21.5 第2课时 反比例函数的图象和性质-【木牍中考】2025-2026学年九年级上册数学同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级上册 第二十一章 第二课时 反比例函数的图象和性质 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 21.5 反比例函数 前 言 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 ； 2. 了解和掌握反比例函数的图象和性质；(重点) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (难点) y x O 学习目标及重难点 课时A计划 1. 我们学习一次函数和二次函数时，研究了函数的哪些内容?是如何进行研究的? 我们研究了函数的表达式、图象、性质，根据表达式，通过列表、描点、连线画出函数图象，从图象的形状、位置、增减性等多个方面分析归纳函数的性质. 2.画函数图象的一般方法和步骤是怎样的? 列表、描点、连线 导入新课 课时A计划 课程讲授 新课推进 例1 画反比例函数 的图象. 解：列表如下. －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 ··· －1 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 ··· … … －1.2 －1.5 注意：列表时自变量取值要均匀和对称 课时A计划 O －2 5 6 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －1 －2 －3 －4 －5 －6 课程讲授 新课推进 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的 图象． 用光滑曲线连接时要自左向右顺次连结 课时A计划 观察这个函数图象，回答问题： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的表达式说明理由吗？ 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 结论1：一般地，当k>0时，反比例函数 的图象是双曲线，(1)双曲线的两支分别位于第一、第三象限; (2)在每一个象限内, y随x的增大而减小. (从左向右看是下降的) O x y x 增大 y 减 小 课时A计划 课程讲授 新课推进 回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函数 的图象和性质吗？ 结论2：一般地，当k<0时，反比例函数 的图象是双曲线，(1)双曲线的两支分别位于第二、第四象限; (2)在每一个象限内, y随x的增大而增大. (从左向右看是上升的) O x y x 增大 y 增大 课时A计划 课程讲授 新课推进 注意： 1、曲线特点 2、“在每个象限内”该怎么理解？ 如 在每个象限内递减，但是在整个定义域不是递减的（x<0时，y<0,x>0,y>0;开始小于0，后来大于0，显然不是递减） (1) 双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点； (2) 双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 课时A计划 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 课程讲授 小结 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 已知反比例函数y = (1)如果这个函数图象经过点(-3，5),求的值; (2)如果这个函数图象在它所处的象限内,函数y随x的增大而减小,求的范围. 解：(1)因为函数图象经过点(-3,5),代入函数的表达式,得，解方程得 =-7. (2)根据题意,有2 -1 >0.解不等式,得 > 课时A计划 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 课程讲授 新课推进 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想S1，S2 与k的关系 S1=S2 S1=S2=k 4 4 例3 1、在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下列表格. 课时A计划 课程讲授 新课推进 2、若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： y x O P Q S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2 的关系 猜想S1，S2 与k的关系 S1=S2 S1=S2= -k 4 4 课时A计划 课程讲授 新课推进 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. 课时A计划 课程讲授 新课推进 y x O P S A B ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. 课时A计划 课程讲授 新课推进 随堂小练习 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 1. 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ， C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 课时A计划 课程讲授 新课推进 2. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k＜0. y x O P A 课时A计划 课程讲授 新课推进 3. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 课时A计划 Q A B 对于反比例函数 ， 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= . |k| y x O 课程讲授 小结 推理：△QAO与△QBO的 面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= . 反比例函数的面积不变性 课时A计划 习题解析 习题1 反比例函数 的图象大致是 ( ) y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o C 课时A计划 1、 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得 a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 习题解析 习题2 2、 在反比例函数 　 (k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0. ＜ 课时A计划 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的表达式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 习题解析 习题3 课时A计划 习题 4 习题解析 2、 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于二、四象限. 其中正确的是 (填序号). 1、 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是________. m＞2 (1)(3) 课时A计划 习题解析 习题 5 y D B A C x 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上 任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中 点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD =___. 3 2 5 课时A计划 习题解析 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA，垂足为 A，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD，垂足为 D，连接 OC 交 PA 于点 E. 设 △POA 的面积 为 S1，则 S1= ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小 关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 习题 6 课时A计划 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图示 小结 课堂总结 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随x 的增大而增大 x y o x y o 课时A计划 课后作业 课堂总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$