22.1 第4课时 平行线分线段成比例定理及推论-【木牍中考】2025-2026学年九年级上册数学同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级上册 第二十二章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 22.1 比例线段 第四课时 平行线分线段成比例定理及推论 前 言 1. 平行线分线段成比例定理和推论及其应用;（重点） 2. 会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题．（难点） 学习目标及重难点 课时A计划 下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1,BB1,CC1互相平行，且若AB=BC,则A1B1=B1C1,由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，这个猜测是真的吗？ A1 C1 B1 导入新课 课时A计划 已知，直线 l1、l2、l3 互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线 l1、l2、l3 于点 A、B、C 和点 A1、B1、C1，且 AB=BC .求证：A1B1=B1C1. l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 E F 证明： 过点B1作EF∥ AC， 分别交直线 l1、l3 于点 E、F. ∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形 ∵ AB=BC ∴ EB1=B1F ∵ l1∥ l3 ∴∠A1EB1=∠C1FB1 ∴ AB=EB1， BC=B1F 在△A1B1E和△C1B1F中 ∵ ∠A1B1E=∠C1B1F EB1=FB1 ∠A1EB1=∠B1FC1 ∴ △A1B1E≌△C1B1F ∴ A1B1=B1C1 (ASA) 导入新课 课时A计划 由此得到如下结论： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 平行线等分线段定理 l1 l2 l3 A B C A1 B1 C1 几何语言 : ∵ l1∥ l2∥ l3 , ∴ A1B1=B1C1 且 AB=BC 注意：平行线等分线段定理的条件 相邻的两条平行线间的距离相等 一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等，结论又如何呢？ 导入新课 课时A计划 如图，有一组平行线：l1∥ l2∥ l3 ··· lk∥ ··· ln-1∥ ln，另外，直线 A1An与直线 B1Bn 被这一组平行直线分别截于点 A1，A2，A3，···，Ak，···，An-1，An 和点 B1，B2，B3，···，Bk，···，Bn-1，Bn .根据已学定理，可以得到：如果 A1A2=A2A3=···=An-1An，那么 B1B2=B2B3=···=Bn-1Bn . A1 A2 A3 Ak An-1 An B1 B2 B3 Bk Bn-1 Bn l1 l2 l3 lk ln ln-1 思考： A1Ak AkAn 与 相等吗？ B1Bk BkBn 这时，如设 A1A2=A2A3=···=An-1An=a， B1B2=B2B3=···=Bn-1Bn=b， 容易推得： A1Ak AkAn = (k-1)a (n-k)a = k-1 n-k B1Bk BkBn = (k-1)b (n-k)b = k-1 n-k ∴ A1Ak AkAn B1Bk BkBn = , A1Ak A1An B1Bk B1Bn AkAn A1An BkBn B1Bn , , A1Ak A1An B1Bk B1Bn = AkAn A1An BkBn B1Bn = 导入新课 课时A计划 是指同一条直线上的两条线段的比， 3、对应线段的比相等 两条直线被 探索1：平行线分线段成比例（基本事实） 注意： 1、一组平行线的数量为3条以上； 4、常见的线段对应关系有： 2、对应线段是指 A1 Ak An B1 Bk Bn l1 lk ln A1Ak AkAn B1Bk BkBn = A1Ak A1An B1Bk B1Bn AkAn A1An BkBn B1Bn , , = = 可简记为： 上 下 = 上 全 下 全 , , = = 上 下 上 全 下 全 所得的对应线段 一组平行线所截， 成比例. 被平行线所截的线段； 等于另一条直线上与它们对应的两条线段的比； 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 平行线分线段成比例定理 A B C D E F l1 l2 l3 几何语言 : ∵ l1∥ l2∥ l3 AB AC DE DF BC AC EF DF ∴ AB BC DE EF = , , = = 可简记为： 上 下 = 上 全 下 全 , , = = 上 下 上 全 下 全 两条直线被 所得的对应线段 一组平行线所截， 成比例. 课时A计划 课程讲授 新课推进 思考：平行线分线段成比例与平行线等分线段的联系： A B C D E F A B C D E F 结论：后者是前者的一种特殊情况！ AB BC 当 =1 AB BC 当 ≠1 课时A计划 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段. A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例. 课程讲授 新课推进 探索2：平行线分线段成比例定理的推论 课时A计划 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) 课程讲授 新课推进 课时A计划 A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 课程讲授 新课推进 课时A计划 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A1(B1) A2 A3 B2 B3 A2(B2) A1 A3 B1 B3 归纳： 课程讲授 新课推进 课时A计划 运用平行线分线段成比例定理的三种基本图形： A B C D E F A B C D E F A B C D E F (1) 两条截线无交点 (2) 两条截线的交点在三条平行线的外面 (3)两条截线的交点在三条平行线的内部 课程讲授 新课推进 课时A计划 C B 如图，直线DE平行于△ABC的一边BC，并分别交另两边AB，AC与点D，E. 则 A E D M N AD DB = AE EC , AD AB = AE AC 和 BD AB = EC AC 成立吗？ 为什么？ 过点A作直线MN∥ DE ∵ DE∥ BC 又∵ AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截 ∴ MN∥ DE∥ BC 解： AD DB = AE EC , AD AB = AE AC 和 DB AB = EC AC ∴ ( 平行线分线段成比例定理 ) 由此得到以下结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 课程讲授 新课推进 课时A计划 如图，直线DE平行于△ABC的一边BC，并分别交另两边AB，AC的延长线于点D，E. 对应线段还成比例吗？ 由此可以得到以下结论： C B A D E M N C B A N M E D (1) DE在三角形的顺向延长线上； (2) DE在三角形的反向延长线上； 平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例. 思考： AB BD = AC CE , AB AD = AC AE 和 BD AD = CE AE AD AB = AE AC , AD BD = AE EC 和 AB BD = AC EC 课程讲授 新课推进 课时A计划 C B A D E C B A E D ① 截线在三角形的内部； ② 截线在三角形的顺向延长线上； ③ 截线在三角形的反向延长线上. C B A E D 几何语言 : AD AB = AE AC 和 DB AB = EC AC AD DB = AE EC , ∴ ② ∵ DE∥ BC ① ∵ DE∥ BC ∴ AB BD = AC CE , AB AD = AC AE 和 BD AD = CE AE ③ ∵ DE∥ BC ∴ AD AB = AE AC , AD BD = AE EC 和 AB BD = AC EC A 字形图 X 字形图 小结 课程讲授 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例. 课时A计划 习题1 如图，已知AB∥ CD∥ EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取信息： 一是位置角之间的关系( 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 )； 二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例. 习题解析 C 课时A计划 习题解析 习题2 如图，直线 l1∥ l2∥ l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若 AB=3，DE= ，EF=4，求BC的长. 7 2 A B C D E l1 l2 l3 F 3 7 2 4 ？ 规律总结： ∵ 直线 l1∥ l2∥ l3， 解： AB BC = DE EF ∴ 又∵ AB=3，DE= ,EF=4 7 2 3 BC = 4 ∴ 7 2 解得 BC= 24 7 利用平行线分线段成比例的定理及推论求线段长时，先确定图中的平行线，由此联想到平行线截得的线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造方程，解方程求出待求线段长. 课时A计划 习题解析 习题3 如图，已知直线 a∥ b∥ c，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，求BF的长. A B C a b 4 D F c m n 6 3 E 又∵ AC=4，CE=6，BD=3 ∵ a∥ b∥ c 解： AC CE = BD DF ∴ ∴ 4 6 = 3 DF 解得 DF= 9 2 ∴ BF= BD+DF =3+ 9 2 = 15 2 课时A计划 习题4 习题解析 已知：EG∥ BC，GF∥ CD 求证： D F A B C E G AE AB = AF AD ∵ EG∥ BC 解： ∴ AE AB = AG AC ∵ GF∥ CD ∴ AG AC = AF AD ∴ AE AB = AF AD 注意： 若不能直接证明两组比相等，则可以证明这两组比分别与另一组比相等，从而通过等量代换证明这两组比相等. 课时A计划 习题5 习题解析 【中考·临沂】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥ BC，EF∥ AB．若AB=8，BD=3，BF=4，求 FC 的长. 利用平行线分线段成比例的定理及推论求线段长时，先根据已知的平行线写出比例式，利用中间比进行等量代换，建立起已知线段和未知线段的桥梁. ∵ DE∥ BC 解： ∴ AD BD = AE EC ∵ EF∥ AB ∴ AE EC = BF FC ∴ AD BD = BF FC ∵ AB=8，BD=3，BF=4 ∴ 5 3 = 4 FC 解得 FC= 12 5 ∴ AD=AB-BD=5 规律总结： 课时A计划 习题6 习题解析 如图，E 为 ABCD的边CD的延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F. 求证：BO2=OF·OE. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 解： ∴ AD∥ BC，AB∥ CD ∴ ， OF BO = OA OC OA OC BO OE = ∴ OF BO = BO OE ∴ BO2=OF·OE 课时A计划 课程总结 小结 平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. A B C D E F l1 l2 l3 注意： 1、一组平行线的数量为3条以上； 2、对应线段是指被平行线所截的线段； 3、对应线段的比相等是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的两条线段的比； 几何语言 : ∵ l1∥ l2∥ l3 BC AC EF DF = 可简记为： 上 下 = 上 全 下 全 , , = = 上 下 上 全 下 全 AB AC DE DF , = ∴ AB BC DE EF = , 课时A计划 课程总结 小结 基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例 课时A计划 课后作业 课堂总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 A B C $$