精品解析：河南省焦作市九师联盟2024-2025学年高一下学期6月质量检测数学试题（北师大版）

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册，必修第二册第一章～第六章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】由，知复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，，求实数的取值范围. 【详解】由题知，非空集合， 因为，所以， 故实数的取值范围为. 故选：D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理求解即可. 【详解】由，知，解得. 故选：D. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直观图画出原图象，计算即可. 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，， 所以，所以的周长为. 故选：B. 5. 如图，三棱锥的所有棱都相等，是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中位线证明出，得出异面直线和所成角为，再由余弦定理即可求解． 【详解】取的中点，连接，， 则，即为异面直线和所成的角或其补角． 不妨设，则，， 在中，由余弦定理，得． 故选：A． 6. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式结合独立事件概率公式计算求解. 【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件，，，则，，， 则，，， 则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 . 故选:C. 7. 已知定义在上的函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数单调性，根据函数单调性求解. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，， 所以，即. 故选：C 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，，连接，，，，， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，平面，平面，可得平面， 且，，平面，故平面平面. 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，长为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C. 数据，，，，，，，的分位数是8 D. 数据，，，…，的方差为，则数据，，，…，的方差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用分层抽样列式求解判断B；求出分位数判断C；利用方差的性质计算判断D. 【详解】对于A，由 “掷出5”与“掷出6”不可能同时发生，得它们为互斥事件，A正确； 对于B，设抽取的丙个体数为，由，解得，B正确； 对于C，数据,,,,,,,从小到大排列为：,,,,,,,， 由，得该组数据的分位数是，C错误； 对于D，数据,,,…,的方差为，则数据,,,…,的方差为，D正确. 故选：ABD 10. 已知，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件，商数关系及和角正弦公式整理求值判断A；由A及平方关系得，再应用和角余弦公式及已知求值判断B；根据A、B及差角余弦公式求函数值，进而得角的大小判断C；由C分析及差角正切公式求得，结合已知求函数值判断D. 【详解】由，得， 所以，则，所以，A正确； 由，得，则，解得，B正确； 又，又，所以，C错误； 由，得， 所以，与联立，得，D正确. 故选：ABD 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，，为外接圆的圆心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则满足条件的三角形有2个 C. 若，则的周长的最大值为6 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据余弦定理推论实现角化边，整理可得，然后可求角；对于B，利用正弦定理求得，再根据可知只有一个解；对于C，根据余弦定理可得边的关系，再利用基本不等式可得即可确定周长最大值，对于D，由外心是垂直分线的交点可得， ，等式两边同时乘，化简整理即可求. 【详解】由余弦定理，得，即， 则.因为，所以，A正确； 由正弦定理得：，解得， 因为，且，所以仅存在一个锐角满足，B错误； 由余弦定理得，则.由， 得，故（当且仅当时取等号）， 所以，的周长的最大值为，C正确； 因为为外接圆的圆心， 所以， 同理可得，.由， 可得， 则，即（＊）， 又由正弦定理，可得，其中为外接圆半径，则， 则，， 代入（＊）式化简，可得， 即，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最大值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】应用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为，，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8. 故答案为：8 13. 已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的对称轴及对称中心，结合余弦函数的图象性质列出方程组，再求解判断即可. 【详解】依题意，，或， 或，或， 解得或或或，， 而，则，，所以. 故答案为： 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，由正弦定理得到，，，由于，可得，得到答案. 【详解】由题意，， 可得， 由于， 可得， 由题意利用正弦定理可得， 可得，， 可得 ， 由于，可得，可得， 可得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算化简，根据实数条件得到虚部为零，求得的值； （2）利用复数的除法运算化简，利用纯虚数的条件求得的值，进而得解. 【小问1详解】 由题知 若是实数，则，解得； 【小问2详解】 由题知 若是纯虚数，则，解得，所以. 16. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 【小问2详解】 由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. （1）求C； （2）若的面积为求c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及正弦定理，整理化简等式，根据和角公式，可得答案； （2）利用面积公式建立方程组，结合余弦定理，可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理，得 所以 由正弦定理得 即，所以. 又，所以，所以. 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，即. 联立方程，解得或（舍）. 由余弦定理，得. 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. （1）已知向量，求； （2）设向量，且，证明：； （3）已知向量，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明:设的夹角为， 则， 所以 ， 则， 于是，. （3） 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式求出，再得出，根据新定义求解； （2）类比（1）求出，得出，利用新定义证明即可； （3）根据（2）代入求解推出，再由三角恒等变换求解. 【小问1详解】 设的夹角为，则， 所以， 所以， 故. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意，， 则由（2）的公式可得：， 又，则得， 故. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）当，时， ①求不等式的解集； ②若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）时，函数是关于的二次函数，根据二次函数单调性求值域即可； （2）①由，，，利用正余弦和差公式化简得，再解三角不等式即可； ②由恒成立，等价于 ，，令，换元整理，再根据基本不等式可求范围. 【小问1详解】 当时，. 令，，又在上单调递增， 所以，即函数的值域为. 【小问2详解】 ①当，时， . 显然，，所以，即，且， 所以或，， 即不等式的解集为，. ②恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 又， 则 恒成立， 则. 又， 令， 因为，函数在上单调递减， 在上单调递增，则， 则， 当且仅当时，即时取等号. 则. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版必修第一册，必修第二册第一章～第六章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三棱锥的所有棱都相等，是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某人掷骰子1次，“掷出5”与“掷出6”是互斥事件 B. 甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样，如果抽取的甲个体数为3，则抽取的丙个体数为9 C. 数据，，，，，，，的分位数是8 D. 数据，，，…，的方差为，则数据，，，…，的方差为 10. 已知，且，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角，，的对边分别是，，，，为外接圆的圆心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，，则满足条件的三角形有2个 C. 若，则的周长的最大值为6 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最大值为______. 13. 已知直线与点分别是函数的图象在同一周期内的对称轴和对称中心，则______. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 16. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且. （1）求C； （2）若的面积为求c. 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：. （1）已知向量，求； （2）设向量，且，证明：； （3）已知向量，若，求的值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）当，时， ①求不等式的解集； ②若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $