专题1.2 二次函数y=ax²(a≠0)和y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题1.2 二次函数y=ax²(a≠0)和y=ax²+k(a≠0)的图象与性质（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 8．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（    ）    A． B． C． D． 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）二次函数的图象顶点坐标为 ． 10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 11．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知点、、在二次函数的图象上，则的大小关系为 ． 13．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点…都是和谐点，请写出二次函数的图象上所有和谐点的坐标是 ． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 16.（8分）（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标． （2）观察图象，直接写出当时的取值范围． 17.（8分）（21-22九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 18.（8分）（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （3）下列关于该函数的说法，错误的是（    ） A．函数图象是轴对称图形； B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大； C． 函数值y都是非负数； D．若函数图象经过点与，则 （4）点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   22．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 24．（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 25．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）“数形结合”是解决数学问题的一种重要思想，请用这种思想解决下面的问题：已知关于x的方程有三个不同的实数根，则k的值为 ． 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 28.（12分）（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下操作步骤： ①连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． ②在轴上多次改变点的位置，用（1）的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线． 某数学兴趣小组在探究时发现在轴上取几个特殊位置的点，可以求出相对应的点的坐标； 例如：取点，过作轴于点． ， 在中，根据勾股定理得． ________； 在的垂直平分线上 ， 解得：________． （1）请帮忙完成以上填空； （2）请你帮该数学兴趣小组求出点所在曲线的解析式； （3）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点只能在的范围内移动，求的取值范围．（直接写出答案） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 二次函数y=ax²（a≠0）和y=ax²+k（a≠0）的图象与性质 （分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．利用二次函数的一般形式为：（是常数，），进而判断得出即可． 解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不正确； B、不是二次函数，故本选项不正确； C、符合二次函数的定义，故本选项正确； D、不是二次函数，故本选项不正确． 故选：C． 2．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合． 分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求． 解：A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意． 故选：C． 3．（2025·上海·模拟预测）抛物线一定不经过第一、二象限，那么下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次函数经过的象限确定字母系数的符号，解题关键是利用数形结合思想求解． 先确定抛物线的开口方向，再确定与轴的交点位置来确定的符号． 解：∵抛物线一定不经过第一、二象限， ∴抛物线的开口方向下，抛物线在第三、四象限， ∴，可排除选项，； ∴抛物线与的交点在负半轴，或过原点， ∴，可排除， 故选：B ． 4．（2025·河南驻马店·二模）点 是抛物线 上的点，且 ，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的图象和性质，先判断出抛物线开口方向及对称轴，再根据点到对称轴的距离判断函数值的大小． 解：中 抛物线开口向下，对称轴为y轴，抛物线上离对称轴越远的点，函数值越小， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 （a，k为常数，），当时，抛物线开口向上，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，此时函数有最大值．根据抛物线的顶点是此抛物线的最高点可知，据此求解即可． 解：∵抛物线的顶点是此抛物线的最高点， ∴， ∴． 故选：D． 6．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数的图像如图所示，则二次函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 7．（2024·山东济南·三模）已知点在直线上，点和在抛物线上．当时，有，则可以等于下列哪个值（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 解：令，整理得， 解得，， 直线与抛物线的交点的横坐标为5，0， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 把代入， 解得， 若，，则，， ， 故选：A． 8．（2023九年级·安徽·专题练习）如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法求出函数，的解析式；设直线为，直线经过函数，，可求出，的值，即可求出的值． 解：∵抛物线和抛物线分别交于点、， ∴，， ∴，， 设直线为， ∵直线经过函数，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解题方法． 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）二次函数的图象顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握利用二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键．由题意得，二次函数为顶点式，即可求出顶点坐标． 解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）若抛物线与形状相同，开口方向相反，则抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，掌握二次函数中形状相同，开口方向的性质是解决本题的关键．由形状和开口方向即可得出的值 解：抛物线与形状相同，开口方向相反 则， ∴的解析式为 故答案为： 11．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）对于二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 解：∵二次函数， ∴开口方向向下，对称轴为直线，即对称轴是轴， 此时在时，有最大值，且， ∵，且， ∴在时，有最小值，且， ∴的取值范围是， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知点、、在二次函数的图象上，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为y轴知离对称轴水平距离越远，函数值越小，据此求解可得． 解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴水平距离越远，函数值越小， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点…都是和谐点，请写出二次函数的图象上所有和谐点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和谐点的定义，设点在二次函数的图象上，把代入函数解析式进行求解即可． 解：由题意，设点在二次函数的图象上， 则：，解得：或， ∴的图象上所有和谐点的坐标是； 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … （1）补充表格中的y值； （2）在坐标系中画出图象． 【答案】（1）3，0，，0，3；（2）作图见分析 【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键． （1）分别将值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线即可画出图象． 解：（1）解：当； 当； 当； 当； 当； （2）解：图象如图： 16.（8分）（23-24九年级上·甘肃武威·期中）如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标． （2）观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：（1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则， 所以当时的取值范围为． 17.（8分）（21-22九年级上·浙江·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． （1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】（1）（）；（2）（） 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 解：（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点拨】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 18.（8分）（21-22九年级上·湖北襄阳·期末）初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数的图象和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． （1）函数的自变量x的取值范围是______； （2）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中______，______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 1 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点，请补充描出点，； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （3）下列关于该函数的说法，错误的是（    ） A．函数图象是轴对称图形； B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大； C． 函数值y都是非负数； D．若函数图象经过点与，则 （4）点与在函数图象上，且，则a与b的大小关系是______． 【答案】（1）取任意实数；（2）；；图象见分析；（3）B；（4） 【分析】（1）根据解析式直接可得答案； （2）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值； ②根据m、n的值描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象； （3）观察函数图象，逐项判断即可得答案； （4）由可得，即知． 解：（1）解：函数的自变量x的取值范围是x取任意实数； 故答案为：x取任意实数； （2）当时，， 当时，， 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图； （3）根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意， 函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意； 若函数图象经过点与，则；故D正确，不符合题意， 故答案为：B； （4）∵， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（23-24九年级上·河北·阶段练习）当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 20．（2025·上海静安·一模）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 21．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 24．（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 25．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 26．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）“数形结合”是解决数学问题的一种重要思想，请用这种思想解决下面的问题：已知关于x的方程有三个不同的实数根，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，画出与的函数图象，结合函数图象分析计算即可． 解：当或时，； 当时，； ∵，当时，， ∴过定点， ∴与的函数图象如图所示： ∵关于x的方程有三个不同的实数根，即函数与有三个不同交点， ∴根据函数图象可得与在范围内有唯一交点， ∴联立得， ∴方程有两等根，且方程的解，在范围内， ∴，且， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，过点的直线交抛物线于点F，D，过点F的直线交抛物线于另一点E，则直线过定点，求这个定点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题，熟练掌握二次函数和一次函数的性质和待定系数法是解题的关键，根据二次函数解析式设，利用待定系数法分别求出直线,,的解析式，由过点和直线的解析式可得到，，再分别将其代入到直线中，可得到，进而得到直线过定点． 解：设． 利用待定系数法可得，直线， 直线， 直线． 过点， ． ∵直线的解析式为． ∴， ∴， ． ∴直线， ∵当时，， ∴直线过定点． 28.（12分）（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下操作步骤： ①连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． ②在轴上多次改变点的位置，用（1）的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线． 某数学兴趣小组在探究时发现在轴上取几个特殊位置的点，可以求出相对应的点的坐标； 例如：取点，过作轴于点． ， 在中，根据勾股定理得． ________； 在的垂直平分线上 ， 解得：________． （1）请帮忙完成以上填空； （2）请你帮该数学兴趣小组求出点所在曲线的解析式； （3）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点只能在的范围内移动，求的取值范围．（直接写出答案） 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及二次函数的图象与性质． （1）根据题意，完成所缺步骤即可； （2）连接，过点A作根据线段垂直平分线的性质得出再由 勾股定理即可得出结论 ； （3）由函数解析式求出最小值，再求出点M移动时y的最大值，即可得出结论. ． 解：（1）取点，过作轴于点． ， 在中，根据勾股定理得． ； 在的垂直平分线上 ， 解得：．    故答案为：； （2）连接，过点作，    ∵是线段的垂直平分线，点在上， ∴， ∵轴， ∴ ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴； （3）∵曲线的解析式为， ∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为， ∴函数值有最小值，为1， 当时，；当时，， 所以，点在的范围内移动时，的取值范围为 第一卷【夯实基础】 7、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 8、 填空题(每小题3分，共18分) 9、 解答题（4题共计30分） 15.（6分） 16.（8分） 17.（8分） 18.（8分） 第二卷【拓展培优】 10、 选择题(每小题3分，共12分) 11、 填空题(每小题3分，共12分) 12、 解答题(12×2=24分) 27.(12分) 28.(12分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$