精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高二下学期6月学情检测数学试题

2023级高二下学期学情检测 数学试题 考试用时：120分钟 本卷满分：150分 2025.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 250种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知将书可以分成1，2，2和1，1，3两种，然后分配给3人，再利用分类加法原理可求得结果. 【详解】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种， ①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有种分法， ②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有种分法， 所以由分类加法原理可知共有种分法， 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D 4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出，将所求问题转化为求,利用正态曲线的对称性计算即得. 【详解】依题意，而， 所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为： 故选：C． 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 7. 函数与在同一坐标系下的图象大致是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象变换可得出合适的选项. 【详解】函数的图象可看作是把函数的图象向上平移个单位得到， 函数的图象可看作是把函数的图象向右平移个单位得到， 故合乎条件的选项为C. 故选：C. 8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，构造函数，利用其单调性求解. 【详解】因为， 令，则， 所以在上递增， 所以，所以， 所以，故C错误； ， 因为定义在R上的函数满足， 所以函数是奇函数，所以，即，故A正确； ，即，B错误； ，，D错误， 故选：A 二、多选 9. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 在处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误； 由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C; 由方程的交点，可判断选项D的正误. 【详解】由题意，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，取得极大值； 当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确； 在点处的切线斜率， 所以切线方程为：，即，故选项C正确； 当时，, 当时，取得最大值； 当时，, 所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点， 故选项D错误. 故选：BC 10. 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（ ） A. 第一次就接通电话的概率是 B. 若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是 C. 拨号不超过三次接通电话的概率是 D. 若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概率与条件概率，以及互斥事件概率的“加法”与“乘法”计算公式，一一判断即可. 【详解】设表示“第i次接通电话”，，2，3，…，10；表示“拨号不超过3次接通电话”． 由题意，知，选项A正确； 若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，选项B错误； 事件， 则，选项C正确； 若已知最后一位数字是奇数， 则，选项D正确． 故选：ACD． 11. 设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式求解. 【详解】对A，,A正确； 对B，根据全概率公式可得，,B错误； 对C，,C正确； 对D，, ,D正确； 故选:ACD. 三、填空题 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 13. 展开式中含项的系数是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】先求出的二项展开式的通项公式，即可求出含项的系数. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 所以含项为. 故答案为：13. 14. 已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，参变分离，结合函数单调性求出答案. 【详解】当时，， 故， 令，由对勾函数的性质可得在上单调递减， 故，所以，解得， 当时，， 故，其中， 所以， 综上，. 故答案为： 四、解答题 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示. （1）从散点图可以看出，可用直线拟合y与x的关系，请计算样本相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）； （2）求y关于x的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量. 【答案】（1），理由见解析；（2），9.9百千克. 【解析】 【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r，由可得可用线性回归模型拟合y与x的关系； （2）求出和的值，得到线性回归方程，取求得y值，从而得到答案. 【详解】（1）因为，， ， ， ， 所以， 所以可用直线拟合y与x的关系； （2）因为，， 所以关于的线性回归方程为， 当时，， 所以预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量为9.9百千克. 17. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令，可求得的值； （2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值； （3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解； （4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值. 【小问1详解】 令，得①. 【小问2详解】 令，得②， 由①②，得， 所以. 【小问3详解】 因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. 【小问4详解】 ， 两边分别求导，得， 令，得. 18. “双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）. 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元. （1）某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望； （2）若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理? 【答案】（1）分布列见解析，160元 （2）选择方案二更合理 【解析】 【分析】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200，分别求出对应独立重复试验概率，即可按定义求得分布列和期望； （2）选择期望较小的方案，方案一可先求出摸到红球的个数的期望，再进一步求即可；方案二设实付金额为，则的可能取值为0，150，250，通过古典概型求得对应分布列和期望. 【小问1详解】 设实付金额为元，则可能取值为0，100，200． 则，，， 则的分布列为 0 100 200 ∴（元） 【小问2详解】 若选方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则， 由题意得，故． ∴（元） 若选方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，150，250． 则，，． 则的分布列为 0 150 250 ∴（元） ∵， ∴选择方案二更合理． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后分，，和四种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）要证，只需证，而，所以换元后构造函数，然后利用导数求其最大值小于等于即可. 【小问1详解】 由，得 ①时，，当，当， 所以增区间为，减区间为， ②时，得， 若，即时，恒成立，所以为R上的增函数 若，即时，由，得或，由，得， 所以增区间为，，减区间为 若，即时，由得或，由得， 所以增区间为，，减区间为 综上得：时，增区间为，减区间为； 时，增区间为； 时，增区间为，，减区间为； 时，增区间为，，减区间为. 【小问2详解】 时，要证， 即证，即证 因为 令，（）， 由，得，由，得， 所以在递增，递减， 所以最大值为， 所以，得证 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化成证，令，只要证，再构造函数，利用导数求其最大值小于等于即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二下学期学情检测 数学试题 考试用时：120分钟 本卷满分：150分 2025.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 将五本不同书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 250种 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 函数与在同一坐标系下的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ） A B. C. D. 二、多选 9. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 在处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 10. 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（ ） A. 第一次就接通电话概率是 B. 若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是 C. 拨号不超过三次接通电话的概率是 D. 若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话的概率是 11. 设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（ ） A. B. C D. 三、填空题 12. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 13. 的展开式中含项的系数是__________． 14. 已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为_________. 四、解答题 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩的使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示. （1）从散点图可以看出，可用直线拟合y与x的关系，请计算样本相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）； （2）求y关于x的线性回归方程，并预测液体肥料每亩的使用量为12千克时西红柿亩产量的增加量. 17. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. “双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）. 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元. （1）某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望； （2）若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理? 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$