精品解析：2025届河南省驻马店市部分学校（九师联盟）高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试题

高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算性质即可得出. 【详解】已知， 则. 故选：C. 2. 函数在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【详解】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ） A. －2 B. 1 C. －2或1 D. －1或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【详解】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 4. 有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【分析】本题可利用捆绑法，先将每对双胞胎看作一个整体，再对这些整体进行排列，即可得出结果. 【详解】将每对双胞胎孩子捆绑在一起，然后再排列，有种排法. 故选 ：C. 5. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择的景区不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式分别求出和，进而求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：A. 6. 已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将函数在区间上恰有3个极值点转化为在上有三个极值点的问题，再数形结合即可得解. 【详解】，，， 令，则，， 作出的图象， 要使函数在区间上有三个极值点，则， 解得，则的取值范围为. 故选：B. 7. 已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距离公式计算最小距离即可. 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 8. 已知点为空间一定点，圆锥（为底面的中心 ）表面上的所有点到点的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知圆锥的顶点及底面圆周上的所有点均在以定点为球心，3为半径的球面上，设圆锥的底面圆周的半径为，球心到圆锥底面的距离为，根据条件得到与的关系，再结合圆锥体积公式求出体积最大时和的值，最后计算侧面积即可. 【详解】因为圆锥表面上所有点到点的距离均不超过3， 所以圆锥表面上所有点均在以定点为球心，3为半径的球内或球面上， 要使圆锥的体积最大，则圆锥的顶点及底面圆周上的所有点均在球面上， 且球心在圆锥的内部，此时圆锥的轴截面如图所示. 设圆锥的底面圆周的半径为，球心到圆锥底面的距离为 ， 则 ，所以 ， 圆锥的体积 ， 则 . 由 ，得 ； 由 ，得 ， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， ， 此时该圆锥的母线长为 ，从而其侧面积 . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”的否定为“” B. “”是“”必要条件 C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题可根据全称命题的否定、必要条件的定义、对数的换底公式以及两角和的正弦公式来逐一分析选项即可. 【详解】对于A，命题“”，其否定为“”， 故A正确； 对于B，由能推出，所以“”是“”的必要条件，故B正确； 对于C， 已知，可得，所以，故C正确； 对于D， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 10. 记事件中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间和事件，已知，，，，，，，，，，，，则（ ） A. 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件，相互独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】A选项：，，，所以， 所以与不互斥； B选项：，，，所以， 所以与互斥； C选项：，，， 所以，，， 所以，与相互独立； D选项：，，， 所以， ，，， 所以，与不相互独立. 故选：BC. 11. 已知是定义在上的增函数，且为奇函数．若实数满足不等式，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若，则满足条件的点共有5个 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件中的函数的性质可得到点是以为圆心，为半径的圆及内部的点，A选项设，将所求转化为直线在轴上的截距的范围可求解；B选项设，将所求转化为直线在轴上截距的相反数可求解；C选项列举出满足条件的点即可判断；D选项将转化为求点到原点的距离的平方即可求解. 【详解】为奇函数，，， ， ， 是定义在上的增函数，， ，即， 点是以为圆心，为半径的圆及内部的点， 对于A选项，设，即，表示直线在轴上的截距， 圆心到直线的距离，解得， 即的取值范围为，故A错误； 对于B选项，设，即，表示直线在轴上截距的相反数， 圆心到直线的距离，解得， 即的取值范围为，故B正确； 对于C选项，，且， 满足条件的点有，，，，共个，故C正确； 对于D选项，表示点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上及其内部的点到原点的距离的最小值为，最大值为， 的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】将集合中的元素依次代入集合验证，再求交集可得. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案：. 13. 已知随机变量，若，则当_____时，取得最大值． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方差的公式，求得，得到，得到，结合的单调性，即可求解. 【详解】由随机变量，且， 可得，解得，即， 则，可得， 当时，概率递增；当时，概率递减， 令，解得， 所以当且时，；当且时，， 所以当时，概率取得最大值. 故答案为：6. 14. 已知函数，若，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由函数的单调性证明，是的必要条件，从而得到，再构造函数利用导数证明充分性. 【详解】由题意可得，显然为增函数，且， 所以，即， 从而，这是的必要条件. 当时，，令，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，根据勾股定理证明和，即可证明线线垂直； （2）根据（1）的结果建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 如图，以点为原点，为轴和轴的正方向，在平面中，作， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 75 280 数学优秀 40 合计 400 （1）完善上面列联表，并依据的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联? （2）现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人组成一个小组，再从该小组中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望． 附：． 0.010 0.050 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析；数学成绩与语文成绩有关联． （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）通过列联表中得数据计算出值，然后对照表格数据作答；（2）得出分层抽样比，求出应抽出的优秀和不优秀的人数，再利用古典概型求解分布列与数学期望.， 【小问1详解】 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 205 75 280 数学优秀 40 80 120 合计 245 155 400 零假设为数学成绩与语文成绩无关联．根据列联表中的数据， 根据的独立性检验，我们推断不成立，即数学成绩与语文成绩有关联． 【小问2详解】 从数学成绩优秀的样本中（人）按照分层抽样选取人，因此可得语文不优秀的人数为，语文优秀的人数为， 因此从人中抽取人参加数学竞赛，设这人中语文成绩优秀的人数为,则，且满足超几何分布， 则, , , , 则的分布列为： 所以数学期望 17. 已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． （1）求的方程； （2）已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件列式，利用待定系数法，即可求解； （2）首先设直线，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用韦达定理表示，再代入条件等式，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，解得：， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线，，， 联立，得， ，得， ，， ，， 所以， ， ， ， 得，即，得或， 若，则直线，恒过点，满足条件， 若，则直线，恒过点，与点重合，不满足条件， 所以直线恒过定点. 18. 已知数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，且，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，若，求的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与的关系仿写后作差，再由等差数列的性质可得； （2）将已知等式变形为，再移项证明为常数列可得； （3）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由可得，， 以上两式相减可得，即， 因为，所以，即是公差为1的等差数列，从而， 由，所以是公差为1的等差数列，从而， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 即， 因为，所以为常数列，即. 【小问3详解】 ，所以， 所以. 19. 已知函数的定义域为为其导函数．若，则称为上的“优导函数”． （1）判断是否是上的“优导函数”？ （2）已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围； （3）已知为上的“优导函数”，且，若存在唯一正数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）是；答案见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数新定义结合正余弦函数的取值可得； （2）由函数新定义分离参数后构造函数，求导分析最值可得； （3）先利用函数新定义构造函数令，求导分析单调性得到，从而得到有唯一正零点，再分，和，三种情况，求导分析可得. 【小问1详解】 由可得， 所以， 因为，，所以，且两函数不同时为零， 所以，所以是上的“优导函数”. 【小问2详解】 由得， 所以， 又为上的“优导函数”， 所以对任意， 所以对任意得， 令，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以实数的取值范围. 【小问3详解】 令，则， 因为为上的“优导函数”，则， 令，则，所以在上单调递减， 又，即，所以， 即，， 令，则有唯一正零点，， 当时，，所以在上单调递增，又， 取正数，则， 故存在唯一，使得， 即在上有唯一零点，满足题意； 当时，，显然有唯一零点1，符合题意； 当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 要使在上有唯一零点，必有， 所以实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在区间上最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（ ） A. －2 B. 1 C. －2或1 D. －1或2 4. 有3对双胞胎孩子站成一排拍照，则每对双胞胎必须相邻的排法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 5. 小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随机选择一个游玩．记事件“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件“两人选择景区不同”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上恰有3个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 8. 已知点为空间一定点，圆锥（为底面的中心 ）表面上的所有点到点的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”的否定为“” B. “”是“”的必要条件 C. 若，则 D. 10. 记事件中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间和事件，已知，，，，，，，，，，，，则（ ） A 与互斥 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 已知是定义在上的增函数，且为奇函数．若实数满足不等式，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 若，则满足条件的点共有5个 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则_____． 13. 已知随机变量，若，则当_____时，取得最大值． 14. 已知函数，若，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，，，，，． （1）求证：平面； （2）若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 用随机抽样的方法，从某学校抽取400名学生的数学和语文期末考试成绩，并对两科成绩是否优秀进行统计与整理，得到如下列联表： 语文不优秀 语文优秀 合计 数学不优秀 75 280 数学优秀 40 合计 400 （1）完善上面列联表，并依据的独立性检验，能否认为数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关联? （2）现从数学成绩优秀的样本中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取12人组成一个小组，再从该小组中随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中语文成绩优秀的人数的分布列和数学期望． 附：． 0.010 0.050 0.001 3.841 6.635 10828 17. 已知椭圆的离心率为，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为． （1）求的方程； （2）已知为的左顶点，不过点的直线与交于两点，直线的斜率分别为，，，若，证明：过定点． 18. 已知数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）若，且，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，若，求的前项和． 19. 已知函数的定义域为为其导函数．若，则称为上的“优导函数”． （1）判断是否是上的“优导函数”？ （2）已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围； （3）已知为上的“优导函数”，且，若存在唯一正数，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $