精品解析：吉林省长春市德惠市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年度第二学期高一年级第二次月考 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数除法运算求出，再根据虚部概念得解． 【详解】由于，则，则复数虚部为． 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的坐标的线性运算求，再根据垂直关系的坐标表示列方程求参数. 【详解】由，又， 所以， 则. 故选：B 3. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 4. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面的位置关系逐项判断即可； 【详解】对于A，由，，可得：可能平行、异面、或相交，错； 对于B：若，，此时也可能在内，错； 对于C：若，，此时也可能平行，错； 对于D：若，，由面面垂直的判定定理可得，正确； 故选：D 5. 如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解. 【详解】连接，由题得且， 故四边形是平行四边形，所以且， 则的余弦值即为所求． 由可得，故有，解得． 故选：D 6. 中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（ ） A. 10 B. 5 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先应用两角和差正弦结合诱导公式求解，再应用正弦定理求解. 【详解】因为，，，所以， 则， 由正弦定理得，所以. 故选：B. 7. 已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可． 【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为，， 则圆台内切球的球心O一定在的中点处． 设球O与母线切于M点，所以，则， 则，则，同理， 所以， 过点A作，垂足为G，则， 又，即， 联立，解得， 所以该圆台的体积为 故选：B． 8. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 【答案】B 【解析】 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，，所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是的共轭复数，则（ ） A. B. 的虚部是 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数的定义、模长公式、几何意义、共轭复数定义与方程的解法一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以，故A正确； 易知的虚部是，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故C正确； 对于， 显然不符合题意，故D错误. 故选：AC 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，则的外接圆的面积为 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰或直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A由余弦定理即可判断，对于B由正弦定理即可求的外接圆的半径即可判断，对于C利用正弦定理有，由余弦定理即可判断，对于D由正弦定理得即可判断. 【详解】对于A：由有， 由余弦定理得，又，所以，故A正确； 对于B：由正弦定理有，为的外接圆的半径，所以， 所以的外接圆的面积为，故B正确； 对于C：由正弦定理有，又由余弦定理有，即， 所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：由正弦定理有， 所以或（舍去），所以，所以为等腰三角形，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，若点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证；选项B，取的中点，连接，，采用反证法，结合，，推出平面，进而得，与已知矛盾，从而作出判断；选项C，由面面垂直的性质定理知平面，从而知点到平面的距离，再利用等体积法求解即可；选项D，由平面，知即为所求，再结合余弦定理与锐角三角函数，求解即可． 【详解】选项A，取的中点，连接，，则，， 因为矩形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，即选项A正确； 选项B，取的中点，连接，， 因为，所以， 若，由于，、平面，则平面， 因为平面，所以， 而是的中点，则，显然不成立， 所以不成立，即选项B错误； 选项C，因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为， 而，， 设点到平面的距离为， 因为， 所以，即，解得， 所以点到平面的距离为，即选项C正确； 选项D，因为平面， 所以与平面所成角即为， 在中，，，， 由余弦定理知，， 所以， 在中，， 所以与平面所成角的正切值为，即选项D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求线面角常用的方法： ①几何法：线面角的大小常用它的平面角来度量，利用定义以及线面垂直找到平面角，利用三角形几何关系求解, ②空间向量法：分别求出平面的法向量和直线的方向向量，然后通过向量夹角公式求解.. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，则向量在上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出，再根据投影向量公式即可. 【详解】因，则， 又因，，则， 则， 则向量在上的投影向量为. 故答案为： 13. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质得到，又，由线面垂直的判定定理，可得面，从而可得，再分别求出，，利用等体法，即可求解. 【详解】因为平面，又面，则， 又，，面，所以面， 又面，所以，又，是边长为的正方形， 所以，则，， 设点到平面的距离为， 由，得到，解得， 故答案为：. 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 16. 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数． （1）求实数及； （2）设复数，且复数所对应点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数及复数乘法求解，再利用纯虚数的定义列式，并求出模. （2）由（1）利用复数的除法，结合复数的几何意义列式求解. 【小问1详解】 由，得， ， 又为纯虚数，则，解得，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 又复数所对应的点在第一象限，，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可求角； （2）利用三角形面积公式以及余弦定理计算可得，即可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理知， 在中，， 所以. 又，，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意可知的面积. 因为，所以. 由余弦定理， 可得，即， 所以，所以， 故的周长为12. 18. 已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，，． （1）求证：//平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取中点F，连，由中位线性质得到四边形为平行四边形，得到，进而得到//平面； （2）由勾股定理逆定理得到，结合为等腰直角三角形得到平面，进而得到平面平面； （3）在（2）的基础上，结合为的中点，利用求出答案. 【小问1详解】 证明：取中点F，连， 因为E为的中点，所以且， 又，，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：由题意：，． 因为，所以， 又平面⊥平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为为等腰直角三角形，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 因为为等腰直角三角形，，所以， 因为平面，平面，所以， 又，故， 由（2）得，平面，又为的中点， 所以. 19. 在中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c.已知 且. （1）求角A的大小； （2）若D是的中点，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据向量共线坐标满足公式列出方程，结合正弦定理化简，即可得到结果； （2）由两边平方，结合向量的数量积公式，根据基本不等式以及三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 故 即 即 【小问2详解】 ∵D是的中点，， 即 即 ，故 当且仅当时，等号成立， ∴面积 即面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期高一年级第二次月考 数学试卷 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 2 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 6. 中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（ ） A. 10 B. 5 C. 2 D. 4 7. 已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东45°、点北偏西60°的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/小时，则该救援船到达点最快所需时间为（ ） A. 1小时 B. 0.3小时 C. 0.5小时 D. 0.2小时 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数是共轭复数，则（ ） A. B. 的虚部是 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是方程的一个根 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，则的外接圆的面积为 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰或直角三角形 11. 如图，在矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，若点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，则向量在上的投影向量为________． 13. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，则点到平面的距离为________． 14. 已知梯形中，，，，，，若，，，则取值范围为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 16. 已知复数是虚数单位，，且为纯虚数是的共轭复数． （1）求实数及； （2）设复数，且复数所对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 17. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面平面，为的中点，，． （1）求证：//平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积． 19. 在中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c.已知 且. （1）求角A的大小； （2）若D是中点，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $