2025年中考数学真题完全解读（江苏苏州卷）

2025年中考数学真题完全解读（江苏苏州卷） 本次2025年江苏省苏州市中考数学试卷总体保持了苏州地区中考的传统命题风格，同时在题型设置和知识覆盖面等方面与往年有所创新与调整。试卷严格遵循《义务教育数学课程标准》的基本要求，兼顾本地区学情、教情与校情，注重学生综合素质与思维能力的考查，体现了面向学生核心素养培养的导向。 首先，从题量与结构上看，全卷共设置27题，分为选择题、填空题和解答题三大题型，覆盖面较为全面。与往年相比，试卷依旧突出对基础知识的考查，分值分配较均衡，重点围绕数与代数、图形与几何、统计与概率等模块展开，并且在函数、方程及几何推理方面强化了应用性试题的比重，以保证对各知识板块的系统覆盖。题型多样化既可以考查学生的基本运算与技能，也能检测学生对几何直观、函数思想和数形结合等方面的理解与运用。 其次，试卷在难度梯度与计算量方面做了较为合理的控制。前面小题相对简单，针对初中阶段的关键概念进行基础检测，能帮助大多数学生在有限时间内做好铺垫；中部题目将代数与几何综合联系，通过变量转化或构造辅助线等手段，引导学生运用多种策略解决问题；后续压轴题在逻辑推理与深度挖掘上均有所提升，对学生的分析能力、归纳能力和综合运用数学思想方法的素养要求较高。整体来看，本卷难度分层清晰，保证了区分度，可有效评估学生的高阶思维与综合能力。 在命题理念方面，本试卷强调与现实情境相结合。例如，选择题和填空题中多处涉及实数应用、概率统计情境、方位角或几何建模等素材，以贴近学生生活实际，增强学习兴趣；解答题中则通过“摩天轮”“机器人协作”等主题，展示了对数学建模和信息素养的考核。此类设计不仅契合新课标提出的“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标，也有助于培养学生的创新意识与跨学科思维。 在逻辑思维与探究能力的考查上，试卷突出对几何推理论证、函数综合运用与数据分析的深层考察，要求学生在已知条件上进行演绎或构造相似三角形、添加辅助线去寻找关键点等，从而锻炼思维的条理性和严谨度。部分题目还要求利用数形结合策略，鼓励学生从不同角度理解问题，进一步提高个人理解力与表达能力。 综上所述，本套试卷紧扣课程标准要求，题目设置灵活而不失严谨，针对基础知识、思维品质与数学应用能力均有所覆盖，适度提升了对高阶思维和创新意识的要求，真正体现了对学生综合素养的全面考核，兼顾了不同层次学生的发展需求。通过此套试卷，可有效地反映学生对初中数学核心知识与方法的掌握程度，为后续的教学改进提供明确的导向与依据。试卷整体命题思路科学、评价维度多元，能较好地发挥中考选拔与指导的功能。 根据2025年苏州市中考数学真题可见： ❆选择题：共8题 ❆填空题：共8题 ❆解答题：共11题 与2024年真题在题型和题量上保持一致，即“选择+填空+解答”三大题型的总数未发生变化。 1.情境设置更多元 ❆从题目素材可见，运用了人工智能（AI）大模型助学、摩天轮、“苏州之眼”等现实情境。相较2024年，更关注当下社会热点，强调学生对数学与生活关联的理解与应用。 2.考查深度更灵活： ❆一 元一次不等式组与概率等基础知识依旧保持常规难度，但在综合题中融合了多重知识链条（如坐标几何+圆周角定理+函数综合等），对学生的思维灵活性提出更高要求。 ❆解答题条理性要求显著提升，突出过程分析与逻辑论证。 3.知识融合度提高 ❆多题将几何与代数结合，如在正方形折叠、圆及三角形问题中穿插函数思想，体现了对几何量化和坐标法应用的更高要求。 ❆不仅考查对定理公式的理解，也注重在复杂场景下的运用与转换能力。 1.应用意识与建模能力：真实情境题比例增大，需要学生具备提炼问题本质、建立数学模型的能力。 2.综合分析与迁移能力：试题常常将不同章节、不同学科领域的知识相互渗透，要求学生在较短时间内灵活转换解题思路。 3.严谨推理与表达：继续保持对推理过程及书面表达的高要求，凸显思维的严谨性和条理性，对几何中作辅助线、设未知量等步骤的准确性要求更高。 综上，2025年题型结构虽与2024年保持一致，但在情境设置、知识融合与综合难度方面均有所提升，学生需强化数学理解与综合运用能力。 以下分析基于本份“2025年江苏省苏州市中考真题数学试卷”的整体结构与各题考查内容，对其难易程度作出综合评价，以帮助师生系统了解本卷命题思路及考查要点。 1.题型与数量及分值（全卷总分为 24 + 24 + 82 = 130 分） ❆选择题：共 8 小题，每题 3 分，共 24 分。 ❆填空题：共 8 小题，每题 3 分，共 24 分。 ❆解答题：共 11 小题，共 82 分。 2.题型所占比重 ❆选择题约占总分的： ❆填空题约占总分的： ❆解答题约占总分的： 由此可见，解答题比重最大，既注重对基础知识的深入考查，也要求学生具备较强的综合运用能力。 下面以表格形式罗列全卷 27 小题的题号、分值、题型、考查内容以及难易分析，按试题顺序依次排列。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 3 选择题 实数大小比较 难度：易。基础性题目。 2 3 选择题 几何体的旋转及生成，考查空间想象能力 难度：易。基础图形辨识题。 3 3 选择题 科学记数法（大数的表示） 难度：易。基础运算题。 4 3 选择题 幂的运算性质（积的乘方、同底数幂的乘除等） 难度：中。需注意易混点。 5 3 选择题 方位角与平行线判断，几何概念应用 难度：中。技巧性题目。 6 3 选择题 概率基本概念（摸球模型），用方程求概率 难度：中。基础概率模型。 7 3 选择题 一次函数实际应用（待定系数法），函数与生活情境相结合 难度：中。需要方程求解。 8 3 选择题 折叠与几何性质（正方形、相似、勾股定理、面积比较） 难度：中偏上。综合考查较多。 9 3 填空题 因式分解（平方差公式） 难度：易。基础代数题。 10 3 填空题 统计学中的众数概念 难度：易。基础统计题。 11 3 填空题 代数式求值（分式与整式混合，巧用） 难度：中。需仔细代入。 12 3 填空题 一次函数上的点坐标确定（给定一点，求另一点） 难度：中。方法灵活。 13 3 填空题 一元二次方程的根与系数关系 难度：中。常规代数考查。 14 3 填空题 圆周运动与弧长公式（摩天轮路径） 难度：中。物理情境结合题。 15 3 填空题 圆与几何作图综合，考查正切值 难度：中偏上。几何构造题。 16 3 填空题 三角形结合等边三角形与最值问题，综合性强 难度：中偏上。需几何推理。 17 5 解答题 实数混合运算（绝对值、平方与开方等） 难度：易。常规计算题。 18 5 解答题 一元一次不等式组的求解 难度：易。基础不等式考查。 19 6 解答题 分式运算与值的代入计算 难度：中。分式变形考查。 20 6 解答题 概率问题（列表法、树状图），日常情境 难度：中。中等难度概率题。 21 6 解答题 全等三角形、平行四边形性质，尺规几何综合 难度：中偏上。几何证明题。 22 8 解答题 统计与频数分布直方图，估计整体情况 难度：中。统计与推断结合。 23 8 解答题 一次函数与反比例函数综合（几何背景下的函数交点） 难度：中偏上。函图综合考查。 24 8 解答题 三角板应用、旋转与定位，勾股与角度综合 难度：中偏上。几何变换考查。 25 10 解答题 圆、切线判定及圆内接四边形性质 难度：中偏上。几何综合。 26 10 解答题 解直角三角形应用、运动轨迹与一次方程综合 难度：中偏上。综合性强。 27 10 解答题 二次函数与一次函数综合，配方法、判别式，几何面积比 难度：难。技巧性和综合性强。 1.整体难度:本卷注重面向基础、兼顾综合能力，易：中：难大致比例可评估为 3 : 5 : 2。 ❆易：涉及纯计算或直接运用基础概念的题目，如第 1 题（实数大小比较）、第 10 题（众数判断）、第 17 题（实数混合运算）等。这些题目直接考查学生的基本功和概念掌握。 ❆中：需要综合多个知识点或进阶逻辑推理的题目，如第 5 题（方位角与平行线）、第 6 题（概率求解）、第 12 题（一次函数坐标）等，约占本卷大部分比重。 ❆难：几何与函数综合及构造性较强的题目，如第 27 题（二次函数与一次函数的综合，涉及面积、判别式与配方法），需要较高的抽象与推理能力。 2.不同难度层级题目的特点 ❆易：与教材例题较为相似，直接考查基础计算和概念掌握；做题时间短，正确率相对高。 ❆中：融合基础知识与简单的综合能力，需要一定的技巧和思考；能区分基本功扎实与一般水平的同学。 ❆难：题目情境较复杂，或需要多步推理和构造辅助线，强调对数学综合素养和思维能力的要求；能有效区分尖子生与一般学生。 总体而言，本套试卷兼顾基础性与综合性，考查范围覆盖代数、几何、统计与函数等中考主干知识，为区分度合理的中考卷。通过答题，既能洞察学生对基础概念和运算技能的掌握情况，也能反映学生应用数学知识进行综合思考和解决实际问题的能力。 在本份“2025年江苏省苏州市中考真题数学试卷”中，各题紧扣基础知识，又突出对综合运用能力与思维灵活性的考查。为帮助同学们在接下来的复习中更具针对性，现将重点知识、易错易混点、不同题型的解题思路及心理调适等方面整理如下，并对可能的命题趋势做出预测，供大家参考。 1.数与代数 ❆、、、、、等均是常考点，要求熟悉概念、掌握常用运算技巧。 ❆在解题中，特别要留意幂的混合运算和分式化简中的运算顺序，并注重对、的灵活配合使用。 2.图形与几何 ❆、相关问题多从“构造辅助线、寻找相似或全等”去突破；立体几何中常见的旋转体（如“直角三角形绕直角边旋转得到圆锥”的问题）也是重点。 ❆及相应的切线、弧、圆周角几何性质是近年来的热门考点，如圆的切线判定、圆内接四边形等。 3.统计与概率 ❆频数分布直方图、条形图的应用、概率计算的基本公式等，是必考内容。要熟悉“列表法或树状图法”求概率，关注分类不重不漏。 4.综合与应用 结合实际场景，如交通行驶、摩天轮旋转、机器人路径设计等，为函数、几何、统计等知识提供了应用场合。解题时要先“转化为数学模型”，再进行求解。 1.实数比较与科学记数法 ❆有同学在比较大小时常忽略负数或开方数等情况。例如比较与，要先明确数值近似再判断。科学记数法中，若将未经正确拆分就随意置小数点，易带来指数错误。 2.一次函数与反比例函数图像交点 ❆真题中常将一次函数和结合考查，同学们要注意不等于零的自变量范围，以及根据交点满足“代数方程组”的思路来求解。 3.根与系数的关系 ❆、等基本公式要熟记；若已知或，注意利用代数恒等变形避免运算失误。 4.三角形与折叠问题 ❆易错点集中在辅助线的添加，如垂线、平行线或判定等腰、相似等。要熟知勾股定理、三角形外角定理调用环节，避免划错或漏画辅助线。 5.几何作图与切线判定 在圆的切线判定题中，只要能证（为半径），即可断定“是切线”。许多同学会在画辅助线时丢失已知条件，导致结论无法闭合。 1.第一阶段（夯实基础） ❆建议梳理课本和笔记，将、“知识点清单”全面过一遍，落实到关键词 ❆做题时不求多而求准，对易错题进行归类反思，重点关注因式分解、方程与函数图像问题。 2.第二阶段（专项训练） ❆将数与代数、函数与图像、几何与证明、统计与概率等按专题集中突破。针对自己的薄弱项做到有的放矢，反复巩固。 ❆每日适量做中档试题，通过典型真题和模拟题，形成较熟练的做题思维和解题策略。 3.第三阶段（综合提升） ❆结合历年中考真题或综合模拟卷，进行限时训练，提高解题效率与稳定度。 ❆练习对多知识点融合题目的拆解方法：先识别考点，再大胆分步处理或设置辅助手段，将复杂问题分解为若干简单问题。 1.选择题 ❆尝试排除法：根据已知选项与关键特征，一步步筛除不可能答案；并能通过特殊值验证、观察量纲是否合理等方式来判别正确选项。 ❆注意快准结合：不宜在单个选择题耗时过久，若遇到计算量较大的题目，可先跳过再回看。 2.填空题 ❆书写要简洁明了，常用到的结论或计算应准确表达，如、等不要简写成易混淆符号。 ❆对结果留意“是否需保留根号”或“是否要设小数精度”。 3.解答题 ❆注重过程的完整性与逻辑性：先写已知、再画关键辅助线、列方程或转化为函数关系，最后下结论。 ❆结构清晰：若分几步完成，可标注序号，使思路一目了然。答题卡上“分段书写”尤为重要。 1.及时调适心态 ❆复习中难免有瓶颈期，不要急于求成，适度调整。可尝试与同学讨论或寻求老师指导，找到问题根源后再发力。 ❆保持自信与平稳心态，合理安排作息与锻炼，避免疲劳备考带来的遗忘或失误。 2.科学规划时间 ❆每天安排固定时段回顾当天错题，形成“错题重做”与“典型题再思考”的良性循环。 ❆考前一周，可做适度模拟，幻灯操作，从容应考。 ❆情境化、综合化：真题已体现对真实情境的关注，如与生活、科技结合，今后可能继续深化对思维能力及应用能力的考查。 ❆函数与几何融合：一次函数、反比例函数、二次函数与几何图形结合的考题将依旧是热点，尤其是用代数方法求解几何量或反之的综合题。 ❆统计与概率：频数分布图、列联表、概率求解等将持续受重视，建议多加练习情境新颖的统计分析题。 同学们在备考时还需重视基础，规避运算失误，提醒自己国标化的审题方法与严谨的答题步骤。祝愿大家在接下来的复习中稳步提升，取得理想成绩！ 2025年江苏省苏州市中考真题数学试卷 注意事项: 1.本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3.答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦净后，再选涂其他答案；答非选择题为须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指家的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4.考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一 有律无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上 1．下列实数中，比2小的数是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握原则是解题的关键． 【详解】解： A、 ，不符合条件． B、 ，不符合条件． C、 ，不符合条件． D、 ，符合条件． 故选：D． 2．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体形成的基本原理解答即可． 本题考查了几何体的生成，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥， 故选：A． 3．据人民网消息2025年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达63252000万元，其中，出品40317000万元，创历史同期新高，同比增长．数据40317000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握其表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：． 故选：B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可． 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则． 【详解】A. ，但选项A结果为，错误． B. ，但选项B结果为，错误． C. ，符合积的乘方法则，正确． D. ，但选项D结果为，错误． 故选：C． 5．如图，在两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图： 由题意得，， ∴， ∴ 故选：C． 6．一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握概率的公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 7．声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解：满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 8．如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本大题共8小题,每小题3分,共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位置上 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 10．某篮球队在一次联赛中共进行了6场比赛，得分依次为：．这组数据的众数为 ． 【答案】71 【分析】本题考查了众数．一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数，据此即可解答． 【详解】解：数据中，71出现的次数最多，所以这组数据的众数为71； 故答案为：71． 11．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 12．过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 13．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 14．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 15．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 16．如图，在中，是线段上一点（不与端点重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点F，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，垂线段最短，过点作于，解得到，证明，可得，当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合，可可求出的最小值为，根据可知当有最小值时，有最大值，则的最大值为． 【详解】解：如图所示，过点作于， 在中，， ∴； ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点D与点H重合， ∴的最小值为， ∴的最小值为， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共 11小题，共82分，把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明,作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。 17．（本题满分5分）计算：． 【答案】10 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18．（本题满分5分）解不等组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集是． 19．（本题满分6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据分式的运算法则进行化简，再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20．（本题满分6分）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． (1)甲同学选择A电影的概率为________； (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】（1）现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； （2）用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 21．（本题满分6分）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析(2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）， ∴． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 22．（本题满分8分）随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A B C D E 合计 1 根据提供的信息回答问题： (1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； (2)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）； (3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】(1)图见解析(2)C (3)该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人 【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息． （1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数， （2）50个人的中位数是第25和26人的平均数； （3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可． 【详解】（1）解：总人数：． D组人数：人． 如图为所求： （2）解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数， 从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组， 故答案为：C； （3）解：， （人）． 答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人． 23．（本题满分8分）如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图像交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图像交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键． （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图像上， ， 解得． 24．（本题满分8分）综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，，中，． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ∴． （2）①如图，过点作，垂足为， 中，， ． 中，． ∴， ． ②，理由如下： ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．（本题满分10分）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（本题满分10分）两个智能机器人在如图所示的区域工作，，，直线为生产流水线，且平分的面积（即D为中点）．机器人甲从点A出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为，记点P到的距离（即垂线段的长）为，点Q到的距离（即垂线段的长）为．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时与t的部分对应数值如下表： 0 5.5 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为________m； (2)求的值； (3)当机器人甲、乙到生产流水线的距离相等（即）时，求t的值． 【答案】(1)55(2)(3)或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质求得，得到，，推出，，分当点Q在上和点Q在上时，两种情况讨论，分别求得，，据此求解即可； （3）根据题意求得，分当点Q在上和点Q在上时两种情况讨论，列式一元一次方程方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴机器人乙运动的路线长为， 故答案为：55； （2）解：根据题意，得， ∵中，，为中点， ∴， ∴，， ∴，， 当点Q在上时，， ∴，解得， 当点Q在上时，作，垂足为H（如图）， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：当时，， 此时，， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时，由，得， 解得． 当点Q在上时，由，得， 解得． ∴或． 27．（本题满分10分）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$