专题1.4 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题1.4 二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（23-24九年级上·河北保定·期中）顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 2．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小；即可得． 解：A、对称轴是直线，选项说法正确，不符合题意； B、函数的最大值是3，选项说法正确，不符合题意； C、开口向下，顶点坐标，选项说法正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求得对称轴为直线，开口向下，根据点到对称轴的远近进行判断即可求解． 本题考查二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 解：∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下，而点B在对称轴上，点C离对称轴最远， ∴． 故选：A． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）抛物线经过点和，若，则b的值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出的值是解题关键． 把看作，再根据求解即可． 解：把看作 令 解得 又 故 故选A． 6．（23-24九年级上·河南商丘·期中）现有一组抛物线∶，．．．这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点及一次函数的性质，设这组抛物线的顶点为，再代入各个选项一一判断即可． 解：由题意可设这组抛物线的顶点为， A．将代入中，得，顶点在直线上，本选项符合题意； B．将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； C．将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； D．将代入中，得，顶点不在直线上，本选项不符合题意； 故选：A 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，灵活运用二次函数的图像及性质是解答本题的关键． 根据二次函数解析式得到对称轴直线为，根据二次函数与线段恰有两个交点得到，分类讨论：当在函数图像上，当在函数图像上，由此即可求解． 解：∵ ∴对称轴直线为， ∵抛物线与线段恰有两个交点， ∴， 当在函数图像上时，则有：， 解得，或 当在函数图像上时，则有：， 解得（舍）或； 当时，抛物线与线段恰有两个交点， 故答案为： C． 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，是二次函数图象上的两点，则下列命题正确的是（    ） A．若，时，则 B．若，时，则 C．若，时，则 D．若，时，则 【答案】D 【分析】根据是二次函数图象上的两点，最终得出，根据绝对值的性质，同正同负时得到，再分别求出的取值范围即可求解． 解：在上， ， ， ， ， 当绝对值里面同为正时，得， ， ， ， 当绝对值里面同为负时，得， ， ， ， 故，时，， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，化简绝对值，解题的关键是需要进行分类讨论进行求解． 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 解：抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据解析式得出对称轴为直线，进而根据题意可得，进而即可求解． 解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当分别取，时，函数值相等，则， 时， 函数值． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东济宁·期中）对于一个二次函数中若存在一点，使得，则称为该拋物线的“开口大小”，那么拋物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识．利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案． 解：二次函数， ∴， 根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ∵将原二次函数的解析式化为顶点式可得： ， ∴中存在一点，有， 解得，则， ∴“开口大小”为4， 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）设a、b为实数，已知A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线的顶点，过A、B的直线为，则 、 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质．利用二次函数的性质求得，，再根据一次函数的性质求解即可． 解：∵， ∴当时，，顶点， ∴， ∵直线过点A、B， ∴， 解得， ∴，， 故答案为：，． 13．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 14．（21-22九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴的交点为，顶点为，点为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点不与点重合），连接、、、，若的周长为，则四边形的周长为 （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】由抛物线的对称性得到：，，则四边形的周长为等于的周长加上的长，由此得出答案即可． 解：抛物线， 对称轴为直线， ， 由抛物线的对称性知， ∴四边形的周长为 的周长为， 即， ∴四边形的周长为， 即四边形的周长为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点坐标，此题利用了抛物线的对称性，解题的关键在于把求四边形的周长转化为的周长加的长． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）；（2），该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 解：（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 16.（8分）（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A（2，0）． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M （1，-2）；（2） 【分析】（1）将A（2，0）代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 解： （1）∵抛物线过点A（2，0）， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是（1，-2）； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A（2，0），M （1，-2）， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17.（8分）（20-21八年级下·全国·课后作业）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 （1）求a，h，k的值； （2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）当时，求函数y的取值范围． 【答案】（1）；（2）向上，；（3） 【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值； （2）根据二次函数的性质求解； （3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解． 解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（−1，3），把点（−1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，−1）， 所以原二次函数的解析式为 所以； （2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）． （3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1） ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当x=2时，y的最小值为-1， ∵x=1时，；x=5时， ∴当时，求函数y的取值范围为． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质． 18.（8分）（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是________； （2）求抛物线线中b，c的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解． （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 解：（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，… ∴抛物线的顶点横坐标是， 代入，则， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． （2），当时，抛物线的顶点坐标是， 由顶点式得： ，展开得． ∴，． 【点拨】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数解析式为，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小，进而可得当时，函数取最小值；当时，函数取最大值，据此即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越近函数值越小， ∵， ∴当时，函数取最小值；当时，函数取最大值， ∴的取值范围为， 故选：． 20．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 21．（2025九年级下·全国·专题练习）已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．3或4 B．0或4 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，分情况，，，再进一步解答即可. 解：函数图象开口方向向下， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ①若，当时，取最大值， 可得：， 解得或（舍去）， ②若，当时，取最大值， 可得：， 解得或（舍去）， 又时，的最大值为2， 不符合题意， 综上，的值为或． 故选：D． 22．（23-24八年级下·重庆·期末）如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A．n的值为16 B．当时，x的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，根据E、F的运动路径及对应的函数图象逐个进行判断可以得解． 解：由题意，当点B将暂停时，的面积不变，， ， 故A正确； 由题意，当时，． ∴令，则或（舍去）． 由题意，当时，， ． 当时，F在的中点，又过2秒，F到C点，此时E在的中点， ， ∴当时， ∴此时令 或（舍去） 当继续运动时变小， ∴当时，或，故B正确； 又段的函数解析式为， ∴C说法错误． 由题意，当时，E继续运动2秒即停止， ，故D正确． 故选：C． 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 24．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ． 【答案】②④/④② 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大； 开口向上，但与的图象形状相同； ②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象的形状相同； 所以，符合上述3个性质的是②④， 故答案为：②④． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质． 25．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．设，则，由的面积为2，得出，即可根据抛物线的对称性得出，，把代入解析式即可求得，进一步得到． 解：设， ， ， ， 点，的面积为2， ， ， ，， 抛物线为， 把代入得，， 解得， ， 故答案为：2． 26．（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C是线段AB上的动点，且反比例函数 的图象经过点C． （1）当点C为的中点时，k的值为 （2）当点C在线段上运动时，k的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数，解题的关键是求出直线的解析式，得到k是关于m的二次函数． （1）先计算出C的坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出直线的解析式，设可得，将代入反比例函数即可得到k是关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求出k的取值范围． 解：（1）∵点C为的中点， ∴点C的坐标为 即， ，解得． （2）设直线的解析式为， 将点代入，得： ，解得 ， ∴直线的解析式为 设点，则 ∵反比例函数 的图象经过点C， ， ， ∵k是关于m的二次函数，对称轴为直线， ∴当时，k有最大值， ． 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程， （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程两根，满足，求的值； （3）在问题（2）成立的前提下，写出函数的增减性． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可． （2）利用根与系数的关系求解即可； （3）根据（2）中m值，判断出开口方向，结合对称轴分析即可． 解：（1）解：∵， ∴所以方程有两个不相等的实数根； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴函数开口向上，而对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，二次函数的增减性．要熟练掌握根的判别式以及根与系数的关系的应用方法． 28.（12分）（2023·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． （1）当时，求的长； （2）如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； （3）如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见分析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握两条直线的值相等，则两直线平行是解题的关键． （1）根据顶点式解析式求出点坐标，令，求出值可得点坐标，利用两点间距离公式求出的长即可； （2）分别用表示出、、的坐标，可表示出的长，再用待定系数法求直线的解析式，表示出点坐标，从而求出的长，即可求的面积； （3）设，用待定系数法先求直线的解析式，从而求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，从而判断直线与是平行的即可． 解：（1）解：当时，， ∵该抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴， ． （2）∵， ∴， 当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． （3）设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∵， ∴同理可求直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质 （分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（23-24九年级上·河北保定·期中）顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．函数的最大值是3 C．开口向下，顶点坐标 D．当时，y随x的增大而增大 4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽六安·模拟预测）抛物线经过点和，若，则b的值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 6．（23-24九年级上·河南商丘·期中）现有一组抛物线∶，．．．这组抛物线的顶点都在（   ） A．直线上 B．直线上 C．抛物线上 D．抛物线上 7．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知，是二次函数图象上的两点，则下列命题正确的是（    ） A．若，时，则 B．若，时，则 C．若，时，则 D．若，时，则 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 11．（24-25九年级上·山东济宁·期中）对于一个二次函数中若存在一点，使得，则称为该拋物线的“开口大小”，那么拋物线“开口大小”为 ． 12．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）设a、b为实数，已知A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线的顶点，过A、B的直线为，则 、 ． 13．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 14．（21-22九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴的交点为，顶点为，点为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点不与点重合），连接、、、，若的周长为，则四边形的周长为 （用含的代数式表示）． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 16.（8分）（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A（2，0）． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 17.（8分）（20-21八年级下·全国·课后作业）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 （1）求a，h，k的值； （2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）当时，求函数y的取值范围． 18.（8分）（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题： （1）抛物线的顶点坐标是________； （2）求抛物线线中b，c的值． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数解析式为，当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 21．（2025九年级下·全国·专题练习）已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为（   ） A．3或4 B．0或4 C．或 D．或 22．（23-24八年级下·重庆·期末）如图1，点E，F同时从矩形的顶点A出发，点E沿运动，到达点B 时暂停后继续运动，点F沿运动，E，F两点到达点C后均停止运动．已知，点E，F在矩形长边上运动时速度均为，在矩形短边上运动时速度均为，设运动时间为，的面积为，y与x 的函数关系如图2所示，则下列说法中错误的是（　　） A．n的值为16 B．当时，x的值为3或 C．段的函数解析式为 D．段的函数解析式为 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 24．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ． 25．（2023·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线、均为常数且，．过点作轴垂线交抛物线于、两点、在点的右侧），连结、．当，且的面积为2时，则的值为 ． 26．（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C是线段AB上的动点，且反比例函数 的图象经过点C． （1）当点C为的中点时，k的值为 （2）当点C在线段上运动时，k的取值范围是 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的方程， （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程两根，满足，求的值； （3）在问题（2）成立的前提下，写出函数的增减性． 28.（12分）（2023·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． （1）当时，求的长； （2）如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； （3）如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$