精品解析：天津市河北区2025年普通高中学业水平合格性考试模拟检测数学试题

2025年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 参考公式 ●柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高． ●锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． ●球的体积公式，其中R表示球的半径． 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. ，或 B. C. ，或 D. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）． A. B. C. D. 10. i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 为了得到函数，只需要把图象上所有的点的 A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变 13. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于75分的企业数为（ ） A. 30 B. 60 C. 70 D. 130 第Ⅱ卷（非选择题共55分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上） 16. 函数的最大值为______． 17. 某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取______人． 18. i是虚数单位，则复数______． 19. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则______． 20. 若，则的最小值为__________． 三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知，α是第三象限角． （1）求和的值； （2）求的值． 22. 已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 23. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 24. 已知函数，，（） （1）当时，求的值； （2）若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； （3）若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北区普通高中学业水平合格性考试模拟检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 参考公式 ●柱体的体积公式，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高． ●锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． ●球的体积公式，其中R表示球的半径． 第Ⅰ卷（选择题共45分） 一、选择题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用集合的并补运算求集合. 【详解】由题设，又，则. 故选：C 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点， 则，所以. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. ，或 B. C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】由，可得或，故解集为，或. 故选：A 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可. 【详解】全称量词命题：，它的否定为：. 所以命题“”的否定是“”. 故选：D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据真数大于建立不等式求解即可． 【详解】要使得有意义， 则，解得：， 故选：B． 6. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 7. 已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论． 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 8. 已知，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 9. 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式即可. 【详解】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为， 则， 故选：B. 10. i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数对应点判断其所在的象限. 【详解】由对应点为，即位于第一象限. 故选：A 11. 甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设，甲乙都不能破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 12. 为了得到函数，只需要把图象上所有的点的 A. 横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩小到原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【详解】为了得到函数，只需要把图象上所有的点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，选A 13. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数. 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 14. 某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得. 【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为， 两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间 ，共25个样本点， 两位参赛博主抽到不同主题的事件 ，共20个样本点， 所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为. 故选：D 15. 某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成准分（最高为100分），统计并制成如图所示的直方图，则这次摸排中标准分不低于75分的企业数为（ ） A. 30 B. 60 C. 70 D. 130 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可得频率，即可求解个数. 【详解】解：根据频率分布直方图，标准分不低于75分的企业的频率为： ， ∴标准分不低于75分的企业数为（家）． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题共55分） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上） 16. 函数的最大值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据余弦函数的值域及已知函数的解析式确定的最大值即可. 【详解】由余弦函数的性质知，则， 当时，函数有最大值为3. 故答案为：3 17. 某学校高一、高二、高三分别有600人、500人、700人，现采用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取18人参加全市主题研学活动，则应从高三抽取______人． 【答案】7 【解析】 【分析】应用分层抽样等比例性质求从高三抽取的人数. 【详解】根据分层抽样等比例性质，从高三抽取人. 故答案为：7 18. i是虚数单位，则复数______． 【答案】 【解析】 【分析】应用复数的乘法化简即可得. 【详解】. 故答案为： 19. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】应用余弦定理求余弦值即可. 【详解】由题设. 故答案为： 20. 若，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值. 【详解】因为，由基本不等式得：， 当且仅当，且，即时等号成立． 故答案为：3 三、解答题：（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 已知，α是第三象限角． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用平方关系、商数关系分别求出和； （2）应用差角的余弦公式求值即可. 【小问1详解】 由，α是第三象限角，则， 所以； 【小问2详解】 . 22. 已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，； 【小问2详解】 由题设，又， 所以，则，可得； 【小问3详解】 由（2）及，则，可得. 23. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又平面为菱形，所以， 又平面， 所以平面； （2） E为PD的中点，设AC与BD交于点O，连接OE， 则，又平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直判定定理即可证明； （2）设AC与BD交于点O，连接OE，则，结合线面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知函数，，（） （1）当时，求的值； （2）若对任意，都有成立，求实数a的取值范围； （3）若，，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将自变量代入求函数值即可； （2）由题设恒成立，结合求参数范围； （3）问题化为在，，有成立，求出，讨论对称轴与区间位置关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则； 【小问2详解】 由题设恒成立，即恒成立， 所以，只需，可得； 【小问3详解】 由题设，在，，有成立， 对于，，易知， 对于，， 当，时，，显然，满足； 当，时，，只需，可得； 当，时，，只需，无解； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $