专题1.1（2） 一元二次方程（分层专项练习）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.1（2） 一元二次方程（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可． 解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故不符合题意； D、该方程含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 3．（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，可得，整体代入代数式即可求解． 解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 4．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 解：， ， 整理，得， 故选：C． 5．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若实数a、b满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，第一个方程两边同时乘以得，则，解得，即可得出结果． 解：∵， 第一个方程两边同时乘以得：， 则， ∴，即， 故选：B． 7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 8．（21-22九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7 B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0 C．当a＝3且b≠﹣1且c≠0时，方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程． D．当m取所有实数时，关于x的方程为一元二次方程 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．依此即可求解． 解：、方程的一次项系数为0，故选项错误； 、一元二次方程的一般形式是，故选项错误； 、当且，时，方程可化为为一元一次方程，故选项错误； 、当取所有实数时，关于的方程为一元二次方程是正确的． 故选：． 【点拨】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 解： ， 整理得： 故答案为： 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 11．（2025·四川资阳·三模）已知为方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，然后整体代入求解即可． 解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列出关于b的方程，解方程即可． 解：设□代表的数为b，则一元二次方程为：， 把代入得：， 解得：， ∴□代表的数为， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，若记为，则与的关系是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查学生对一元二次方程的根的应用，把握非零实数根与题意是解题的关键．把k代入方程，然后把方程两边同时除以k得出，最后整体代入即可得出与的关系． 解：∵是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根， 则， 把方程两边同时除以k，得：， 整理得：， ∴， 故答案为：． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 16.（8分）（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 【答案】满足条件的一元二次方程为或 【分析】本题考查了一次二次方程的定义和非负数的性质，几个非负数的和为0时，那么这几个非负数分别等于0．根据非负数的性质列式求出a，b，c的值，然后代入方程即可． 解：由题意得：，，， 解得，，， ∴满足条件的一元二次方程为或． 17.（8分）（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 18.（8分）（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】（1）10；（2）． 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 解：（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是无理方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 【答案】D 【分析】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义．利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案． 解：A、是分式方程，不是无理方程，原说法错误，不符合题意； B、是一元二次方程，不是二项方程，原说法错误，不符合题意； C、是整式方程，不是分式方程，原说法错误，不符合题意； D、是二元二次方程，原说法正确，符合题意； 故选D． 20．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 解：将化为的形式为， 故，，， 故选：A． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 22．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知是的解，则有，因为，方程两边同时乘以，可得：，所以方程一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程有公共解，则有，可得解为：或，即这两个方程的公共解是或中的一个． 解：是的解， 方程两边同时乘以， 可得：， 方程一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； 方程有公共解， ， 整理得：， 方程的公共解为：或， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（2025·四川资阳·一模）若是方程的根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 解：是方程的根， 故答案为：1． 24．（20-21九年级上·湖南岳阳·期末）已知是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由方程根的定义可得，变形为．再将等号两边同时乘并变形得，代入逐步化简即可． 解：∵是方程的一个根． ∴，即． 将等号两边同时乘得： ，即． ∴． 故答案为：-2021． 【点拨】本题考查一元二次方程解的定义以及代数式求值．熟练掌握整体代入的思想是解答本题的关键． 25．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 26．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则 ， ，此时若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出，进一步得到，则，，得到，，的最小值即为点到点和的距离之和的最小值，利用轴对称和勾股定理进一步求解即可． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值即为点到点和的距离之和的最小值， ∵点关于轴的对称点为， ∴当、、三点共线时，点到点和的距离之和取得最小值， 最小值为 故答案为：，， 【点拨】本题考查了二次根式的化简，利用完全平方公式因式分解，一元二次方程的解，有理数，无理数的概念、勾股定理、轴对称的理解，熟悉相关性质是解题的关键． 6、 解答题(12×2=24分) 27.(12分)（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】（1）该方程是“联合方程”，见分析；（2）的值为，的值为6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 解：（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 28.(12分)（22-23八年级下·福建福州·期末）阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）直接根据阅读材料可得答案； （2）由题意得出，可看作方程的两个根，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，据此可得实数和可看作方程的两根，继而知，，进一步代入计算可得． 解：（1）解：，， 故答案为：；； （2）∵，，且， ∴，可看作方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值为； （3）∵，分别满足，，且， ∴， ∴和可看作方程的两根， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 【点拨】本题考查分式的化简求值，因式分解的应用，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1（2） 一元二次方程（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 3．（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2020 C．2021 D．2022 4．（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若实数a、b满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2025 7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 8．（21-22九年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7 B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0 C．当a＝3且b≠﹣1且c≠0时，方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程． D．当m取所有实数时，关于x的方程为一元二次方程 2、 填空题(每小题3分，共18分) 9．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 10．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 11．（2025·四川资阳·三模）已知为方程的根，则 ． 12．（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 13．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为 ． 14．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，若记为，则与的关系是 ． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 16.（8分）（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c满足，求满足条件的一元二次方程． 17.（8分）（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 18.（8分）（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题(每小题3分，共12分) 19．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是无理方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 20．（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程化为的形式，则，，的值分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 22．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的两条一元二次方程；．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程有一个解为，则方程一定有一个解为， 乙同学：若方程有公共解，则公共解为，， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 5、 填空题(每小题3分，共12分) 23．（2025·四川资阳·一模）若是方程的根，则的值为 ． 24．（20-21九年级上·湖南岳阳·期末）已知是方程的一个根，则 ． 25．（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 26．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则 ， ，此时若，且，则的最小值为 ． 6、 解答题(12×2=24分) 27.（12分）（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． （1）判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； （2）已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 28.（12分）（22-23八年级下·福建福州·期末）阅读材料．材料：若一元二次方程的两个根为，，则，． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ， ． （2）类比探究：已知实数，满足，，且，求的值． （3）思维拓展：已知实数，分别满足，，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$