专题1.2（4） 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.2（4） 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 6．（2025河南省中招考试数学押题卷（一））若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0.5 7．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （   ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，该图形是中心对称图形， 四边形是正方形，点、在正方形内部且，，，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 10．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则 ． 11．（2025年浙江省宁波市九年级下学期强基计划数学测试试卷）已知a，b满足，已知，x为正数，则 ． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 13．（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ． 14．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程： （1） （2） 16.（8分）（2025·广东清远·二模）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简分式，并求出其取值范围． 17.（8分）（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 18.（8分）（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 （1）【引申】已知，则_____________． （2）【拓展】已知，求的值． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（24-25八年级下·重庆·期中）若正数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　） A． B． C． D． 21．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，同号，则 D．若，异号，则 22．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程（a，b是常数，）是“差1方程”设，t的最大值为 ． 24．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点D在直线上，点E为x轴上任意一点，点，若为正三角形时，则点D的坐标为 ． 25．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为 ；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为 ． 26．（2025·安徽合肥·二模）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 28.（12分）（2025九年级下·全国·学业考试）已知． （1）求的最小值． （2）若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2（4） 一元二次方程的解法——公式法和因式分解法（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如（其中a、b、c是常数，）的形式即可得到答案． 解：， ， 则，，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 3．（24-25九年级下·河北廊坊·期中）点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，解一元二次方程等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据第四象限点的坐标特征可得：，从而可得：，然后根据点到坐标轴的距离可得，再代入式子中进行计算，即可解答． 解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， ∵点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得． 解：设， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得或， ∴当，即时，此时方程无解， ∴， 故选：B． 5．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，数轴，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由数轴得：，，先计算根的判别式即可． 解：由数轴得：，， ． ． 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．（2025河南省中招考试数学押题卷（一））若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．0.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B 7．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式．方程化为一般式为，根据根的判别式的意义得到，所以，于是可计算出，，然后消去得到与的关系． 解：方程化为一般式为， 根据题意得， ∴， ∴， 即， ，， ． 故选：A． 8．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，该图形是中心对称图形， 四边形是正方形，点、在正方形内部且，，，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】正方形是中心对称图形可得，，，再根据已知条件得知为直角三角形，由勾股定理求出，然后设，，根据已知条件列出式子求解即可． 解： 如图，连接交于 正方形是中心对称图形， ，，， ， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 设，则，， 在中， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， 故选：A 【点拨】解题的关键是掌握正方形的性质、中心对称图形的性质、勾股定理解三角形和一元二次方程的求解． 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 解：， 则， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适的方法．设，把原方程变形并求得的值，结合是非负数，即可得出答案． 解：设，则原方程为， 整理得， ∴， 解得， ∵是非负数， ∴． 故答案为：2． 11．（2025年浙江省宁波市九年级下学期强基计划数学测试试卷）已知a，b满足，已知，x为正数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换为一元二次方程即可解答，熟练计算是解题的关键． 解：由题意得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 解得，， 当时，，故舍去， ， 故答案为：． 12．（2025·安徽蚌埠·三模）等腰三角形有一条边为4，若另外两条边长a，b是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则m 的值为 ． 【答案】6或7/7或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 当4为腰长时，将代入原方程，求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形；当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，根据求出，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形． 解：当4为腰长时，将代入原方程，得， ∴， 原方程为， 解得 ， 又∵， ∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， ∴原方程为 ， 解得， 又∵， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m的值为6或7 故答案为：6或7． 13．（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次根式的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 14．（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可． 本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键． 解：根据题意，得， 整理得， 解得． 经检验，是原方程的根， 故答案为：或． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 16.（8分）（2025·广东清远·二模）已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）化简分式，并求出其取值范围． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，分式化简，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合关于的方程有两个不相等的实数根，得出，进行化简计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，结合（1）的结论进行作答即可． 解：（1）解： 关于的方程有两个不等的实数根， ， 解得． （2）解：原式． 由（1）得． ， 即． 17.（8分）（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点的坐标为______； （2）已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； 【答案】（1）；（2）①见分析；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并正确计算． （1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标． （2）①利用根的判别式即可证明； ②先运用因式分解法整理得，再根据衍生点的定义即可写出M点坐标，即可作答． 解：（1）解：∵， ∴， ∴两个根为， 根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为． 故答案为：． （2）解：①证明：∵ ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②， ∴， 解得：， ∴方程的衍生点M为； 18.（8分）（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 （1）【引申】已知，则_____________． （2）【拓展】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程； （1）设进而解一元一次方程，即可求解； （2）设，得出，解一元二次方程，即可求解． 解：（1）解：设 ∴， ∴ 故答案为：10； （2）设 ∴ ∴ ∴ 解得：或 即或 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（24-25八年级下·重庆·期中）若正数满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的变形求值，解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法求出，再将变形为，最后将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：， ∴， ∴， 解得：， ∵是正数， ∴， ∵正数满足， ∴，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 故选：C． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于x的方程的根的判别式的值为1，若，，则P，Q的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根的判别式为． 先利用根的判别式的意义得到，则，所以，然后计算，从而可对各选项进行判断． 解：∵关于x的方程的根的判别式的值为1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 21．（2025·安徽合肥·一模）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若，同号，则 D．若，异号，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质、非负数的性质、不等式的性质、根的判别式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据等式的性质、非负数的性质、不等式的性质、根的判别式逐项判断即可． 解：A．∵，∴，即，故A选项正确，不符合题意； B．∵，故B选项正确，不符合题意； C． 当，同号，则，由不等式的性质可得，即，解得：，，故C选项正确，不符合题意； D． 当，异号，则， ∵， ∴， ∴，即， 由题意可得：存在根， ∴，解得：或， ∵， ∴，而不是，故D选项错误，符合题意． 故选D． 22．（2025·江苏南通·一模）已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键． 由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴，即 ∵反比例函数的图象上总存在两个关联点， ∴，即且有两个不相等实数根， ∴，解得：， 当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意． 综上，的取值范围是或． 故选D． 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程（a，b是常数，）是“差1方程”设，t的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果． 解：由题可得： ∴解方程得， 关于的方程、是常数，是“差1方程”， ， ， ， ， ， 时，的最大值为9． 故答案为： 【点拨】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义． 24．（22-23九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点D在直线上，点E为x轴上任意一点，点，若为正三角形时，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分别过三角形的三个点作垂线，然后利用勾股定理求解即可． 解：过点F作，垂足为M，过点F作轴，垂足为N，直线与x轴交点为K， 由题意得：设D点坐标为，E点坐标为， ∴，，， ∴，，，，，， 若为等边三角形，则， ∴， 即； 解得：或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，涉及到勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键． 25．（2025·江苏无锡·二模）整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为 ；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值． 解：设，由题意可得： ，解得：， 即的分数形式为； 设， 根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为， 于是方程可表示为：，解得：或（舍去）， 即此数的值为． 故答案为：；． 26．（2025·安徽合肥·二模）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为 ． 【答案】 【分析】分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可． 解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴取，则；取，则，解得：． ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点， ∴矩形的面积为， 当矩形的面积是的面积的2倍时，， 解得：（舍去）或． 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解． 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【答案】或或 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 28.（12分）（2025九年级下·全国·学业考试）已知． （1）求的最小值． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2），，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 解：（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$