所以可以用线性回归模型拟合与的关系． （2）由（1）可得，， 则， 所以关于的回归直线方程为， 当时，， 所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人． 8．（2023春•安居区校级期末）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，2，3，4，，数据如表所示： 地点1 地点2 地点3 地点4 地点5 甲型无人运输机指标数 2 4 5 6 8 乙型无人运输机指标数 3 4 4 4 5 （1）试求与间的相关系数，并利用说明与是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高） （2）从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率． 附：相关公式及数据：，． 【解析】（1），， 所以， 由于， 相关系数， 因为，所以与具有较强的线性相关关系． （2）将地点1，2，3，4，（5分）别记为，，，，，任抽2个地点的可能情况有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即，，种情况， 故所求概率为． 9．（2022秋•游仙区校级期末）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种机器配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 销售单价（元件） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件 11 10 8 6 5 14.2 （1）根据1至5月份的数据，求出关于的线性回归方程； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的线性回归方程是理想的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否理想？ （3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元件，那么该配件的销售单价应定为多少元件，才能获得最大利润？（注：销售利润销售收入成本）． 参考公式，．参考数据：，． 【解析】（1）根据1至5月份的数据，，， 又，， 所以，． 所以关于的线性回归方程为． （2）当时，，则， 所以，可以认为（1）中所得到的线性回归方程是理想的． （3）由题意可知，，显然，则．设销售利润为， 则， ．当时，取得最大值80． 故该配件的销售单价应定为7.5元件，才能获得最大利润． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$