精品解析：河北省廊坊市霸州市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期过程性教学质量监测（4月）八年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2.答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3.答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，15 D. 5，12，13 4. 如图，在正方形中有一点，连接，，.若为等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 6. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 7. 海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 8. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 9. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（ ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，． A. 甲，乙，丙都是 B. 只有甲，乙是 C. 只有甲，丙是 D. 只有乙，丙是 11. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 14. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 15. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是_____． 16. 如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 19. 嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． （1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． （2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 20. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 21. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 22. 如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： （1）两条小路的长度； （2）菱形花坛的面积．结果保留根号 23. 有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的长和宽； （2）若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料； （3）若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？ 24. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期过程性教学质量监测（4月）八年级数学（人教版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2.答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3.答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和最简二次根式的定义． 利用二次根式的化简和最简二次根式的定义，即根号内不含分母和开的尽方的因数或因式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项：不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； B.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； C.选项：是最简二次根式，故本选项正确，符合题意； D.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．逐一分析各选项的运算是否正确，利用二次根式的性质和运算法则进行判断． 【详解】A. 与非同类二次根式，无法直接相加，故错误； B. ，故错误； C. ，故错误； D.，则，计算正确． 故选D． 3. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，15 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； B．，， ， 不能构成直角三角形， 故选项不符合题意； C．， 不能构成三角形， 故选项不符合题意； D．，， ， 能构成直角三角形， 故选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，在正方形中有一点，连接，，.若为等边三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 求得，，根据三角形内角定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 6. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 7. 海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：D． 8. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等，为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致.这种检查方法用到的数学依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 三个角都是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键．根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架的对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 这种检查方法用到的数学依据是：对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：C． 9. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，图中正方形的面积是10，，则正方形的边长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理求出的值，结合图形即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10，， ∴， ∴在中，， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形的边长为：， 故选：A． 10. 如图，在中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲，乙，丙三种方案中，正确的方案是（ ） 甲方案：在上取，连接，，，； 乙方案：作，分别平分，，连接，； 丙方案：作于点，于点，连接，． A. 甲，乙，丙都是 B. 只有甲，乙是 C. 只有甲，丙是 D. 只有乙，丙是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 对于甲方案：连接交于O，利用平行四边形的性质结合已知证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；对于乙方案：根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，，再根据角平分线的定义证得，进而证明得到，，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；对于丙方案：先根据平行线的判定证明，再证明得到，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；． 【详解】解：甲方案：连接交于O，如图， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故甲方案正确； 乙方案： 在中，，，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故乙方案正确， 丙方案： 在中，，， ∴， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴，又， ∴四边形为平行四边形，故丙方案正确； 故选：A． 11. 若m为实数，在“□m”的“□”中添上一种运算符号（在“”“”“”“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的代数式，因此选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的代数式，因此选项A、选项B不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的代数式，因此选项B、选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的代数式，因此选项A不符合题意； 综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式， 故选：C． 12. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接、、，作于，首先证明，求出，，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、、，作于， 四边形是平行四边形，，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， 点在上， 的最大值为的长，最小值为的长， 的最大值为，最小值为， 的最大值为，最小值为， 的最大值与最小值的差为：． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形、含的直角三角形的特征、三角形中位线定理，解题关键是构造以为中位线的三角形． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求点到原点的距离，利用两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：点到原点的距离是； 故答案为：． 14. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】∵，且是整数， ∴2是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故答案为6． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 15. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是_____． 【答案】625 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知 SE=SF+SG =SA+SB+SC+SD =122+162+92+122 =625； 故答案为：625． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义． 16. 如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）用含的式子表示为_____； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1） （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测得多出部分绳子的长度是1米”进行作答即可； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【小问1详解】 解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； 【小问2详解】 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 19. 嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． （1）若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． （2）如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 20. 如图，四边形为平行四边形，线段为对角线，点E、F分别为线段、的中点，连接交于点 O． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E、F分别为线段、的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判断，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）根据平行四边形的性质得出，则，再根据中点的定义，得出，即可求证四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，再根据三角形的中位线定理，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 21. 如图，是该校七年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得，，，，． （1）求之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：连接， 在中，，，， 由勾股定理得，， ∴之间的距离为； 【小问2详解】 ∵m，m，m， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 所以四边形的面积为． 22. 如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： （1）两条小路的长度； （2）菱形花坛的面积．结果保留根号 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，菱形的对角线平分一组对角可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，然后求出即可； 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：花坛是菱形， ，，，， 中，， ， ，； 【小问2详解】 解：． 答：菱形花坛的面积是． 23. 有一块矩形木板，采用如图所示的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的长和宽； （2）若从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，请通过计算说明能否裁出符合条件的矩形木料； （3）若从矩形木板中裁出长为、宽为的矩形木条，最多能裁出多少根这样的木条？ 【答案】（1） （2）能 （3）5根 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； （3）根据，，则，从而可以得出最多能截出5根这样的木条． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为 ∴正方形的边长为： ∴， ∴矩形木板的面积为 【小问2详解】 解：能，过程如下： ∵矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料， ∴裁出的矩形的长为： 由（1）得矩形的长为，宽为， 则，，， ∵，， ∴，， ∴能裁出符合条件的矩形木料； 【小问3详解】 解：由题意，， ∵ ∴， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 24. 如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1） ∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形ABEF是矩形． ∵AE平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2） ∵AE平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据可得，即可求得，，再由可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，熟悉正方形的性质与判定是解题的关键是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $