1.2提公因式法（题型专练）数学湘教版2024八年级上册

1.2 提公因式法 （4大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 找公因式 题型二 提公因式法分解因式 题型三 利用提公因式法分解因式变形求值 题型四 利用提公因式法分解因式变形进行简便运算 能力提升练 题型一 利用提公因式法分解因式变形证明整除问题 题型二 提公因式法分解因式变形的错题复原问题 题型一 找公因式 1．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 2．多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 4．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 6．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 7．将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 8．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和B．和C．和 D．和 题型二 提公因式法分解因式 9．把下列各式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 13．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 利用提公因式法分解因式变形求值 14．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 15．已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 16．已知实数x，y，满足，，则的值为 ． 17．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 18．先因式分解，再计算求值：，． 19．已知：．求的值． 题型四 利用提公因式法分解因式变形进行简便运算 20．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2024 D．2025 21．计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 22．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 23．能被下列数整除的是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 24．简便计算： (1)； (2)． 题型一 利用提公因式法分解因式变形证明整除问题 25．若n为正整数，试说明一定能被3整除． 26．【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为，若是的整数倍，则是的整数倍． 注： 举例：对于三位数，割掉末位数字得，，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断能否是的整数倍． (2)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这种方法的正确性． 27．命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明． 题型二 提公因式法分解因式变形的错题复原问题 28．下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式 …………………第一步 …………………第二步 ………………第三步 (1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的因式分解的过程． 29．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 30．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：． 解：原式 ． (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)分解因式：； (3)猜想：分解因式的结果是_____． 31．【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 32．【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示） 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 提公因式法 （4大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 找公因式 题型二 提公因式法分解因式 题型三 利用提公因式法分解因式变形求值 题型四 利用提公因式法分解因式变形进行简便运算 能力提升练 题型一 利用提公因式法分解因式变形证明整除问题 题型二 提公因式法分解因式变形的错题复原问题 题型一 找公因式 1．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 2．多项式（，均为大于1的整数）各项的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了公因式，直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式． 【详解】解：， ∴各项的公因式是， 故选B． 3．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 4．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：D． 5．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 6．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 7．将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；需要注意：公因式必须是每一项中都含有的因式；公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提的公因式是， 故选：． 8．下列多项式中，没有公因式的是（  ） A．和B．和C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案． 【详解】解：A、和有公因式，不符合题意； B、和没有公因式，符合题意； C、和有公因式，不符合题意； D、和有公因式，不符合题意； 故选：B． 题型二 提公因式法分解因式 9．把下列各式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查提公因式分解因式，熟练掌握用提公因式法分解因式是解题的关键． 按提公因式分解因式并判定A；按提公因式分解因式并判定B；按提公因式分解因式并判定A；按提公因式分解因式并判定A； 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 10．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化． 将变形为，再提公因式即可． 【详解】解： 故选：B． 11．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟记利用提公因式法分解因式的方法是解决问题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式即可得到答案； （3）利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提取公因式法直接分解因式即可； （2）利用提取公因式法直接分解因式即可； （3）利用提取公因式法直接分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 13．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 题型三 利用提公因式法分解因式变形求值 14．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 15．已知，，则的值为（   ） A． B．84 C． D．300 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，整式的因式分解，先整理，把，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：D． 16．已知实数x，y，满足，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式，求解代数式的值，由条件可得，再把代入计算即可. 【详解】解：． ， ∴， 故答案为4. 17．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 18．先因式分解，再计算求值：，． 【答案】，6 【分析】本题考查因式分解求值，直接提取公式因式分解，再代入求解即可得到答案． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 19．已知：．求的值． 【答案】 【分析】先求解 再把化为再整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∴ 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，掌握“利用提公因式法分解因式，再整体代入求解代数式的值”是解本题的关键． 题型四 利用提公因式法分解因式变形进行简便运算 20．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，先整理原式，再运算括号内，即可作答． 【详解】解：， 故选：C． 21．计算的结果为（    ） A．2024 B．20240 C．202400 D．2024000 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 22．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 23．能被下列数整除的是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，将2025拆成是解本题的关键． 先将算式因式分解，找到含有选项的因数即可． 【详解】解： 能被7整除． 故选：C． 24．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用， （1）先提出公因式数，然后在进行计算即可； （2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可； 利用提公因式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型一 利用提公因式法分解因式变形证明整除问题 25．若n为正整数，试说明一定能被3整除． 【答案】见解析 【分析】此题考查因式分解的运用，首先利用提取公因式法进行因式分解，根据数据特点，进一步证得结论即可． 【详解】解：原式 ， ∴一定能被3整除． 26．【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为，若是的整数倍，则是的整数倍． 注： 举例：对于三位数，割掉末位数字得，，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断能否是的整数倍． (2)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这种方法的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分解因式及其应用，解题关键是正确理解题意． （1）按照已知条件的举例和方法进行解答即可； （2）按照多位数的表示方法表示出和，利用是的整数倍，设（为正整数），得，再整体代入即可解决． 【详解】（1）解：对于三位数，割掉末位数字得， ， 因为是的整数倍， 所以是的整数倍； （2）解：由题意，得：，， ∵是的整数倍， 设（为正整数）， ∴， ∴ ， ∴是的整数倍． 27．命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】要判断命题是真命题还是假命题，只需代数式是否能分解成含因数3的整式． 【详解】命题是真命题，理由如下： ， 由n是自然数可知，是自然数， 则是3的倍数， 即代数式的值是3的倍数， 命题是真命题． 【点睛】本题考查命题与定理、因式分解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二 提公因式法分解因式变形的错题复原问题 28．下面是小颖因式分解的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式 …………………第一步 …………………第二步 ………………第三步 (1)小颖的因式分解过程从第_____步开始出现错误； (2)请写出正确的因式分解的过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式： （1）公因数不同，所以第一步出现错误； （2）根据因式分解计算即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ∴在第一步就出现了错误， 故答案为：一； （2）解： ． 29．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【答案】（1）；变式题：；（2） 【分析】本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式． （1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题； 变式题：根据将代入求解，即可解题； （2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题． 【详解】解：（1）． 把，代入上式， 原式． 变式题：，， ，即， 故答案为：． （2）原式． 把，代入上式， 原式． 30．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： 分解因式：． 解：原式 ． (1)上述分解因式的方法是_______，共应用了_______次； (2)分解因式：； (3)猜想：分解因式的结果是_____． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解题的关键． （1）由题干提示的分解因式的方法可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次． 故答案为：提公因式法，2； （2）原式 ； （3）原式 ． 故答案为：． 31．【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． 【验证】嘉嘉说：是“4倍数”，淇淇说：也是“4倍数”，通过简便计算判断他们说得对错？ 【证明】设三个连续偶数的中间数是（n是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误 证明：证明见解析 【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； 证明：利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】解：验证： ， 是“4倍数”，故嘉嘉的说法正确； ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； 证明： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 32．【观察思考】 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6，…时，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9，…时，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数． 【规律发现】 （1）图1中，第个三角形数是______；图2中，第个正方形数是______；（请用含的式子表示） 【猜想验证】 （2）毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题主要考查图形的变化规律，整式的乘法，因式分解,正确找出图形的规律是解题的关键． （1）根据题意得出第n个三角形数为，第n个正方形数为，据此可得答案； （2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数，列出代数式并应用因式分解，即得答案． 【详解】（1）由题意知第n个三角形数为， 第n个正方形数为； 故答案为：，． （2）设任意两个三角形数为第k个数和第个数， 则 ， 所以任意第k个数和第个三角形数之和恰等于第个正方形数； 即任意两个相邻三角形数之和是正方形数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$