5.3 简单的轴对称图形（第3课时）教案2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

第五章 图形的轴对称 5.2简单的轴对称图形 第3课时 一、 教学目标 1.运用作图和实验的方法，探索角平分线的有关性质. 2.能运用角平分线的性质解决实际问题. 3.会用尺规作出已知角的平分线，能规范地写出已知、求作和作法. 4.利用折纸的方法探索角的对称性，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. 二、 教学重难点 重点：运用作图和实验的方法，探索角平分线的有关性质. 难点：能运用角平分线的性质解决实际问题. 三、教学过程设计 环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：先提出问题，学生思考后回答问题. 问题1：什么是轴对称图形？ 预设：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 问题2：角是轴对称图形吗？如何验证你的结论？ 预设：角是轴对称图形. 可以作出一个角对折一下看看角的两边是否重合. 设计意图：通过复习回顾，为本节课要学习的内容作准备. 环节二 探究新知 【操作】 请拿出你作的∠AOB，不利用工具，将它分成两个相等的角.你有什么办法？ 预设：对折 教师活动：引导学生按照自己的设想实际操作验证，适时提出问题：打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？ 预设：折痕平分了∠AOB. 教师活动：总结并给出结论. 结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线. 设计意图：通过具体动手操作理解角是轴对称图形. 【尝试思考】 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'. (1)你认为线段 CD 和 CD'之间有什么关系?说说你的理由. (2)特别地，当CD⊥OA时，CD'与 OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段 CD 和 CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? 预设：（1）CD = CD'， 理由一：用刻度尺测量CD，CD'，得到两条线段的长度相等. 理由二：连接DD'； 因为OP是∠AOB的平分线，点 D和D'关于OP对称， 所以线段DD'被直线OP垂直平分. 又因为点C是OP上的任意一点，所以CD = CD' （2）当CD⊥OA时，CD'⊥ OB；CD = CD' 结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 你能尝试证明一下吗？ 验证：如图， C为∠AOB的角平分线上一点， CD⊥OB，垂足为点D，CE⊥OA，垂足为点E，求证：CE=CD. 证明：∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠AOC=∠BOC ∵CD⊥OB，CE⊥OA ∴∠CDO= ∠CEO 又∵OC=OC ∴ △CDO≌△ CEO(AAS) ∴CD=CE. 【归纳】 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 几何语言： ∵ OC平分∠AOB，CD⊥OB，CE⊥AO， ∴ CD=CE. 教师活动：总结强调定理满足条件，引导学生通过下面思考题进行辨析. 设计意图：通过对角平分线定理的证明，帮助学生理解记忆定理内容. 【思考交流】 如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？ 假设∠AOB的平分线已作出，那么， (1)这条射线有什么特征? 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. (2)如何确定这条射线上的除端点之外的一个点? 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢? 与同伴进行交流. 预设：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （2） 需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作. 设计意图：引导学生探索确定角平分线上点的方法，特别是只用尺规作图的情况，锻炼学生的尺规作图技能，使学生掌握基本的几何作图方法，提高学生的动手操作能力和几何图形绘制能力. 环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 利用尺规，作∠AOB(如下图)的平分线. 已知：∠AOB，如下图. 求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC. 分析：①利用构造全等三角形的方法，先在∠AOB的两边OB和OC上截取相等的线段OD、OE分别作为两个三角形的两边. ②在∠AOB内找到点C，使CD=CE. ③则△COD≌△COE (SSS)，得到∠AOC=∠BOC. 作法： 1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，则OD=OE． 2.分别以D，E为圆心．大于的长度为半径作弧．两弧在∠AOB内交于点C． 3.作射线OC． OC就是∠AOB的平分线． 设计意图:通过解决例题让学生熟悉尺规作角平分线的步骤.注意引导学生利用构造全等三角形的方法作图. 【思考】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.DE与DC相等吗？为什么？ 教师引导学生分析转化，让学生独立完成解答. 分析： ①由BD是∠ABC的平分线想到可以应用角平分线定理. ②DC⊥BC，DE⊥AB，满足角平分线定理的两个条件. ③应用角平分线定理可得DE=DC. 预设解答：相等，可以由角平分线定理证明. 证明： ∵BD是∠ABC的平分线 在Rt△ABC中，∠C=90° ∴ DC⊥BC 又∵ DE⊥AB ∴ DE=DC. 【思考交流】 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点? 与同伴进行交流. 预设：都涉及到了一个对称轴的概念. 在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性. 设计意图：通过这种类比思考，培养学生的类比思维能力，让学生学会从不同的几何操作中寻找共性，拓展思维深度和广度，提升学生对几何知识的整体把握能力，为后续学习更复杂的几何内容奠定思维基础. 【回顾反思】 回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法?积累了哪些经验? 预设：方法：观察法,测量法,折叠与拼接法,推理与论证法. 经验：从特殊到一般，学会利用测量工具（直尺、量角器等）和操作手段（折叠、拼接等）帮助理解图形的性质，同时利用逻辑推理深化对图形本质的认识. 设计意图：有助于学生将这些经验迁移到后续的几何学习中，培养学生自主学习和探索的能力，让学生在面对新的几何问题时，能够运用已有的经验和方法进行分析和解决，提高学生的学习能力和数学素养. 环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则线段PQ长度的最小值为多少？请说明理由. 2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交 BC于点D，DE⊥AB于点E，若 AB=6cm，则△DEB的周长是多少 3.如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是多少？ 参考答案： 1.解：长度最小值为2. ∵ 直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短. ∴ 过P做PQ⊥OM，垂足为Q，此时PQ即为所求. 又∵ OP平分∠MON，PA⊥ON. ∴ PQ=PA=2. 2.解：∵∠C=90°∴AC⊥DC 又∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB ∴ DE=CD，△ACD≌△AED (AAS) ∴ AC=AE 又∵ AC=BC，∴BC=AE ∴ △ DEB的周长=EB+BD+DE=EB+BD+CD =EB+BC=EB+AE=AB=6cm. 3.解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线 又∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DF=DE=2， S△ABC=S△ABD+S△ADC =AB·DE+AC·DF ∴ 解得AC=3. 设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对角平分线定理的理解和的认识. 环节五 总结归纳 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$