专题04 随机变量及其分布6种常考题型总结（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 随机变量及其分布6种常考题型总结 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式与贝叶斯公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05二项分布 题型06正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（2024春•东坡区期末）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”， 表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则　　 A． B． C． D． 2．（2024春•仁寿县校级期末）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩．记事件：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件：甲和乙选择的景区不同，则条件概率　　 A． B． C． D． 3．（2024春•宜宾期末）若随机事件，满足，则　　 A． B． C． D． 4．（2024春•四川期末）已知，则（A）　　 A． B． C． D． 5．（2024春•攀枝花期末）设，为同一个随机试验中的两个随机事件，若（A），（B），，则　　 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 6．（2024春•南充期末）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为　　 A． B． C． D． 7．（2024春•乐山期末）一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是 　　． 8．（2024春•成都期末）袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为 　　 ． ( 题型02 ) 全概率公式与贝叶斯公式 （多选）9．（2024春•仁寿县校级期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是　　 A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D．小明获得4块月饼的概率是 10．（2024春•仁寿县校级期末）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，，甲、乙两台车床的正品率分别为，．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为　　 A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945 11．（2024春•泸县期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．则第二次抽到红球的概率是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•宜宾期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的次品率依次为、、，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、、，任取一个零件，则它是次品的概率为 　　． （多选）13．（2024春•德阳期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为，乙、丙加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的、、，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有　　 A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为 （多选）14．（2024春•四川期末）在一个大型公司中，技术部门员工占，非技术部门员工占．在技术部门中，有的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是　　 A．抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为 B．抽到的员工持有硕士学位的概率为 C．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为 D．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为 （多选）15．（2024春•合江县期末）甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用，表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 （多选）16．（2024春•仁寿县校级期末）设随机变量的分布列为，则　　 A． B． C． D． 17．（2024春•仁寿县期末）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列． 18．（2024春•江阳区期末）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有3个项目，每项需花费2小时，类有3个项目，每项需花费3小时，类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为小时，求的分布列． ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望与方差 19．（2023秋•郫都区校级期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为，则　　 A． B． C． D． 20．（2024春•仁寿县校级期末）已知随机变量的分布列为，则　　 0 1 2 A． B． C． D． 21．（2024春•仁寿县期末）已知随机变量的分布列如表所示： 0 其中，若，且，则　　 A．， B．， C．， D．， 22．（2024春•德阳期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用表示取出的两个球中白球的个数，则的数学期望　　． 23．（2024春•绵阳期末）已知随机变量的分布列如表： 1 2 若，则　　． 24．（2024春•成都期末）设随机变量的方差，则的值为 　　． ( 题型0 6 ) 二项分布 25．（2024春•攀枝花期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，1，2，，，若是唯一的最大值，则的值为　　 A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 26．（2024春•绵阳期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为　　 A． B． C． D． 27．（2024春•宜宾期末）若随机变量，且，则　　． （多选）28．（2024春•青羊区校级期末）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是　　 A．服从超几何分布 B．服从二项分布 C． D．若，则 （多选）29．（2024春•成都期末）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第次传球后，球在甲手中的概率为．则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•四川期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． ①求的方差； ②当为何值时，的值最大？ 31．（2024春•东坡区期末）眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． 分别求甲队总得分为0分，2分的概率； 求甲队得2分乙队得1分的概率． ( 题型0 7 ) 正态分布 32．（2024春•凉山州期末）为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为　　 参考数据：，， A． B． C． D． 33．（2024春•仁寿县校级期末）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：服从正态分布，，其中果实横径落在，的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为　　 （若，则， A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545 34．（2024春•四川期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量（单位：克）服从正态分布，则概率为　　 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 35．（2024春•攀枝花期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　 A． B． C． D． 36．（2024春•仁寿县期末）已知随机变量，，则等于　　 A．0.85 B．0.15 C．0.35 D．0.30 37．（2024春•乐山期末）某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是　　名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A．456 B．1587 C．3174 D．8413 38．（2024春•南充期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 39．（2023秋•翠屏区校级期末）某校高三年级进行了高考适应性测试，考生的数学成绩服从正态分布，且成绩位于分的人数，成绩低于80分或高于100分的人数，成绩低于100分的人数构成等差数列，现从所有考生中任选一人，其数学成绩高于100分的概率为 　　． （多选）40．（2024春•东坡区期末）某厂生产一批零件，单个零件的尺寸（单位：厘米）服从正态分布，则（附，，　　 A． B． C． D． 1．（2024春•江阳区期末）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立．在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩的期望，方差，则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 　　人． （多选）2．（2024春•攀枝花期末）甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：，其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． （多选）3．（2024春•乐山期末）设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•仁寿县校级期末）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答． （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 5．（2024春•凉山州期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由、、三名导师负责．首先由、两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过、、三位导师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． （1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她经过了复合审查的概率； （2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为，求的分布列和数学期望． 6．（2023秋•翠屏区校级期末）某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分． （1）求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）； （2）当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布6种常考题型总结 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式与贝叶斯公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望与方差 题型05二项分布 题型06正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（2024春•东坡区期末）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”， 表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则　　 A． B． C． D． 【解析】（A），， ． 故选：． 2．（2024春•仁寿县校级期末）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩．记事件：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件：甲和乙选择的景区不同，则条件概率　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，个数为， 事件，同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为， 故． 故选：． 3．（2024春•宜宾期末）若随机事件，满足，则　　 A． B． C． D． 【解析】（A）（B）， ， ， ． 故选：． 4．（2024春•四川期末）已知，则（A）　　 A． B． C． D． 【解析】， ， （A）． 故选：． 5．（2024春•攀枝花期末）设，为同一个随机试验中的两个随机事件，若（A），（B），，则　　 A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【解析】由（A），得， 由， 得，所以． 故选：． 6．（2024春•南充期末）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】设事件表示“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到黑球”， 则（A），， 所以． 故选：． 7．（2024春•乐山期末）一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是 　　． 【解析】记事件 “一个是白球”，则， 事件 “另一个是白球”，则， 由条件概率公式得， 则任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率为． 故答案为：． 8．（2024春•成都期末）袋子中有若干除颜色外完全相同的黑球和白球，在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为，第一次摸到白球且第二次摸到黑球的概率为，则第一次摸到白球的概率为 　　 ． 【解析】设事件表示“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到黑球”， 则，， 又因为， 所以（A）． 故答案为：． ( 题型02 ) 全概率公式与贝叶斯公式 （多选）9．（2024春•仁寿县校级期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是　　 A．在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是 B．第二次抽到红球的概率是 C．如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为 D．小明获得4块月饼的概率是 【解析】记事件，分别表示第一次、第二次取到球，，2，3，分别对应红球、黄球、绿球， 对于选项，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项正确； 对于选项，因为，又，，， 由全概率公式知，所以选项错误， 对于选项，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 所以选项正确， 对于选项，若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是，故选项正确， 故选：． 10．（2024春•仁寿县校级期末）有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，，甲、乙两台车床的正品率分别为，．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为　　 A．0.93 B．0.934 C．0.94 D．0.945 【解析】甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，，甲、乙两台车床的正品率分别为，， 则取到正品的概率为：． 故选：． 11．（2024春•泸县期末）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球．小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球．则第二次抽到红球的概率是　　 A． B． C． D． 【解析】第一次抽到红球的概率为， 第一次抽到黄球的概率为， 第一次抽到绿球的概率为， 故第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球，第二次抽到红球的概率是． 故选：． 12．（2024春•宜宾期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台车床加工的次品率依次为、、，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的、、，任取一个零件，则它是次品的概率为 　　． 【解析】依题意，设事件 “零件为第台车床加工” ，2，，事件 “零件为次品”， 所以（B） ． 故答案为：0.037． （多选）13．（2024春•德阳期末）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为，乙、丙加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的、、，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有　　 A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为 【解析】对于，因为甲加工的零件数分别占总数的， 所以该零件出自于甲加工的概率为0.25，故正确； 对于，该零件是次品的概率为，故正确； 对于，若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为，故错误； 对于，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为，出自于丙加工的概率为， 所以甲、乙、丙的罚款额之比为，故正确． 故选：． （多选）14．（2024春•四川期末）在一个大型公司中，技术部门员工占，非技术部门员工占．在技术部门中，有的员工持有硕士学位，而在非技术部门中，只有的员工持有硕士学位．现从该公司随机抽取一名员工．则下列结论正确的是　　 A．抽到的员工是技术部门且持有硕士学位的概率为 B．抽到的员工持有硕士学位的概率为 C．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是技术部门的概率为 D．若抽到的员工持有硕士学位，则该员工是非技术部门的概率为 【解析】用，分别表示抽到的技术部门员工、非技术部门员工，用表示抽到的员工持有硕士学位， 依题意，，，，， 对于，，正确； 对于，，错误； 对于，，错误； 对于，，正确． 故选：． （多选）15．（2024春•合江县期末）甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用，表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，故错误； 在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，故正确； ，，，， （B），故正确； ，， 则（C），故正确． 故选：． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 （多选）16．（2024春•仁寿县校级期末）设随机变量的分布列为，则　　 A． B． C． D． 【解析】随机变量的分布列为， 则，即，故正确； 由可知，， ，故正确； ，，，，故错误， 故，故正确． 故选：． 17．（2024春•仁寿县期末）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． （1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列． 【解析】（1）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． 每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为， 由题意可知的可能取值为0，1，2，3，，3，， ，，，， 所以，的分布列为： 0 1 2 3 （2）每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为， 有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为， 由题意可知的可能取值为0，1，2，3，， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 18．（2024春•江阳区期末）某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有3个项目，每项需花费2小时，类有3个项目，每项需花费3小时，类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目的选择机会均等． （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为小时，求的分布列． 【解析】（1）根据题意，记事件为“在三类中各选1个项目”， 则在三类项目中各选一个，有种选法， 从8个项目中随机选择3个项目，有种选法， 则， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为； （2）由题知的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则，， ，， ，， 所以的分布列为 4 5 6 7 8 9 ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望与方差 19．（2023秋•郫都区校级期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，的取值可能为，0，2， 因为， ， ， 所以， 故． 故选：． 20．（2024春•仁寿县校级期末）已知随机变量的分布列为，则　　 0 1 2 A． B． C． D． 【解析】由题可知，解得， 则， 所以． 故选：． 21．（2024春•仁寿县期末）已知随机变量的分布列如表所示： 0 其中，若，且，则　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】因为，所以， ， 所以，因为， ， 综上：，． 故选：． 22．（2024春•德阳期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用表示取出的两个球中白球的个数，则的数学期望　　． 【解析】口解：袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用表示取出的两个球中白球的个数， 则的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的数学期望． 故答案为：． 23．（2024春•绵阳期末）已知随机变量的分布列如表： 1 2 若，则　　． 【解析】依题意， 解得， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 24．（2024春•成都期末）设随机变量的方差，则的值为 　　． 【解析】因为， 所以． 故答案为：18． ( 题型0 6 ) 二项分布 25．（2024春•攀枝花期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，1，2，，，若是唯一的最大值，则的值为　　 A．5.6 B．6.4 C．7.2 D．8 【解析】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此，所以． 故选：． 26．（2024春•绵阳期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】赞成栽种乙树木的人数设为，则． 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为： ． 故选：． 27．（2024春•宜宾期末）若随机变量，且，则　　． 【解析】随机变量，且， 则，解得． 故答案为：． （多选）28．（2024春•青羊区校级期末）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是　　 A．服从超几何分布 B．服从二项分布 C． D．若，则 【解析】对于，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为， 所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量服从二项分布，所以错误，正确； 对于，因为，所以，所以错误， 对于，因为，所以． 所以，所以正确． 故选：． （多选）29．（2024春•成都期末）甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第次传球后，球在甲手中的概率为．则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知，，， 故正确， 则， 所以，即，故错误， 由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即， 所以，故错误， ，故正确． 故选：． 30．（2024春•四川期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． （1）求一次数据能被软件准确分析的概率； （2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为． ①求的方差； ②当为何值时，的值最大？ 【解析】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件， 由题意可知：， 则， 所以， 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75； （2）由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是， 所以当时，最大，即时，的值最大． 31．（2024春•东坡区期末）眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方．在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化“知识竞赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． 分别求甲队总得分为0分，2分的概率； 求甲队得2分乙队得1分的概率． 【解析】（Ⅰ）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件， 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率（A）； 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率（B）； （Ⅱ）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件； 事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对， 则（C） 甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生， 则（D）（B）（C）． ( 题型0 7 ) 正态分布 32．（2024春•凉山州期末）为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为　　 参考数据：，， A． B． C． D． 【解析】本次演讲比赛的成绩服从， 则，， 所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为 故选：． 33．（2024春•仁寿县校级期末）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：服从正态分布，，其中果实横径落在，的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为　　 （若，则， A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545 【解析】服从正态分布，， ，， ， ． 故选：． 34．（2024春•四川期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量（单位：克）服从正态分布，则概率为　　 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【解析】因为，， 则，， 所以． 故选：． 35．（2024春•攀枝花期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】由随机变量服从正态分布，得，而， 则， 所以． 故选：． 36．（2024春•仁寿县期末）已知随机变量，，则等于　　 A．0.85 B．0.15 C．0.35 D．0.30 【解析】由随机变量，得， ， 则． 故选：． 37．（2024春•乐山期末）某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是　　名． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． A．456 B．1587 C．3174 D．8413 【解析】由题知，，所以， 得到， 故， 得到学生甲的名次大致是． 故选：． 38．（2024春•南充期末）已知随机变量服从正态分布，且，则　　 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【解析】因为，且， 所以， 所以． 故选：． 39．（2023秋•翠屏区校级期末）某校高三年级进行了高考适应性测试，考生的数学成绩服从正态分布，且成绩位于分的人数，成绩低于80分或高于100分的人数，成绩低于100分的人数构成等差数列，现从所有考生中任选一人，其数学成绩高于100分的概率为 　　． 【解析】设成绩位于分的概率为，成绩低于80分或高于100分的概率为，成绩低于100分的概率为， 则，， 设总人数为人，由题意可得，即， 所以，解得， 所以成绩高于100分的概率为． 故答案为：． （多选）40．（2024春•东坡区期末）某厂生产一批零件，单个零件的尺寸（单位：厘米）服从正态分布，则（附，，　　 A． B． C． D． 【解析】由题意得，， ，故正确； ，故错误； ，故正确； ，故正确． 故选：． 1．（2024春•江阳区期末）若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立．在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩的期望，方差，则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过 　　人． 【解析】取，，所以或， 又因为， 所以， 即估计分数不低于100分的学生不超过（人． 故答案为：10． （多选）2．（2024春•攀枝花期末）甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为和（单位：，其分布列为 甲品牌的走时误差分布列 0 1 0.1 0.8 0.1 乙品牌的走时误差分布列 0 1 2 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，，，故正确； 对于，，，故正确； 对于，，故正确； 对于，，故错误． 故选：． （多选）3．（2024春•乐山期末）设离散型随机变量满足，则下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】因为离散型随机变量满足， 所以， 对于，，故正确； 对于，，故正确； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 故选：． 4．（2024春•仁寿县校级期末）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答． （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【解析】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率为： ． （2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3， ，，， 的分布列为： 1 2 3 ， ． （3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3，则， ，， ，， 甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 5．（2024春•凉山州期末）某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由、、三名导师负责．首先由、两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过、、三位导师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响． （1）在某歌手通过晋级的条件下，求他（她经过了复合审查的概率； （2）从参赛歌手中选出3人，设其中通过晋级的人数为，求的分布列和数学期望． 【解析】（1）设事件老师表示通过，事件老师表示通过，事件老师表示通过， 事件歌手通过晋级，事件歌手经过复审，则， （D）， ，因此，， 所以它经过了复审的概率为． （2）依题意，的可能取值为0，1，2，3，显然，， 则， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为． 6．（2023秋•翠屏区校级期末）某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分． （1）求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）； （2）当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望． 【解析】（1）某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的情况为： ①三次游戏都获得5分； ②两次游戏获得5分，一次游戏获得10分； ③一次游戏获得5分，两次游戏获得10分； 所以其概率为：； （2）依题意，记一轮游戏累计积分为， 而某人在一轮游戏中累计积分在区间内的情况有45分和50分两种情况， 则，， 记某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率为， 则，， 则， 令，得； 令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 此时每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为， 由题意可知的所有可能取值为15，20，25，30，35，40，45，50，60， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的数学期望为 ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$