精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

三明一中2024-2025学年下学期高二6月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集. 【详解】因为集合​， ​， 所以​． 故选：D． 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式，根据充分必要条件的定义求解即可. 【详解】由，解得或， 所以能得出，但成立不一定能得到， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 3. 设，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断与0的关系可得到不等关系，即可求得结果. 【详解】对于A，，无法判断，该选项错误； 对于B，，不成立，该选项错误； 对于C，，成立，该选项正确； 对于D，，不成立，该选项错误. 故选：C. 4. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 5. 已知离散型随机变量X满足，且，则（ ） A. 1 B. 0.1 C. 0.01 D. 1.01 【答案】A 【解析】 【分析】应用方差的性质求目标方差. 【详解】由题得，所以. 故选：A 6. 若，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.45 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性，即可求解 【详解】由题意，正态曲线关于直线对称， 因为， ， 解得， 所以. 故选：C. 7. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导得出切线斜率，再得到切线方程，然后求出与坐标轴交点，最后计算面积. 【详解】设函数，则，则， 所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为. 故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选 ：A 8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的单调性，得到关于的关系式，利用构造函数法，结合导数来求得取得最小值时的值. 【详解】依题意，，， 令， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 由于，所以，， 所以， 设， ， 令解得，则在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，也即取得最小值. 故选：C 【点睛】方法点睛：研究函数的单调性，可以考虑利用导数来求解，当一次求导无法解决时，可以考虑利用多次求导来进行研究.研究一个表达式的最值问题，可以利用构造函数法，然后利用导数来进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知，，则，所以与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，， 所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确. 故选：BD. 10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 各项系数之和为 C. 只有第4项的二项式系数最大 D. 第二项的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和的公式即可判断A；令即可判断B；根据二项式系数的性质即可判断C；根据二项展开式即可判断的D. 【详解】对于，A，因为的展开式中，各项的二项式系数之和为128， 所以，解得，故A正确； 对于B，令，则各项系数之和为，故B正确； 对于C，因为，所以第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误； 对于D，第二项为， 则第二项的系数为，故D正确. 故选：ABD. 11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物.一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”.现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）（注：为自然对数的底数，，.） A. 有最小值，且最小值为 B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C. 恰有两个极值点 D. 恰有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：求导后将看成一个整体，利用进行放缩即可得到答案；对于B：将“严格上凸”和“严格下凸”转化为导函数的单调性，二次求导后即可判断；对于C：根据导函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断；对于D：根据函数的单调性，结合零点零点存在定理，即可判断. 【详解】对于A：， 令，，在上小于0，在上大于0， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，当时取“=”，可得， 于是，，当时取“=”；，故A正确； 对于 B：令.函数在区间I上“严格下凸”，等价于切线的斜率递增，即单调递增，即； 函数在区间I上“严格上凸”，等价于切线的斜率递减，即单调递减，即； ，而当时，， 所以不存在，使得在上“严格上凸”，故B错误； 对于C：令 .由选项B知， 令，对恒成立， 所以在单调递增，，； 所以存在使；所以时，；时，， 故 在  上单调递减，在  上单调递增， 又由选项A知 ，且， 所以恰有两个变号的零点，所以恰有两个极值点，故C正确； 对于D：由选项C知，恰有两个极值点， 设为，，且， 所以在和单调递减， 单调递增， ， ， ，， 所以函数在各有一个零点，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48 【解析】 【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案. 【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是. 故答案为：48. 13. 设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则_______． 【答案】##0.046875 【解析】 【分析】前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果. 【详解】表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品. 故， 故答案为：. 14. 已知对任意的正数，不等式恒成立，则正数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式两边同构函数，设，从而转化问题为恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，再构造函数，，进而结合导数求解即可． 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 因为，即， 即函数在上单调递增， 则由恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即． 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）从中任取2个数字，求这2个数字之积为正数的取法种数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理，先求，利用即可求解； （2）由（1）可把分类，分正数和负数，则所取2个数的积为正数，则所取的2个数全是正数，或全是负数，利用组合数即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，， 则 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，，，为正数，，，，为负数， 所取2个数的积为正数，则所取的2个数全是正数，或全是负数， 故符合条件的取法种数为 16. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求； （2）求时，函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质可得，计算即可； （2）令，则，利用，可求解析式； （3）由已知可得是定义在上的偶函数，且在上为严格增函数，从而可得，求解即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的偶函数； ，即； 【小问2详解】 令，则，则， 又由函数为偶函数，则， 即时，； 【小问3详解】 由（1）知， 由（2）可知，， 在上为严格减函数. 又是定义在上的偶函数，则在上为严格增函数. 所以， 解得. 故实数a的取值范围为. 17. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）； （3） 3 4 5 【解析】 【分析】（1）由甲笔试得满分的概率为，可得，即可求得； （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试，可得甲能够进入面试的概率，化简得，利用基本不等式即可求得的最小值及相应的值； （3）由题意，甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5，求出对应概率，得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. 【小问2详解】 由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 【小问3详解】 由（2）知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为3，4，5， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 数学期望为：. 18. 2025“西安年•最中国”春节再次火爆出圈，申遗成功后的首个春节，遇上首个“非遗版春节”，千年古都西安凭借其深厚的历史文化底蕴和丰富的旅游资源吸引了大量国内外游客前来感受一个别样“西安年”.以下随机收集了春节期间5天的日期代码和每天旅客数量（单位：万人）的5组数据，得到统计数据如下表： 日期 1月28日 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 日期代码 1 2 3 4 5 旅客数量（万人） 55 80 150 270 485 4 4.4 5 5.6 6 由5组数据制成图（1）所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图（2）所示的残差图. （1）根据残差图判断选择哪个模型拟合较好并说明理由； （2）根据（1）问中所选的模型，求出关于的经验回归方程； （3）为了吸引旅客，某景点在售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团所有游客中随机同时抽取两名游客，若两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，现按抽奖规则重复进行三次抽奖，设三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大？ 参考公式：对于一组数据其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】（1） 由图知，应该选择模型②. 理由为：模型②的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄， 模型②的残差的绝对值远小于模型①的残差的绝对值，所以②的拟合精度更高， 回归方程的预报精度相应就会越高.故选模型②比较合适. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据散点图判断模型； （2）根据最小二乘法公式计算，再计算即可求解； （3）先设函数作差后结合导函数得出单调性即可求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，选用模型②，两边取对数，得 令与可以用经验回归方程来拟合，则 计算可得 . 所以 .所以，即 所以回归方程为. 【小问3详解】 记“从5个男游客和个女游客中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同（即为中奖）”为事件， 则 设 恒成立 时取得最大值，即 ， 令 则，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值.由，解得或（舍去） 当时，恰有一次中奖的概率最大. 19. 已知函数． （1）求函数 的单调区间； （2）若对 ，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，有． 【答案】（1）当时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）； （3）取 ，由（1）知函数在 上单调递减，在上单调递增， 则，当时，取，得，即， 因此； 设函数，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 取，得，即， 因此， 所以对于任意正整数n，有. 【解析】 【分析】（1）求出函数 的导数，再分类讨论求出其单调区间. （2）求出函数 的导数，进而求出其最大值，由 的取值情况及零点个数可得，再利用导数求出 的范围. （3）利用（1）中信息，取 得，取，利用累加法证得不等式右端成立；再构造函数，利用导数结合赋值法证得不等式左端成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时， ，函数 在上单调递增； 当 时，由 ，得；由 ，得， 函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数 的单调递增区间为； 当 时，函数 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 而 ，由 ，得；由 ，得， 函数 在上单调递增，在上单调递减，， 又，当 从大于0的方向趋近于0或 趋近于正无穷大时，从大于0的方向趋近于0，， 要函数 恰有两个零点，当且仅当，即， 即恒有，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数m的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2024-2025学年下学期高二6月月考 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ​， 则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 设，下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量X满足，且，则（ ） A. 1 B. 0.1 C. 0.01 D. 1.01 6. 若，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.45 D. 0.5 7. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知定义在上的函数，若，则取得最小值时的值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 各项系数之和为 C. 只有第4项的二项式系数最大 D. 第二项的系数为 11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物.一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”.现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）（注：为自然对数的底数，，.） A. 有最小值，且最小值为 B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C. 恰有两个极值点 D. 恰有三个零点 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 13. 设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则_______． 14. 已知对任意的正数，不等式恒成立，则正数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求的值； （2）从中任取2个数字，求这2个数字之积为正数的取法种数. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，. （1）求； （2）求时，函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围. 17. 甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立. （1）当时，求； （2）求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； （3）已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是（2）中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望. 18. 2025“西安年•最中国”春节再次火爆出圈，申遗成功后的首个春节，遇上首个“非遗版春节”，千年古都西安凭借其深厚的历史文化底蕴和丰富的旅游资源吸引了大量国内外游客前来感受一个别样“西安年”.以下随机收集了春节期间5天的日期代码和每天旅客数量（单位：万人）的5组数据，得到统计数据如下表： 日期 1月28日 1月29日 1月30日 1月31日 2月1日 日期代码 1 2 3 4 5 旅客数量（万人） 55 80 150 270 485 4 4.4 5 5.6 6 由5组数据制成图（1）所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图（2）所示的残差图. （1）根据残差图判断选择哪个模型拟合较好并说明理由； （2）根据（1）问中所选的模型，求出关于的经验回归方程； （3）为了吸引旅客，某景点在售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团所有游客中随机同时抽取两名游客，若两名游客性别不同则为中奖.已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，现按抽奖规则重复进行三次抽奖，设三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当为何值时，最大？ 参考公式：对于一组数据其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 19. 已知函数． （1）求函数 的单调区间； （2）若对 ，函数恰有两个零点，求实数m的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $