精品解析：四川省绵阳外国语学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题

【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2025年第三次高考模拟检测 高三年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．完卷时间：120分钟．满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法结合复数模计算公式可得答案. 【详解】由， 有． 故选：B 2. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 3. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆的圆心坐标为和半径为，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即，化简即可得到答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 因为直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 化简得，可知， 故选：D. 4. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解， 【详解】设表高为，则，， 而，得，， 故， 得， 故选：D 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】从5个含有的括号中，其中1个括号中取，一个括号中取，3个括号中取，乘在一起构成这一项， 这一项为，所以的系数为. 故选：D 6. 已知向量，，其中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示及向量模的坐标表示列式，再利用基本不等式求出范围. 【详解】由向量， 得，当且仅当时取等号， 而，所以的取值范围为. 故选：C 7. 已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件求解出，然后对分奇偶讨论可得和，结合函数的单调性可求结果. 【详解】设的公比为，因为，所以， 所以，所以，所以， 因为对任意正整数恒成立， 所以对任意正整数恒成立； 当是偶数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以，所以， 当是奇数时，对任意正整数恒成立，则， 因为在上单调递增， 所以时，，所以， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 8. 已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是等腰三角形 C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设， 则，焦点， A选项，当时，解得，所以， 则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所以， 由于，所以关于直线对称，而， 所以此时是等腰三角形. 对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形， 则，则， 此时，， 所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 【答案】AD 【解析】 【详解】由坐标可得周期；由图象可知对称轴为，故利用对称性和周期性可得；将的图象向后延拓即可判断C D选项. 【分析】依题意得，，则，故A正确； 由图可知对称轴为，则， 又，则，故，故B错误； 延长的图象如图所示，观察可知，在上先减后增，故C错误； 在上有6个零点，故D正确. 故选：AD. 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的定义域，可排除；求导讨论不同值对应的函数的单调性，判断选项. 【详解】的定义域为，所以选项错误； ， 当时，在恒成立，所以单调递增， 且当时，，，所以，所以图象可能是选项 当时，，此时图象可能是选项； 当时，因为与都是增函数，所以也是增函数， 令，则，设方程的根为，即， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 若，显然，则，所以图象可能是选项； 故选：. 11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，． A. 有最小值，且最小值为整数 B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C. 恰有两个极值点 D. 恰有三个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导后将看成一个整体，利用进行放缩即可； 对于B,将“严格上凸”和“严格下凸”转化为导函数的单调性，二次求导后即可判断； 对于C，根据导函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断； 对于D，根据函数的单调性，结合零点零点存在定理，即可判断； 【详解】， ， 设，易得：， 所以， 当时，等号成立，故A对; ，，，若恒有，等价于切线一直在割线下方，即单调递增.即函数在区间上“严格下凸”； ，，，若恒有，等价于切线一直在割线上方，即单调递减.即函数在区间上“严格上凸”. 设， ， 易得在为增函数. ， ， 所以存在常数，，使得在上，，单调递减，即单调递减, 在“严格上凸”； 在上，，单调递增，即单调递增,在“严格下凸”. 故B错误； 由B知，在上单调递减, 在上，单调递增 ，， ， 所以恰有两个极值点，故C正确； 由C知，恰有两个极值点，设为，，且， 所以在和单调递减， 单调递增 ，， ， 所以函数在各有一个零点，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为__________． 【答案】0.18## 【解析】 【分析】由根据正态分布对称性可得，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】学生成绩服从正态分布， 由正态分布对称性可知，， 则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为， 故答案为：0.18 13. 在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 __ 【答案】1或 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，结合二倍角余弦公式、正弦定理、三角形面积公式分类讨论进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，或， 因为， 所以，或． 因为，， 当时，，可得，； 当时，由正弦定理，可得， 可得． 故答案为：1或 14. 如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用台体的体积公式求四棱台的体积，作辅助线，找到平面BEF截该四棱台所得截面，计算有关线段的长度，利用割补法求解. 【详解】连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，取的中点M，连接BM与交于点T，与的延长线交于点N， 由平面平面，可知M为和的交点， 又由，可知， 又由，可得， 又由，有，可得， 不妨设，，， 可得梯形的面积为， 又由，， 又由，可得， 可得四边形的面积为，可得， 又由，可得， 又由，可得， 可得， 又由几何图形的对称性可知． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取中点为，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 此时； 【小问2详解】 取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列的首项为，前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据可得，再结合累加法可得通项公式； （2）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证. 【小问1详解】 由已知得， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得 ， 则； 【小问2详解】 依题意得， ， 则， 又，所以，所以， 即． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合离心率求出、，即可得解； （2）依题意可得直线的方程为，设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由为锐角，可得，再由数量积的坐标表示得到不等式，解得即可； 【小问1详解】 依题意，解得， 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为. 18. 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下： 第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分． （1）求玩家在游戏中获得10分的概率． （2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望． （3）根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）得10分的情况为：从中摸出2个红球，从中摸出一个红球和从中摸出2个白球，从中摸出一个红球的概率，由条件概率即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）分三种情况：从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球，分别计算，再结合互斥事件和事件概率加法公式即可求解. 【小问1详解】 得10分的情况有： 从中摸出2个红球的概率，此时中有4个红球和3个白球，从中摸出一个红球的概率为， 从中摸出2个白球的概率，此时中有2个红球和5个白球，从中摸出一个红球的概率为， 所以玩家在第一轮游戏中获得10分的概率为； 【小问2详解】 的所有可能取值为， 当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为 ， 当从中摸出2红或2白，再从中摸出白球的概率为 ， 当从中摸出1红1白，再从中摸出白球的概率为 ， 由（1）知， 所以； 【小问3详解】 由（2）知，共有三种情况： 从中摸出2个红球，或2个白球，或1个红球1个白球， 当从中摸出2个红球时，中有4个红球和3个白球，中有1个红球和2个白球， 当从中摸出2个白球时，中有2个红球和5个白球，中有3个红球， 当从中摸出1个红球1个白球时，中有2个红球和3个白球，中有3个红球和2个白球， 所以取出两个球都是红球的概率为： 19. 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． 【小问3详解】 ①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【温馨提示：平常心对待考试！让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！】 绵阳外国语学校2025年第三次高考模拟检测 高三年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．完卷时间：120分钟．满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则复数z的模为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆相切，则的值（ ） A. 与a有关，与b有关 B. 与a有关，与b无关 C. 与a无关，与b有关 D. 与a无关，与b无关 4. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 30 B. C. 20 D. 6. 已知向量，，其中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是等腰三角形 C. 存在四边形是菱形 D. 存在四边形是矩形 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 在上单调递减 D. 在上有6个零点 10. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，． A. 有最小值，且最小值为整数 B. 存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸” C. 恰有两个极值点 D. 恰有三个零点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为__________． 13. 在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 __ 14. 如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则______． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 16. 已知数列的首项为，前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 18. 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下： 第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分． （1）求玩家在游戏中获得10分的概率． （2）设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望． （3）根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率． 19. 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $