1.3公式法（题型专练）数学湘教版2024八年级上册

1.3 公式法 （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式变形 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合运用提公因式法和公式法分解因式 题型六 因式分解在实数简便运算中的应用 能力提升练 题型一 公式法分解因式变形的错题复原问题 题型二 利用分解因式变形求值 题型三 整体思想在因式分解中的应用 题型一 判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 3．要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A.是完全平方公式因式分解，不合题意； B.不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； C.，不能用平方差公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D. ，能用平方差公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．因式分解“”得，则“”是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式，用平方差公式展开，根据对应项相等即可求解，解题的关键是熟悉平方差公式． 【详解】解：∵， ∴“”是， 故选：． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 6．下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：． 【详解】解：（1），符合题意； （2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； （4），符合题意； 故选：B． 7．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 8．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟知平方差公式的形式是解题关键．根据平方差公式的形式：，完全平方公式：，逐项判断即得答案． 【详解】解：A、，应用提公因式法分解因式，本选项不符合题意； B、不能进行因式分解，本选项不符合题意； C、能用平方差公式进行因式分解，本选项符合题意； D、，不能进行因式分解，本选项不符合题意． 故选：C． 9．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 10．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）不能，这是平方和；（2）能，；（3）能，；（4）不能，这是平方和的相反数 【分析】根据平方差公式＝（a＋b）（a−b）逐项判定可求解． 【详解】（1）两项符号相同，是平方和，不能用平方差公式分解因式， （2）符合平方差公式， （3）符合平方差公式， （4）两项符号相同，这是平方和的相反数，不能用平方差公式分解因式． 【点睛】本题主要考查运用公式法分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键． 题型二 平方差公式分解因式 11．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】直接利用利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）＝； （2）＝； （3）＝； （4）＝； （5）＝； （6）＝； （7）＝； （8）＝． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 12．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】 （1）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （2）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （3）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （4）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （5）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案； （6）直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 题型三 完全平方公式分解因式变形 13．对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解﹣运用公式法，涉及完全平方差公式，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， A、不是因式分解，不符合题意； B、因式分解错误，不符合题意； C、因式分解错误，不符合题意； D、因式分解正确，符合题意； 故选：D． 14．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 题型四 综合运用公式法分解因式 15．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查因式分解，将一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做将这个多项式因式分解，根据定义判断即可 【详解】解：A.，属于整式乘法，故不符合题意； B.等式右边不是乘积，不是因式分解，不符合题意； C.属于因式分解，故符合题意； D.，不是因式分解，不符合题意； 故选：C 16．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 17．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 18．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先根据完全平方公式进行因式分解，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 19．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底． （1）先用平方差公式分解，再提取公因式分解； （2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型五 综合运用提公因式法和公式法分解因式 20．甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【答案】D 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：， ， ． 故只有乙的正确， 故选：D． 21．把多项式分解因式，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 22．分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因数，利用完全平方和公式即可求得； （2）提取公因数，利用平方差公式即可求得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查利用公式以及提取公因数法因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 23．因式分解． (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接利用平方差公式分解因式，再提公因式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）利用提公因式法解题即可； （2）先提公因式，然后再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型六 因式分解在实数简便运算中的应用 25．计算：991×1009 【答案】 【分析】本题可以把991写成（1000-9），把1009写成（1000+9）的形式，然后运用平方差公式进行简便运算. 【详解】原式= 故答案为 【点睛】本题首先考虑简便的计算方法，选择平方差公式进行简便运算. 26．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解进行简便计算，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解后即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 27．简便计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． （1）直接提取公因式，进而求出答案； （2）将前两项提取公因式2013，进而分解因式得出答案． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 28．利用因式分解简便计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平方差公式计算； （2）分子、分母都可以提取公因式后再提公因式计算； 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】此题考查利用提取公因式法和平方差公式进行简化计算，根据题目的特征，合理构造，运用乘法公式和因式分解法进行简化计算． 29．简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 题型一 公式法分解因式变形的错题复原问题 30．因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 【答案】①；②二；③，过程见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．①根据平方差公式求解即可；②第二步中前面的符号在去括号时没有变号；③先利用平方差公式分解因式，再提取公因式，据此去括号合并同类项即可得到答案． 【详解】解：①观察可知第一步变形用到的乘法公式是平方差公式，即； ②观察解题过程可知，第二步出现了错误，原因是前面的符号在去括号时没有变号； ③ ． 31、下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： ……………………………………第一步 ……………………………………第二步 …………………………………第三步 ………………………………第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ； (2)请给出这个问题的正确解法． 【答案】(1)分解因式不彻底； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）观察同学的解法，找出错误原因即可； （2）首先提取公因式，得到 ，它符合平方差公式\的形式，其中， ，再利用平方差公式进一步分解因式，得到最终结果． 【详解】（1）解：嘉淇解法错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽；在第一步变形后，提取公因式应该是，而不是； （2）解：正确解法如下： ， ， ． 题型二 利用分解因式变形求值 32．若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 33．已知，求的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了配方法以及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解能力．观察题目，对已知条件根据完全平方公式进行整理得，结合非负数的性质可得， 从而求出x和y的值，接下来将其代入即可解答． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 34．先因式分解，再求值：已知，，求的值． 【答案】； 【分析】此题考查了代数式的值和因式分解，熟练掌握因式分解和整体代入是解题的关键．把原式因式分解后，利用整体代入即可得到答案． 【详解】解： 当，时，原式 35、先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：利用平方差公式法进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：；原式 ； 当，时，原式． 36、先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】；64 【分析】本题考查的是因式分解，求解代数式的值，先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式，再代入数据进行计算即可. 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 题型三 整体思想在因式分解中的应用 37、先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______． (2)求多项式的最小值． (3)若为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用整体思想和完全平方公式进行化简确定取值即可； （3）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得：原式 故答案为：； （2）解：令，则原式 所以多项式的最小值为1； （3）证明：式子的值是某一个整数的平方，理由如下 令，则原式 ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 38、“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的三种方法进行解答． （1）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （2）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （3）①根据方法二，，令，原式，将代入化简即可； ②根据方法一，，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】（1）解： ， ， 令，得， 即原式． （2）解： ， ， 令，得， 即原式． （3）解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 39．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式． 以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题． 构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（）），然后拼成一个平行四边形（如图（）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（      ）． A．                B． C．            D． 构图二、某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为，则八边形的面积为__________． 构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于、的等式． 【答案】（1）D；（2）； 【详解】试题分析：构图一、分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式； 构图二、由正方形MNPQ同长方形的面积的和为a（a+4b），正方形MNPQ的边长为a，可知每个长方形的长为a，宽为b，可知每个三角形的直角边长都是b，根据三角形面积公式求八边形ABCDEFGH的面积； 构图三、用两种方式表示梯形的面积，可得到a2-b2=（a+b）（a-b）. 试题解析：构图一、阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2-b2，乙的面积=（a+b）（a-b）， 即：a2-b2=（a+b）（a-b）， 所以验证成立的公式为：a2-b2=（a+b）（a-b）， 故选D； 构图二、∵正方形MNPQ同长方形的面积的和为a（a+4b），正方形MNPQ的边长为a， ∴长方形面积为：a（a+4b）-a2=4ab， ∵长方形的长为a， ∴长方形宽为b， ∴八边形ABCDEFGH的面积为：a（a+4b）+4××b2=a2+4ab+2b2， 故答案为a2+4ab+2b2； 构图三、S阴影==， 所以：a2-b2=（a+b）（a-b）. 40．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3×3=9． (1)计算：F(8)． (2)设两位正整数t=lOa+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t′十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′-t=9，且F(t)能被2整除，求两位正整数t． 【答案】（1）16（2）11 【详解】试题分析：（1）将8分解为1+7、2+6、3+5、4+4，根据1×7＜2×6＜3×5＜4×4即可求出F（8）的值； （2）由题意可得=10（a+b）+（a-b） ，由-t=9，得到10（a+b）+（a-b）-（10a+b）=9，从而有b=，求出a、b的值，得到t=90或t=11，从而可得到结论． 试题解析：解：（1）∵8=1+7=2+6=3+5=4+4，1×7＜2×6＜3×5＜4×4，∴F（8）==16； （2）由题意可得=10（a+b）+（a-b） ，又∵-t=9，∴10（a+b）+（a-b）-（10a+b）=9，∴b=， 又∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数，∴或，∴t=90或t=11，∴F（t）=45×45或5×6．又∵F（t）能被2整除，∴F（t）=5×6，∴t=11． 41、在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）分组后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）分组后，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2） 当时， 原式 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 公式法 （6大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 判断能否用公式法分解因式 题型二 平方差公式分解因式 题型三 完全平方公式分解因式变形 题型四 综合运用公式法分解因式 题型五 综合运用提公因式法和公式法分解因式 题型六 因式分解在实数简便运算中的应用 能力提升练 题型一 公式法分解因式变形的错题复原问题 题型二 利用分解因式变形求值 题型三 整体思想在因式分解中的应用 题型一 判断能否用公式法分解因式 1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中不能用平方差公式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（    ） A．1 B． C． D． 4．因式分解“”得，则“”是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 8．下列多项式能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型二 平方差公式分解因式 11．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 12．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 题型三 完全平方公式分解因式变形 13．对多项式进行因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 14．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 综合运用公式法分解因式 15．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 16．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 17．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 18．因式分解： 19．因式分解： (1)； (2)． 题型五 综合运用提公因式法和公式法分解因式 20．甲、乙两人对多项式分解因式的过程如图所示，下列说法正确的是（    ） 甲 乙 A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 21．把多项式分解因式，下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 22．分解因式： (1)． (2)． 23．因式分解． (1)． (2) 24．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型六 因式分解在实数简便运算中的应用 25．计算：991×1009 26．用简便方法计算： (1)； (2)． 27．简便计算： (1) (2)． 28．利用因式分解简便计算： （1）； （2） 29．简便计算 (1) (2) 题型一 公式法分解因式变形的错题复原问题 30．因式分解： 小刚的解题过程如下： 第一步 ……第二步 ……第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 （写出用字母 a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第 步出现了错误； ③请用小刚的思路给出这道题的正确解法． 31、下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： ……………………………………第一步 ……………………………………第二步 …………………………………第三步 ………………………………第四步 (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ； (2)请给出这个问题的正确解法． 题型二 利用分解因式变形求值 32．若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 33．已知，求的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 34．先因式分解，再求值：已知，，求的值． 35、先因式分解，再求值：，其中，． 36、先分解因式，再求值：，其中，． 题型三 整体思想在因式分解中的应用 37、先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______． (2)求多项式的最小值． (3)若为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 38、“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 39．数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式． 以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题． 构图一，小函同学从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（）），然后拼成一个平行四边形（如图（）），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（      ）． A．                B． C．            D． 构图二、某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，要建造一个八边形的居民广场，如图，其中正方形与四个相同的长方形（图中阴影部分）的面积的和为，正方形的边长为，则八边形的面积为__________． 构图三、小云同学在数学课上画了一个腰长为的等腰直角三角形，如图，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长为的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于、的等式． 40．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3×3=9． (1)计算：F(8)． (2)设两位正整数t=lOa+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t′十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′-t=9，且F(t)能被2整除，求两位正整数t． 41、在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，求式子的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$